Legendární polynomy - Legendre polynomials

Šest prvních Legendrových polynomů.

Ve fyzikální vědě a matematice jsou Legendrovy polynomy (pojmenované po Adrien-Marie Legendrovi , který je objevil v roce 1782) systém úplných a ortogonálních polynomů s velkým počtem matematických vlastností a mnoha aplikacemi. Lze je definovat mnoha způsoby a různé definice zdůrazňují různé aspekty a také navrhují zobecnění a spojení s různými matematickými strukturami a fyzickými a numerickými aplikacemi.

Úzce souvisí s Legendrových polynomy jsou spojené Legendrovy polynomy , Legendrovy funkce , Legendrovy funkce druhého druhu a přidružené Legendrovy funkce .

Definice konstrukcí jako ortogonální systém

V tomto přístupu jsou polynomy definovány jako ortogonální systém s ohledem na váhovou funkci v průběhu intervalu . To znamená, že jde o polynom stupně , takový, že ${\ Displaystyle w (x) = 1}$${\ Displaystyle [-1,1]}$${\ displaystyle P_ {n} (x)}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ int _ {-1}^{1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \, dx = 0 \ quad {\ text {if}} n \ neq m.}$

To určuje polynomy úplně až do celkového faktoru měřítka, který je stanoven standardizací . Že se jedná o konstruktivní definice je vidět takto: Je to jediný správně standardizován polynom stupně 0. musí být kolmá k , což vede k , a je určena náročné ortogonalita na a , a tak dále. je fixována náročnou ortogonalitou pro všechny s . To dává podmínky, které spolu se standardizací fixují všechny koeficienty v . S prací lze systematicky určovat všechny koeficienty každého polynomu, což vede k explicitní reprezentaci níže uvedených mocnin . ${\ displaystyle P_ {n} (1) = 1}$${\ displaystyle P_ {0} (x) = 1}$${\ displaystyle P_ {1} (x)}$${\ displaystyle P_ {0}}$${\ displaystyle P_ {1} (x) = x}$${\ displaystyle P_ {2} (x)}$${\ displaystyle P_ {0}}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {n}}$${\ displaystyle P_ {m}}$${\ Displaystyle m <n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle P_ {n} (1) = 1}$${\ displaystyle n+1}$${\ displaystyle P_ {n} (x)}$${\ displaystyle x}$

Tato definice „s“ je nejjednodušší. Nelze se odvolat na teorii diferenciálních rovnic. Za druhé, úplnost polynomů vyplývá bezprostředně z úplnosti pravomocí 1, . Nakonec je definuje pomocí ortogonality s ohledem na nejzřetelnější váhovou funkci na konečném intervalu a nastaví Legendrovy polynomy jako jeden ze tří klasických ortogonálních polynomiálních systémů . Dalšími dvěma jsou Laguerreovy polynomy , které jsou ortogonální přes poloviční čáru , a Hermitovy polynomy , ortogonální přes plnou čáru , s hmotnostními funkcemi, které jsou nejpřirozenějšími analytickými funkcemi, které zajišťují konvergenci všech integrálů. ${\ displaystyle P_ {n}}$${\ Displaystyle x, x^{2}, x^{3}, \ ldots}$${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ Displaystyle (-\ infty, \ infty)}$

Definice pomocí funkce generování

Tyto Legendrovy polynomy může také být definován jako koeficienty ve formálním expanzi v pravomoci z funkce generování${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2xt+t^{2}}}} = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} P_ {n} (x) t^{n } \ ,.}$

( 2 )

Koeficient je polynom ve stupních . Rozšiřuje se až dává ${\ displaystyle t^{n}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle t^{1}}$

${\ Displaystyle P_ {0} (x) = 1 \ ,, \ quad P_ {1} (x) = x.}$

Expanze na vyšší objednávky je stále těžkopádnější, ale je možné ji provádět systematicky a opět vede k jedné z níže uvedených explicitních forem.

Je však možné získat vyšší, aniž byste se uchýlili k přímému rozšíření řady Taylor. Rov. 2 je diferencován s ohledem na t na obou stranách a přeskupen tak, aby získal ${\ displaystyle P_ {n}}$

${\ Displaystyle {\ frac {xt} {\ sqrt {1-2xt+t^{2}}}} = \ left (1-2xt+t^{2} \ right) \ sum _ {n = 1}^ {\ infty} nP_ {n} (x) t^{n-1} \ ,.}$

Nahrazení podílu odmocniny jeho definicí v rovnici. 2 a rovnající se koeficienty sil t ve výsledné expanzi dává Bonnetův rekurzivní vzorec

${\ Displaystyle (n+1) P_ {n+1} (x) = (2n+1) xP_ {n} (x) -nP_ {n-1} (x) \ ,.}$

Tento vztah spolu s prvními dvěma polynomy P ₀ a P ₁ umožňuje rekurzivně generovat zbytek.

Přístup generující funkce je přímo spojen s vícepólovou expanzí v elektrostatice, jak je vysvětleno níže, a jak polynomy poprvé definoval Legendre v roce 1782.

Definice pomocí diferenciální rovnice

Třetí definice je z hlediska řešení Legendrovy diferenciální rovnice:

${\ Displaystyle (1-x^{2}) P_ {n} '' (x) -2xP_ {n} '(x)+n (n+1) P_ {n} (x) = 0}$

( 1 )

Tato diferenciální rovnice má pravidelné singulární body při x = ± 1, takže pokud se hledá řešení pomocí standardní metody Frobenius nebo výkonové řady , řada o původu bude konvergovat pouze pro | x | <1 obecně. Když n je celé číslo, řešení P _n ( x ), které je pravidelné v x = 1, je také pravidelné v x = −1 a řada pro toto řešení končí (tj. Je to polynom). Ortogonalita a úplnost těchto řešení je nejlépe vidět z hlediska Sturm -Liouvilleovy teorie . Přepíšeme diferenciální rovnici jako problém vlastní hodnoty,

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ left (1-x^{2} \ right) {\ frac {d} {dx}} \ right) P (x) =-\ lambda P (x) \ ,,}$

s vlastní hodnotou místo . Pokud požadujeme, aby bylo řešení pravidelné , je diferenciální operátor vlevo Hermitian . Bylo zjištěno, že vlastní čísla jsou ve tvaru n ( n + 1) , s , a vlastní funkce jsou . Ortogonalita a úplnost této sady řešení plyne najednou z většího rámce Sturm -Liouvilleovy teorie. ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle n (n+1)}$${\ Displaystyle x = \ pm 1}$${\ Displaystyle n = 0,1,2, \ ldots}$${\ displaystyle P_ {n} (x)}$

Diferenciální rovnice připouští další, nepolynomiální řešení, Legendrovy funkce druhého druhu . Dvouparametrická generalizace (Rovnice  1 ) se nazývá Legendrova obecná diferenciální rovnice, řešená asociačními Legendrovými polynomy . Funkce Legendre jsou řešení Legendrovy diferenciální rovnice (generalizované nebo ne) s neceločíselnými parametry. ${\ displaystyle Q_ {n}}$

Ve fyzickém prostředí Legendrova diferenciální rovnice vzniká přirozeně vždy, když řešíme Laplaceovu rovnici (a související parciální diferenciální rovnice ) oddělením proměnných v sférických souřadnicích . Z tohoto hlediska jsou vlastními funkcemi úhlové části Laplaciánova operátoru sférické harmonické , z nichž Legendreovy polynomy jsou (až do multiplikativní konstanty) podmnožinou, která zůstává rotací kolem polární osy neměnná. Polynomy vypadají, kde je polární úhel. Tento přístup k Legendrovým polynomům poskytuje hluboké spojení s rotační symetrií. Mnoho z jejich vlastností, které se pracně zjišťují pomocí analytických metod - například adiční věta - lze snadněji najít pomocí metod symetrie a teorie skupin a získat hluboký fyzický a geometrický význam. ${\ Displaystyle P_ {n} (\ cos \ theta)}$${\ displaystyle \ theta}$

Ortogonalita a úplnost

Standardizace opravuje normalizaci Legendrových polynomů (s ohledem na normu L ² v intervalu −1 ≤ x ≤ 1 ). Vzhledem k tomu, že jsou také ortogonální s ohledem na stejnou normu, lze obě tvrzení spojit do jediné rovnice, ${\ displaystyle P_ {n} (1) = 1}$

${\ Displaystyle \ int _ {-1}^{1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \, dx = {\ frac {2} {2n+1}} \ delta _ {mn} ,}$

(kde δ _mn označuje Kroneckerovu deltu , rovnou 1, pokud m = n, a 0 jinak). Tuto normalizaci lze nejsnáze zjistit pomocí Rodriguesova vzorce uvedeného níže.

Že jsou polynomy úplné, znamená následující. Vzhledem k jakékoli kusové spojité funkci s konečným množstvím nespojitostí v intervalu [−1,1], posloupnosti součtů ${\ displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle f_ {n} (x) = \ sum _ {\ ell = 0}^{n} a _ {\ ell} P _ {\ ell} (x)}$

konverguje ve smyslu k as , za předpokladu, že vezmeme ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$

${\ Displaystyle a _ {\ ell} = {\ frac {2 \ ell +1} {2}} \ int _ {-1}^{1} f (x) P _ {\ ell} (x) \, dx}$

Tato vlastnost úplnosti je základem všech rozšíření popsaných v tomto článku a je často uvedena ve formuláři

${\ Displaystyle \ sum _ {\ ell = 0}^{\ infty} {\ frac {2 \ ell +1} {2}} P _ {\ ell} (x) P _ {\ ell} (y) = \ delta (xy),}$

s −1 ≤ x ≤ 1 a −1 ≤ y ≤ 1 .

Rodriguesův vzorec a další explicitní vzorce

Zvláště kompaktní výraz pro Legendrovy polynomy je dán Rodriguesovým vzorcem :

${\ Displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {2^{n} n!}} {\ frac {d^{n}} {dx^{n}}} (x^{2 } -1)^{n} \ ,.}$

Tento vzorec umožňuje odvození velkého počtu vlastností 's'. Mezi nimi jsou explicitní reprezentace jako ${\ displaystyle P_ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} P_ {n} (x) & = {\ frac {1} {2^{n}}} \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}}^{2} (x-1)^{nk} (x+1)^{k}, \\ P_ {n} (x) & = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} {\ binom {n+k} {k}} \ left ({\ frac {x-1} {2}} \ right)^{k}, \\ P_ {n } (x) & = {\ frac {1} {2^{n}}} \ sum _ {k = 0}^{[{\ frac {n} {2}}]} (-1)^{k } {\ binom {n} {k}} {\ binom {2n-2k} {n}} x^{n-2k}, \\ P_ {n} (x) & = 2^{n} \ sum _ {k = 0}^{n} x^{k} {\ binom {n} {k}} {\ binom {\ frac {n+k-1} {2}} {n}}, \ end {zarovnáno }}}$

kde poslední, který je také bezprostřední z rekurzního vzorce, vyjadřuje Legendreovy polynomy jednoduchými monomii a zahrnuje generalizovanou formu binomického koeficientu .

Prvních několik Legendrových polynomů je:

${\ displaystyle {\ begin {array} {r | r} n & P_ {n} (x) \\\ hline 0 & 1 \\ 1 & x \\ 2 & {\ tfrac {1} {2}} \ left (3x^{2} -1 \ right) \\ 3 & {\ tfrac {1} {2}} \ left (5x^{3} -3x \ right) \\ 4 & {\ tfrac {1} {8}} \ left (35x^{ 4} -30x^{2} +3 \ right) \\ 5 & {\ tfrac {1} {8}} \ left (63x^{5} -70x^{3}+15x \ right) \\ 6 & {\ tfrac {1} {16}} \ left (231x^{6} -315x^{4}+105x^{2} -5 \ right) \\ 7 & {\ tfrac {1} {16}} \ left (429x ^{7} -693x^{5}+315x^{3} -35x \ right) \\ 8 & {\ tfrac {1} {128}} \ left (6435x^{8} -12012x^{6}+6930x ^{4} -1260x^{2} +35 \ right) \\ 9 & {\ tfrac {1} {128}} \ left (12155x^{9} -25740x^{7}+18018x^{5} -4620x ^{3}+315x \ right) \\ 10 & {\ tfrac {1} {256}} \ left (46189x^{10} -109395x^{8}+90090x^{6} -30030x^{4}+3465x ^{2} -63 \ right) \\\ hline \ end {array}}}$

Grafy těchto polynomů (až n = 5 ) jsou uvedeny níže:

Aplikace Legendrových polynomů

Rozšíření potenciálu 1/ r

Polynomy Legendre byly poprvé představeny v roce 1782 Adrienem-Marie Legendrem jako koeficienty v expanzi newtonovského potenciálu

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {x} -\ mathbf {x} '\ right |}} = {\ frac {1} {\ sqrt {r^{2}+{r' }^{2} -2r {r '} \ cos \ gamma}}} = \ sum _ _ \ \ ell = 0}^{\ infty} {\ frac {{r'}^{\ ell}} {r^ {\ ell +1}}} P _ {\ ell} (\ cos \ gamma),}$

kde r a r ' jsou délky vektorů x respektive x ' a γ je úhel mezi těmito dvěma vektory. Série konverguje, když r > r ' . Tento výraz udává gravitační potenciál spojený s hmotou bodu nebo Coulombův potenciál spojený s bodovým nábojem . Rozšíření pomocí Legendrových polynomů může být užitečné například při integraci tohoto výrazu do spojité distribuce hmoty nebo náboje.

Legendární polynomy se vyskytují při řešení Laplaceovy rovnice statického potenciálu , ∇ ² Φ ( x ) = 0 , v oblasti bez náboje v prostoru pomocí metody oddělení proměnných , kde okrajové podmínky mají osovou symetrii (bez závislosti na azimutálním úhlu ). Kde ẑ je osa symetrie a θ je úhel mezi polohou pozorovatele a osou ẑ (úhel zenitu), řešení potenciálu bude

${\ Displaystyle \ Phi (r, \ theta) = \ sum _ {\ ell = 0}^{\ infty} \ left (A _ {\ ell} r^{\ ell}+B _ {\ ell} r^{- (\ ell +1)} \ right) P _ {\ ell} (\ cos \ theta) \ ,.}$

A _l a B _l se určí podle okrajových podmínek každého problému.

Objevují se také při řešení Schrödingerovy rovnice ve třech rozměrech pro centrální sílu.

Legendy polynomů ve vícepólových expanzích

Polynomy Legendre jsou také užitečné při rozšiřování funkcí formuláře (je to stejné jako dříve, napsané trochu jinak):

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ eta ^{2} -2 \ eta x}}} = \ sum _ {k = 0} ^{\ infty} \ eta ^{k} P_ {k} (x),}$

které přirozeně vznikají ve vícepólových expanzích . Levá strana rovnice je generující funkcí pro Legendrovy polynomy.

Jako příklad, v elektrického potenciálu cp ( r , θ ) (ve sférických souřadnicích ) v důsledku bodového náboje umístěného na Z aretačním kroužkem na Z = (viz obrázek vpravo) se mění jako

${\ Displaystyle \ Phi (r, \ theta) \ propto {\ frac {1} {R}} = {\ frac {1} {\ sqrt {r^{2}+a^{2} -2ar \ cos \ theta}}}.}$

Pokud je poloměr r pozorovacího bodu P větší než a , může být potenciál rozšířen v Legendrových polynomech

${\ Displaystyle \ Phi (r, \ theta) \ propto {\ frac {1} {r}} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} \ left ({\ frac {a} {r}} \ vpravo)^{k} P_ {k} (\ cos \ theta),}$

kde jsme definovali η = A/r<1 a x = cos θ . Toto rozšíření se používá k vývoji normální multipólové expanze .

Naopak, pokud je poloměr r pozorovacího bodu P menší než a , potenciál může být v Legendrových polynomech stále rozšířen, jak je uvedeno výše, ale s a a r vyměněnými. Toto rozšíření je základem vícepólového rozšíření interiéru .

Legendární polynomy v trigonometrii

Trigonometrické funkce cos nθ , označované také jako Chebyshevovy polynomy T _n (cos θ ) ≡ cos nθ , lze také vícepólové rozšířit o Legendreovy polynomy P _n (cos θ ) . Prvních několik objednávek je následující:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} T_ {0} (\ cos \ theta) & = 1 && = P_ {0} (\ cos \ theta), \\ [4pt] T_ {1} (\ cos \ theta) & = \ cos \ theta && = P_ {1} (\ cos \ theta), \\ [4pt] T_ {2} (\ cos \ theta) & = \ cos 2 \ theta && = {\ tfrac {1} {3 }} {\ bigl (} 4P_ {2} (\ cos \ theta) -P_ {0} (\ cos \ theta) {\ bigr)}, \\ [4pt] T_ {3} (\ cos \ theta) & = \ cos 3 \ theta && = {\ tfrac {1} {5}} {\ bigl (} 8P_ {3} (\ cos \ theta) -3P_ {1} (\ cos \ theta) {\ bigr)}, \\ [4pt] T_ {4} (\ cos \ theta) & = \ cos 4 \ theta && = {\ tfrac {1} {105}} {\ bigl (} 192P_ {4} (\ cos \ theta)- 80P_ {2} (\ cos \ theta) -7P_ {0} (\ cos \ theta) {\ bigr)}, \\ [4pt] T_ {5} (\ cos \ theta) & = \ cos 5 \ theta && = {\ tfrac {1} {63}} {\ bigl (} 128P_ {5} (\ cos \ theta) -56P_ {3} (\ cos \ theta) -9P_ {1} (\ cos \ theta) {\ bigr)}, \\ [4pt] T_ {6} (\ cos \ theta) & = \ cos 6 \ theta && = {\ tfrac {1} {1155}} {\ bigl (} 2560P_ {6} (\ cos \ theta) -1152P_ {4} (\ cos \ theta) -220P_ {2} (\ cos \ theta) -33P_ {0} (\ cos \ theta) {\ bigr)}. \ end {zarovnáno}}}$

Další vlastností je výraz pro sin ( n + 1) θ , což je

${\ Displaystyle {\ frac {\ sin (n+1) \ theta} {\ sin \ theta}} = \ sum _ {\ ell = 0}^{n} P _ {\ ell} (\ cos \ theta) P_ {n- \ ell} (\ cos \ theta).}$

Legendární polynomy v rekurentních neuronových sítích

Rekurentní neuronová síť , která obsahuje d rozměrný vektor paměti, mohou být optimalizovány tak, aby její neurální aktivity řídit lineární časově invariantní systém vypočítá podle následujícího znázornění stavového prostoru : ${\ Displaystyle \ mathbf {m} \ in \ mathbb {R} ^{d}}$

${\ Displaystyle \ theta {\ dot {\ mathbf {m}}} (t) = A \ mathbf {m} (t)+Bu (t)}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} A & = \ left [a \ right] _ {ij} \ in \ mathbb {R} ^{d \ times d} {\ text {,}} \ quad && a_ {ij} = \ left (2i+1 \ right) {\ begin {cases} -1 & i <j \\ (-1)^{i-j+1} & i \ geq j \ end {cases}} \\ B & = \ left [ b \ right] _ {i} \ in \ mathbb {R} ^{d \ times 1} {\ text {,}} \ quad && b_ {i} = (2i+1) (-1) ^{i} { \ text {.}} \ end {aligned}}}$

V tomto případě je posuvné okno napříč minulými časovými jednotkami nejlépe aproximováno lineární kombinací prvních posunutých Legendrových polynomů, vážených dohromady prvky v čase : ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ mathbf {m}}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle u (t- \ theta ') \ cca \ sum _ {\ ell = 0}^{d-1} {\ widetilde {P}} _ {\ ell} \ left ({\ frac {\ theta' } {\ theta}} \ right) \, m _ {\ ell} (t) {\ text {,}} \ quad 0 \ leq \ theta '\ leq \ theta {\ text {.}}}$

V kombinaci s metodami hlubokého učení mohou být tyto sítě vyškoleny, aby překonaly jednotky dlouhodobé krátkodobé paměti a související architektury, a přitom využívaly méně výpočetních prostředků.

Další vlastnosti Legendrových polynomů

Legendární polynomy mají určitou paritu. To znamená, že jsou sudé nebo liché , podle

${\ Displaystyle P_ {n} (-x) = (-1)^{n} P_ {n} (x) \ ,.}$

Další užitečnou vlastností je

${\ Displaystyle \ int _ {-1}^{1} P_ {n} (x) \, dx = 0 {\ text {for}} n \ geq 1,}$

což vyplývá z uvažování vztahu ortogonality s . Je vhodné, když se k přiblížení funkce nebo experimentálních dat používá řada Legendre : průměr řady v intervalu [−1, 1] je jednoduše dán počátečním koeficientem expanze . ${\ displaystyle P_ {0} (x) = 1}$${\ displaystyle \ sum _ {i} a_ {i} P_ {i}}$${\ displaystyle a_ {0}}$

Protože diferenciální rovnice a vlastnost ortogonality jsou nezávislé na škálování, definice Legendrových polynomů jsou „standardizované“ (někdy se jim říká „normalizace“, ale skutečná norma není 1) tím, že jsou zmenšeny tak, že

${\ Displaystyle P_ {n} (1) = 1 \ ,.}$

Derivace v koncovém bodě je dána vztahem

${\ Displaystyle P_ {n} '(1) = {\ frac {n (n+1)} {2}} \ ,.}$

Askey-Gasper nerovnost pro Legendrových polynomů čte

${\ Displaystyle \ sum _ {j = 0}^{n} P_ {j} (x) \ geq 0 \, \ quad {\ text {for}} x \ geq -1 \ ,.}$

Na Legendrovy polynomy a skalární součin z jednotkové vektory mohou být rozšířeny sférických použití

${\ Displaystyle P _ {\ ell} \ left (r \ cdot r '\ right) = {\ frac {4 \ pi} {2 \ ell +1}} \ sum _ {m =-\ ell}^{\ ell } Y _ {\ ell m} (\ theta, \ varphi) Y _ {\ ell m}^{*} (\ theta ', \ varphi') \ ,,}$

kde jednotkové vektory r a r ' mají sférické souřadnice ( θ , φ ) a ( θ ′, φ ′) .

Vztahy s opakováním

Jak již bylo uvedeno výše, Legendreovy polynomy dodržují relaci se třemi termíny opakování známou jako Bonnetův rekurzivní vzorec

${\ Displaystyle (n+1) P_ {n+1} (x) = (2n+1) xP_ {n} (x) -nP_ {n-1} (x)}$

a

${\ Displaystyle {\ frac {x^{2} -1} {n}} {\ frac {d} {dx}} P_ {n} (x) = xP_ {n} (x) -P_ {n-1 }(X)\,}$

nebo s alternativním výrazem, který také platí v koncových bodech

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} P_ {n+1} (x) = (n+1) P_ {n} (x)+x {\ frac {d} {dx}} P_ {n }(X)\,.}$

Užitečné pro integraci Legendrových polynomů je

${\ Displaystyle (2n+1) P_ {n} (x) = {\ frac {d} {dx}} {\ bigl (} P_ {n+1} (x) -P_ {n-1} (x) {\ bigr)} \ ,.}$

Z výše uvedeného je také vidět, že

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} P_ {n+1} (x) = (2n+1) P_ {n} (x)+{\ bigl (} 2 (n-2) +1 { \ bigr)} P_ {n-2} (x)+{\ bigl (} 2 (n-4) +1 {\ bigr)} P_ {n-4} (x)+\ cdots}$

nebo ekvivalentně

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} P_ {n+1} (x) = {\ frac {2P_ {n} (x)} {\ left \ | P_ {n} \ right \ |^{ 2}}}+{\ frac {2P_ {n-2} (x)} {\ left \ | P_ {n-2} \ right \ |^{2}}}+\ cdots}$

kde || P _n || je normou v intervalu −1 ≤ x ≤ 1

${\ Displaystyle \ | P_ {n} \ | = {\ sqrt {\ int _ {-1}^{1} {\ bigl (} P_ {n} (x) {\ bigr)}^{2} \, dx}} = {\ sqrt {\ frac {2} {2n+1}}} \ ,.}$

Asymptotici

Asymptoticky pro ${\ displaystyle \ ell \ to \ infty}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} P _ {\ ell} (\ cos \ theta) & = {\ sqrt {\ frac {\ theta} {\ sin \ theta}}} \, J_ {0} ((\ \ll +1/2) \ theta)+{\ mathcal {O}} \ left (\ ell ^{-1} \ right) \\ & = {\ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi \ ell \ sin \ theta}}} \ cos \ left (\ left (\ ell +{\ tfrac {1} {2}} \ right) \ theta -{\ frac {\ pi} {4}} \ right) +{\ mathcal {O}} \ left (\ ell ^{-3/2} \ right), \ quad \ theta \ in (0, \ pi), \ end {aligned}}}$

a pro argumenty větší než 1

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} P _ {\ ell} \ left (\ cosh \ xi \ right) & = {\ sqrt {\ frac {\ xi} {\ sinh \ xi}}} I_ {0} \ left (\ left (\ ell +{\ frac {1} {2}} \ right) \ xi \ right) \ left (1 +{\ mathcal {O}} \ left (\ ell ^{-1} \ right) \ right) \ ,, \\ P _ {\ ell} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1-e^{2}}}} \ right) & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ ell e}}} {\ frac {(1 +e)^{\ frac {\ ell +1} {2}}} {(1-e)^{\ frac {\ ell} {2 }}}}+{\ mathcal {O}} \ left (\ ell ^{-1} \ right) \ end {aligned}}}$

kde J ₀ a I ₀ jsou Besselovy funkce .

Nuly

Všechny nuly jsou skutečné, navzájem se liší a leží v intervalu . Dále, pokud je považujeme za dělení intervalu na podintervaly, každý subinterval bude obsahovat přesně jednu nulu . Toto je známé jako vlastnost prokládání. Vzhledem k paritní vlastnosti je zřejmé, že pokud je nula , tak je . Tyto nuly hrají důležitou roli v numerické integraci založené na Gaussově kvadratuře . Specifická kvadratura založená na 'je známá jako Gauss-Legendreova kvadratura. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle P_ {n} (x)}$${\ Displaystyle (-1,1)}$${\ Displaystyle [-1,1]}$${\ displaystyle n+1}$${\ displaystyle P_ {n+1}}$${\ displaystyle x_ {k}}$${\ displaystyle P_ {n} (x)}$${\ displaystyle -x_ {k}}$${\ displaystyle P_ {n}}$

Z této vlastnosti a faktů , které vyplývají, má lokální minima a maxima . Ekvivalentně má nuly v . ${\ Displaystyle P_ {n} (\ pm 1) \ neq 0}$${\ displaystyle P_ {n} (x)}$${\ displaystyle n-1}$${\ Displaystyle (-1,1)}$${\ displaystyle dP_ {n} (x)/dx}$${\ displaystyle n-1}$${\ Displaystyle (-1,1)}$

Bodové hodnocení

Parita a normalizace implikují hodnoty na hranicích, které mají být ${\ Displaystyle x = \ pm 1}$

${\ Displaystyle P_ {n} (1) = 1 \ ,, \ quad P_ {n} (-1) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {for}} \ quad n = 2m \\-1 & { \ text {for}} \ quad n = 2m+1 \,. \ end {cases}}}$

Na počátku lze ukázat, že hodnoty jsou dány pomocí ${\ displaystyle x = 0}$

${\ displaystyle P_ {n} (0) = {\ begin {cases} {\ frac {(-1)^{m}} {4^{m}}} {\ tbinom {2m} {m}} = { \ frac {(-1)^{m}} {2^{2m}}} {\ frac {(2m)!} {\ left (m! \ right)^{2}}} & {\ text {for }} \ quad n = 2m \\ 0 & {\ text {for}} \ quad n = 2m+1 \,. \ end {cases}}}$

Legendární polynomy s transformovaným argumentem

Posunuté polynomy Legendre

Tyto posunuté Legendrovy polynomy jsou definovány jako

${\ displaystyle {\ widetilde {P}} _ {n} (x) = P_ {n} (2x-1) \,}$.

Zde "posun" funkce x ↦ 2 x - 1 je afinní transformace , která bijectively mapuje interval [0,1] do intervalu [-1,1] , z čehož vyplývá, že polynomy P _n ( x ) jsou kolmé na [0 , 1] :

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{1} {\ widetilde {P}} _ {m} (x) {\ widetilde {P}} _ {n} (x) \, dx = {\ frac {1 } {2n+1}} \ delta _ {mn} \ ,.}$

Explicitní výraz pro posunuté Legendreovy polynomy je dán znakem

${\ Displaystyle {\ widetilde {P}} _ {n} (x) = (-1)^{n} \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} {\ binom {n+k} {k}} (-x)^{k} \ ,.}$

Analog Rodriguesova vzorce pro posunuté Legendrovy polynomy je

${\ Displaystyle {\ widetilde {P}} _ {n} (x) = {\ frac {1} {n!}} {\ frac {d^{n}} {dx^{n}}} \ left ( x^{2} -x \ vpravo)^{n} \ ,.}$

Prvních několik posunutých Legendrových polynomů je:

${\ Displaystyle {\ begin {array} {r | r} n & {\ widetilde {P}} _ {n} (x) \\\ hline 0 & 1 \\ 1 & 2x-1 \\ 2 & 6x^{2} -6x+1 \\ 3 & 20x^{3} -30x^{2}+12x-1 \\ 4 & 70x^{4} -140x^{3}+90x^{2} -20x+1 \\ 5 & 252x^{5} -630x^ {4}+560x^{3} -210x^{2}+30x-1 \ end {array}}}$

Legendární racionální funkce

Tyto racionální funkce Legendreovy jsou sekvence ortogonálních funkcí na [0, ∞). Získávají se složením Cayleyovy transformace s Legendrovými polynomy.

Racionální Legendrova funkce stupně n je definována jako:

${\ Displaystyle R_ {n} (x) = {\ frac {\ sqrt {2}} {x+1}} \, P_ {n} \ left ({\ frac {x-1} {x+1}} \že jo)\,.}$

Jsou to vlastní funkce singulárního problému Sturm – Liouville :

${\ Displaystyle (x+1) \ částečné _ {x} (x \ částečné _ {x} ((x+1) v (x)))+\ lambda v (x) = 0}$

s vlastními hodnotami

${\ Displaystyle \ lambda _ {n} = n (n+1) \ ,.}$

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Rychlé neformální odvození Legendrova polynomu v kontextu kvantové mechaniky vodíku
• „Legendre polynomials“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Záznam Wolfram MathWorld o polynomech Legendre
• Článek doktora Jamese B. Calverta o Legendrových polynomech z jeho osobní sbírky matematiky
• Legendre Polynomials od Carlyle E. Moore
• Legendre Polynomials from Hyperphysics