Nastavená úroveň - Level set

Výpočtovou techniku ​​najdete v části Metoda úrovně . Rovné povrchy silových polí viz Ekvipotenciální plocha .

Body na konstantních řezech x 2 = f ( x 1 ) .
Čáry s konstantními řezy x 3 = f ( x 1 , x 2 ) .
Roviny s konstantními řezy x 4 = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) .
( n -1) -rozměrné množiny úrovní pro funkce tvaru f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n kde a 1 , a 2 , ..., a n jsou konstanty v ( n + 1) dimenzionálním euklidovském prostoru, pro n = 1, 2, 3.
Body na konstantních řezech x 2 = f ( x 1 ) .
Obrysové křivky při konstantních řezech x 3 = f ( x 1 , x 2 ) .
Zakřivené povrchy při konstantních řezech x 4 = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) .
( n -1) -dimenzionální množiny úrovní nelineárních funkcí f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) v ( n + 1) -dimenzionálním euklidovském prostoru, pro n = 1, 2, 3.

V matematiky , je nastavený stupeň o skutečné cenil funkce f o n reálných proměnných je sada , kde se funkce se na dané konstantní hodnoty C , která je:

Když je počet nezávislých proměnných dva, množina úrovní se nazývá křivka úrovně , známá také jako vrstevnice nebo isolin ; takže křivka úrovně je množina všech řešení rovnice se dvěma reálnými hodnotami ve dvou proměnných x 1 a x 2 . Když n  = 3, množina úrovní se nazývá rovná plocha (nebo isosurface ); rovný povrch je tedy množinou všech reálných kořenů rovnice ve třech proměnných x 1 , x 2 a x 3 . Pro vyšší hodnoty n je sada úrovní hladinovým povrchem , množinou všech reálných kořenů rovnice v n > 3 proměnných.

Sada úrovní je speciální případ vlákna .

Alternativní názvy

Průsečíky rovných ploch souřadnicové funkce s uzlem trojlístku . Červené křivky jsou divákovi nejblíže, zatímco žluté křivky nejdál.

Sady úrovní se zobrazují v mnoha aplikacích, často pod různými názvy.

Implicitní křivka je například křivka úrovně, která je považována za nezávislou na sousedních křivkách a zdůrazňuje, že taková křivka je definována implicitní rovnicí . Analogicky je rovný povrch někdy nazýván implicitní povrch nebo isosurface .

Používá se také název isocontour, což znamená obrys stejné výšky. V různých aplikačních oblastech, isokontury obdrželi konkrétní jména, které indikují často charakter hodnot posuzovaného funkce, jako je například izobary , izoterma , isogon , isochrone , izokvanta a indiferenční křivky .

Příklady

Zvažte 2-dimenzionální euklidovskou vzdálenost:

Sada úrovní této funkce se skládá z bodů, které leží ve vzdálenosti od počátku, jinak známé jako kruh . Například proto, že . Geometricky to znamená, že bod leží na kruhu o poloměru 5 se středem na počátku. Obecněji lze kouli v metrickém prostoru s poloměrem na střed definovat jako nastavenou úroveň .

Druhým příkladem je vykreslení Himmelblauovy funkce zobrazené na obrázku vpravo. Každá zobrazená křivka je křivkou úrovně funkce a jsou logaritmicky rozmístěny: pokud křivka představuje , křivka přímo „uvnitř“ představuje a křivka přímo „mimo“ představuje .

Křivková křivka logické vzdálenosti Himmelblauovy funkce

Sady úrovní versus přechod

Uvažujme funkci f, jejíž graf vypadá jako kopec. Modré křivky jsou sady úrovní; červené křivky sledují směr přechodu. Opatrný turista sleduje modré cesty; odvážný turista jde po červených cestách. Všimněte si, že modré a červené cesty se vždy kříží v pravém úhlu.
Věta : V případě, že funkce f je diferencovatelná se spád z F v bodě je buď nulový, nebo kolmo k sadě úrovni f v tomto bodě.

Abyste pochopili, co to znamená, představte si, že dva turisté jsou na stejném místě na hoře. Jeden z nich je odvážný a rozhodne se jít směrem, kde je svah nejstrmější. Ten druhý je opatrnější; nechce stoupat ani sestupovat a zvolit si cestu, která ho udrží ve stejné výšce. V naší analogii výše uvedená věta říká, že se oba turisté vydají ve směrech kolmých na sebe.

Důsledkem této věty (a její důkaz), je, že pokud f je diferencovatelná, sada úroveň je hypersurface a potrubí mimo kritických bodů z f . V kritickém bodě, může být sada hladina sníží na bod (například při lokální extrém z f ), nebo může mít výstřednost jako je vlastním průsečíku nebo prahu .

Soupravy podúrovňových a nadúrovňových

Sada formuláře

se nazývá podzemním sadu o f (nebo, alternativně, je nižší úroveň nastavenou nebo výkopu o f ). Striktní podúrovně množina f je

Podobně

se nazývá superlevel sadu ve f . A podobně je přísná superúrovňová sada f

Podúrovňové sady jsou v teorii minimalizace důležité . Boundness některých non-prázdné Podzemních sadou a dolní-polospojitost funkce znamená, že funkce nabývá svého minima, by Weierstrassova teorému . Convexity všech Podzemních souprav charakterizuje quasiconvex funkce .

Viz také

Reference