Zákon sinusů - Law of sines

${\ displaystyle R = {\ frac {d} {2}}}$

${\ displaystyle {\ gamma}}$

${\ displaystyle {\ delta}}$

${\ displaystyle {\ gamma} = {\ delta}}$

$${\ Displaystyle \ sin {\ delta} = \ sin {\ gamma} = {\ frac {c} {2R}}.}$$

Přeskupení výnosů

$${\ displaystyle 2R = {\ frac {c} {\ sin {\ gamma}}}.}$$

Opakování procesu vytváření s dalšími body dává ${\ displaystyle \ triangle ADB}$

Vztah k oblasti trojúhelníku

Plocha trojúhelníku je dána vztahem , kde je úhel ohraničený stranami délek

${\ textstyle T = {\ frac {1} {2}} ab \ sin \ theta}$

${\ displaystyle \ theta}$

$${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} ab \ cdot {\ frac {c} {2R}}.}$$

Vezmeme -li jako poloměr ohraničení, ${\ displaystyle R}$

Lze také ukázat, že tato rovnost znamená

$${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {abc} {2T}} & = {\ frac {abc} {2 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}} \\ [ 6pt] & = {\ frac {2abc} {\ sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2} -2 (a^{4}+b^ {4}+c^{4})}}}, \ end {aligned}}}$$

${\ textstyle s = {\ frac {a+b+c} {2}}.}$

Druhá výše uvedená rovnost se snadno zjednoduší na Heronův vzorec pro danou oblast.

Pravidlo sinus lze také použít k odvození následujícího vzorce pro oblast trojúhelníku: Označení polosoučtu sinusů úhlů jako , máme ${\ textstyle S = {\ frac {\ sin A+\ sin B+\ sin C} {2}}}$

kde je poloměr circumcircle: . ${\ displaystyle R}$${\ textstyle 2R = {\ frac {a} {\ sin A}} = {\ frac {b} {\ sin B}} = {\ frac {c} {\ sin C}}}$

Sférický zákon sinusů

Sférický zákon sinusů se zabývá trojúhelníky na kouli, jejíž strany jsou oblouky velkých kruhů .

Předpokládejme, že poloměr koule je 1. Nechť a , b , a c jsou délky velkých oblouků, které jsou stranami trojúhelníku. Protože se jedná o jednotkovou sféru, a , b , a c jsou úhly ve středu koule, které tyto oblouky svírají v radiánech. Nechť A , B a C jsou úhly opačné k těmto stranám. Jedná se o dvouúhelníkové úhly mezi rovinami tří velkých kruhů.

Potom sférický zákon sinus říká:

$${\ Displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sin a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sin b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sin c}}.}$$

Vektorový důkaz

Uvažujme jednotkovou sféru se třemi jednotkovými vektory OA , OB a OC nakreslenými od počátku k vrcholům trojúhelníku. Úhly α , β a γ jsou tedy úhly a , b a c . Oblouk BC svírá ve středu úhel velikosti a . Zaveďte kartézský základ s OA podél osy z a OB v rovině xz svírající úhel c s osou z . Vektor OC projekty na ON v xy -plane a úhel mezi ON a x v ose je . Tyto tři vektory proto mají komponenty:

$${\ Displaystyle \ mathbf {OA} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {OB} = {\ begin {pmatrix} \ sin c \\ 0 \ \\ cos c \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {OC} = {\ begin {pmatrix} \ sin b \ cos A \\\ sin b \ sin A \\\ cos b \ end {pmatrix}} .}$$

Skalární trojitý produkt , OA ⋅ ( OB x OC ) je objem rovnoběžnostěnu tvořena polohových vektorů vrcholů kulové trojúhelníku OA , OB a OC . Tento objem je invariantní vůči specifickému souřadnicovému systému používanému k reprezentaci OA , OB a OC . Hodnota skalárního trojitého součinu OA ⋅ ( OB × OC ) je determinant 3 × 3 s řadami OA , OB a OC . S osou z podél OA je čtverec tohoto determinantu

$${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ bigl (} \ mathbf {OA} \ cdot (\ mathbf {OB} \ times \ mathbf {OC}) {\ bigr)}^{2} & = \ left (\ det {\ begin {pmatrix} \ mathbf {OA} & \ mathbf {OB} & \ mathbf {OC} \ end {pmatrix}} \ right)^{2} \\ [4pt] & = {\ begin {vmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ sin c & 0 & \ cos c \\\ sin b \ cos A & \ sin b \ sin A & \ cos b \ end {vmatrix}}^{2} = \ left (\ sin b \ sin c \ sin A \ vpravo)^{2}. \ end {aligned}}}$$

$${\ Displaystyle {\ frac {\ sin ^{2} A} {\ sin ^{2} a}} = {\ frac {\ sin ^{2} B} {\ sin ^{2} b}} = { \ frac {\ sin ^{2} C} {\ sin ^{2} c}} = {\ frac {V ^{2}} {\ sin ^{2} (a) \ sin ^{2} (b ) \ sin ^{2} (c)}},}$$

Je snadné vidět, jak u malých sférických trojúhelníků, kdy je poloměr koule mnohem větší než strany trojúhelníku, se tento vzorec stává na rovině rovinným vzorcem, protože

$${\ Displaystyle \ lim _ {a \ to 0} {\ frac {\ sin a} {a}} = 1}$$

Geometrický důkaz

Zvažte jednotkovou sféru s:

$${\ displaystyle OA = OB = OC = 1}$$

Sestrojte bod a bod tak, že${\ displaystyle D}$${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle \ angle ADO = \ angle AEO = 90^{\ circle}}$

Vytvořte bod tak, že${\ displaystyle A '}$${\ Displaystyle \ angle A'DO = \ angle A'EO = 90^{\ circle}}$

Je tedy vidět, že a${\ Displaystyle \ angle ADA '= B}$${\ displaystyle \ angle AEA '= C}$

Všimněte si, že je to projekce na rovinu . Proto${\ displaystyle A '}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle OBC}$${\ Displaystyle \ angle AA'D = \ angle AA'E = 90^{\ circle}}$

Základní trigonometrií máme:

$${\ Displaystyle AD = \ sin c}$$

$${\ Displaystyle AE = \ sin b}$$

Ale ${\ Displaystyle AA '= AD \ sin B = AE \ sin C}$

Jejich kombinací máme:

$${\ Displaystyle \ sin c \ sin B = \ sin b \ sin C}$$

$${\ Displaystyle {\ frac {\ sin B} {\ sin b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sin c}}}$$

Použitím podobného uvažování získáme sférický zákon sinus:

$${\ Displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sin a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sin b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sin c}}}$$

Další důkazy

Čistě algebraický důkaz lze sestavit ze sférického kosinového zákona . Z identity a výslovného výrazu pro ze sférického zákona kosinů ${\ Displaystyle \ sin ^{2} A = 1- \ cos ^{2} A}$${\ displaystyle \ cos A}$

$${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ sin ^{2} \! A & = 1- \ left ({\ frac {\ cos a- \ cos b \, \ cos c} {\ sin b \, \ sin c }} \ right) ^{2} \\ & = {\ frac {\ left (1- \ cos ^{2} \! b \ right) \ left (1- \ cos ^{2} \! c \ right )-\ left (\ cos a- \ cos b \, \ cos c \ right) ^{2}} {\ sin ^{2} \! b \, \ sin ^{2} \! c}} \\ [8pt] {\ frac {\ sin A} {\ sin a}} & = {\ frac {\ left [1- \ cos ^{2} \! A- \ cos ^{2} \! B- \ cos ^{2} \! C+2 \ cos a \ cos b \ cos c \ right]^{1/2}} {\ sin a \ sin b \ sin c}}. \ End {zarovnáno}}}$$

${\ Displaystyle A, \; b, \; c}$

Obrázek použitý v Geometrickém důkazu výše používá Banerjee (viz obrázek 3 v tomto článku) a také jej poskytuje k odvození sinusového zákona pomocí elementární lineární algebry a projekčních matic.

Hyperbolický případ

V hyperbolické geometrii, když je zakřivení -1, se stává zákon sinusů

$${\ Displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sinh a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sinh b}} = {\ frac {\ sin C} {\ sinh c}} \ ,. }$$

Ve zvláštním případě, kdy B je pravý úhel, dostaneme

$${\ Displaystyle \ sin C = {\ frac {\ sinh c} {\ sinh b}}}$$

což je analog vzorce v euklidovské geometrii vyjadřující sinus úhlu jako protilehlou stranu dělenou přeponou.

Případ ploch s konstantním zakřivením

Definujte zobecněnou funkci sinus v závislosti také na skutečném parametru K :

$${\ Displaystyle \ sin _ {K} x = x-{\ frac {Kx^{3}} {3!}}+{\ frac {K^{2} x^{5}} {5!}}- {\ frac {K^{3} x^{7}} {7!}}+\ cdots.}$$

Zákon sines v konstantní zakřivení K zní

$${\ Displaystyle {\ frac {\ sin A} {\ sin _ {K} a}} = {\ frac {\ sin B} {\ sin _ {K} b}} = {\ frac {\ sin C} { \ sin _ {K} c}} \ ,.}$$

Substitucí K = 0 , K = 1 a K = −1 získáme euklidovské, sférické a hyperbolické případy výše popsaného zákona sinusů.

Nechť p _K ( R ) uvést obvodu kruhu o poloměru r v prostoru s konstantní zakřivení K . Pak p _K ( r ) = 2 π sin _K r . Proto lze sinový zákon vyjádřit také jako:

$${\ Displaystyle {\ frac {\ sin A} {p_ {K} (a)}} = {\ frac {\ sin B} {p_ {K} (b)}} = {\ frac {\ sin C} { p_ {K} (c)}} \ ,.}$$

Tuto formulaci objevil János Bolyai .

Vyšší rozměry

U systému n rozměrné simplex (tj trojúhelník ( n = 2 ), čtyřstěn ( n = 3 ), pentatope ( n = 4 ), atd.) V n rozměrný euklidovský prostor je absolutní hodnota z polárního sinus ( psin ) z běžných vektorů těchto aspektů , které se setkávají na vrcholu , dělená hyperarea z plošky naproti vrcholu je nezávislý na výběru vrcholu. Psaní V pro hypervolume n -dimenzionálního simplexu a P pro součin hyperprostorů jeho ( n -1) -dimenzionálních faset, společný poměr je

$${\ displaystyle {\ frac {(nV)^{n-1}} {(n-1)! P}}.}$$

Například čtyřstěn má čtyři trojúhelníkové fasety. Absolutní hodnota polárního sinu normálních vektorů ke třem fazetám, které sdílejí vrchol, děleno oblastí čtvrtého aspektu nebude záviset na volbě vrcholu:

$${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ frac {\ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}, \ mathbf {n_ {4}}) \ right |} {\ mathrm {Area} _ {1}}} = {\ frac {\ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {3}}, \ mathbf {n_ {4}}) \ right |} {\ mathrm {Area} _ {2}}} = {\ frac {\ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {4}}) \ right |} {\ mathrm {Area} _ {3}}} = {\ frac {\ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1 }}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}) \ right |} {\ mathrm {Area} _ {4}}} \\ [4pt] = {} & {\ frac { (3 \ operatorname {Volume} _ {\ mathrm {tetrahedron}})^{2}} {2! ~ \ Mathrm {Area} _ {1} \ mathrm {Area} _ {2} \ mathrm {Area} _ { 3} \ mathrm {Area} _ {4}}} \,. \ End {aligned}}}$$

Viz také

• Gersonides
• Poloviční formule  -pro řešení sférických trojúhelníků
• Kosinový zákon
• Zákon tečen
• Zákon kotangens
• Mollweideův vzorec  - pro kontrolu řešení trojúhelníků
• Řešení trojúhelníků
• Zeměměřičství

Reference

externí odkazy

• „Sine theorem“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Zákon sinů na hranici uzlu
• Stupeň zakřivení
• Nalezení sinus 1 stupeň
• Zobecněný zákon sinusů do vyšších dimenzí
• Zákon sinů - ProofWiki