Magnetohydrodynamická turbulence - Magnetohydrodynamic turbulence

Magnetohydrodynamická turbulence se týká chaotických režimů proudění magnetofluidu při vysokém Reynoldsově čísle . Magnetohydrodynamika (MHD) se zabývá kvazi-neutrální tekutinou s velmi vysokou vodivostí . Tekutá aproximace znamená, že se zaměřujeme na makra délky a času, která jsou mnohem větší než délka kolize a doba kolize.

Nestlačitelné rovnice MHD

Nestlačitelné rovnice MHD jsou

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}}+\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} & =-\ nabla p+\ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} +\ nu \ nabla ^{2} \ mathbf {u} \\ [5pt] {\ frac {\ částečné \ mathbf {B}} {\ částečné t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} & = \ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} +\ eta \ nabla ^{2} \ mathbf {B} \\ [5pt] \ nabla \ cdot \ mathbf {u} & = 0 \\ [5pt] \ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0. \ end {aligned}}}

kde u , B , p představují rychlostní, magnetická a celková tlaková (tepelná+magnetická) pole a představují kinematickou viskozitu a magnetickou difuzivitu . Třetí rovnice je podmínka nestlačitelnosti . Ve výše uvedené rovnici je magnetické pole v Alfvénových jednotkách (stejné jako v rychlostních jednotkách). ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle \ eta}$

Celkové magnetické pole lze rozdělit na dvě části: (průměr + fluktuace). ${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {B_ {0}} +\ mathbf {b}}$

Výše uvedené rovnice z hlediska Elsässerových proměnných ( ) jsou ${\ Displaystyle \ mathbf {z} ^{\ pm} = \ mathbf {u} \ pm \ mathbf {b}}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {z} ^{\ pm}}} {\ partial t}} \ mp \ left (\ mathbf {B} _ {0} \ cdot {\ mathbf {\ nabla }} \ right) {\ mathbf {z} ^{\ pm}}+\ left ({\ mathbf {z} ^{\ mp}} \ cdot {\ mathbf {\ nabla}} \ right) {\ mathbf { z} ^{\ pm}} =-{\ mathbf {\ nabla}} p+\ nu _ {+} \ nabla ^{2} \ mathbf {z} ^{\ pm}+\ nu _ {-} \ nabla ^{2} \ mathbf {z} ^{\ mp}}

kde . Mezi Alfvénicovými fluktuacemi dochází k nelineárním interakcím . ${\ displaystyle \ nu _ {\ pm} = {\ frac {1} {2}} (\ nu \ pm \ eta)}$ ${\ displaystyle z^{\ mp}}$

Důležité nedimenzionální parametry pro MHD jsou

{\ Displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ text {Reynolds number}} Re & = & UL/\ nu \\ {\ text {Magnetic Reynolds number}} Re_ {M} & = & UL/\ eta \\ { \ text {Magnetic Prandtl number}} P_ {M} & = & \ nu /\ eta. \ end {array}}}

Magnetické číslo Prandtl je důležitou vlastností tekutiny. Tekuté kovy mají malá magnetická Prandtlova čísla, například tekutý sodík je kolem . Ale plazmy mají velké . ${\ displaystyle P_ {M}}$ ${\ displaystyle 10^{-5}}$ ${\ displaystyle P_ {M}}$

Reynoldsovo číslo je poměr nelineárního členu Navier -Stokesovy rovnice k viskóznímu pojmu. Zatímco magnetické Reynoldsovo číslo je poměr nelineárního členu a difuzního členu indukční rovnice. ${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u}}$

V mnoha praktických situacích je Reynoldsovo číslo toku poměrně velké. Pro takové toky jsou typicky rychlost a magnetická pole náhodné. Takové toky se nazývají, aby vykazovaly turbulence MHD. Všimněte si, že nemusí být velký, MHD turbulence. hraje důležitou roli v problému dynama (generování magnetického pole). ${\ displaystyle Re}$ ${\ displaystyle Re_ {M}}$ ${\ displaystyle Re_ {M}}$

Střední magnetické pole hraje důležitou roli v turbulencích MHD, například může způsobit, že turbulence bude anizotropní; potlačit turbulence snížením energetické kaskády atd. Dřívější modely turbulence MHD předpokládaly izotropii turbulence, zatímco pozdější modely studovaly anizotropní aspekty. V následujících diskusích tyto modely shrneme. Další diskuse o turbulencích MHD lze nalézt v Biskamp, Verma. a Galtier.

Izotropní modely

Iroshnikov a Kraichnan zformulovali první fenomenologickou teorii turbulence MHD. Oni tvrdili, že v přítomnosti silné střední magnetické pole, a wavepackets cestování v opačných směrech s fázová rychlost a pracovat slabě. Příslušným časovým měřítkem je Alfvenův čas . Výsledkem je energetické spektrum ${\ displaystyle z^{+}}$ ${\ displaystyle z^{-}}$ ${\ displaystyle B_ {0}}$ ${\ displaystyle (B_ {0} k)^{-1}}$

{\ Displaystyle E^{u} (k) \ zhruba E^{b} (k) \ cca A (\ Pi V_ {A})^{1/2} k^{-3/2}.}

kde je kaskádová rychlost energie. ${\ displaystyle \ Pi}$

Později Dobrowolny a kol. odvodil následující generalizované vzorce pro kaskádové rychlosti proměnných: ${\ displaystyle z^{\ pm}}$

{\ Displaystyle \ Pi^{+} \ cca \ Pi^{-} \ cca \ tau _ {k}^{\ pm} E^{+} (k) E^{-} (k) k^{4 } \ cca E^{+} (k) E^{-} (k) k^{3}/B_ {0}}

kde jsou interakční časové škály proměnných. ${\ displaystyle \ tau ^{\ pm}}$ ${\ displaystyle z^{\ pm}}$

Fenomenologie Irošnikova a Kraichnana následuje, jakmile se rozhodneme . ${\ Displaystyle \ tau ^{\ pm} \ cca 1/(kV_ {A})}$

Marsch vybral nelineární časové měřítko jako časové měřítko interakcí pro víry a odvozené energetické spektrum podobné Kolmogorovovi pro Elsasserovy proměnné: ${\ Displaystyle T_ {NL}^{\ pm} \ cca (kz_ {k}^{\ mp})^{-1}}$

{\ Displaystyle E^{\ pm} (k) = K^{\ pm} (\ Pi^{\ pm})^{4/3} (\ Pi^{\ mp})^{-2/3} k^{-5/3}}

kde a jsou energeticky kaskádové rychlosti a v tomto pořadí, a jsou konstanty. ${\ displaystyle \ Pi ^{+}}$ ${\ displaystyle \ Pi ^{-}}$ ${\ displaystyle z^{+}}$ ${\ displaystyle z^{-}}$ ${\ displaystyle K^{\ pm}}$

Matthaeus a Zhou se pokusili spojit výše uvedená dvě časová měřítka postulováním času interakce jako harmonického průměru Alfvenova času a nelineárního času.

Hlavním rozdílem mezi těmito dvěma konkurenčními fenomenologiemi (−3/2 a −5/3) jsou zvolená časová měřítka pro čas interakce. Hlavní základní předpoklad, že Iroshnikov a Kraichnanova fenomenologie by měla fungovat pro silné střední magnetické pole, zatímco Marshova fenomenologie by měla fungovat, když fluktuace dominují střednímu magnetickému poli (silná turbulence).

Jak však budeme diskutovat níže, pozorování slunečního větru a numerické simulace mají tendenci upřednostňovat energetické spektrum −5/3, i když je průměrné magnetické pole ve srovnání s fluktuacemi silnější. Tento problém vyřešila Verma pomocí renormalizační skupinové analýzy tím, že ukázala, že fluktuace Alfvénic jsou ovlivněny „lokálním průměrným magnetickým polem“ závislým na měřítku. Místní průměrné magnetické pole se zvětšuje jako , jehož substituce v Dobrowolnyho rovnici poskytuje Kolmogorovovo energetické spektrum pro turbulence MHD. ${\ Displaystyle k^{-1/3}}$

Pro výpočet renormalizované viskozity a měrného odporu byla také provedena renormalizační skupinová analýza. Ukázalo se, že tato měřítka difuzních veličin opět poskytují energetická spektra konzistentní s Kolmogorovovým modelem turbulence MHD. Výše uvedený výpočet skupiny renormalizace byl proveden pro nulovou i nenulovou křížovou helicitu. ${\ displaystyle k^{-4/3}}$ ${\ displaystyle k^{-5/3}}$

Výše uvedené fenomenologie předpokládají izotropní turbulenci, což v případě průměrného magnetického pole neplatí. Střední magnetické pole obvykle potlačuje energetickou kaskádu ve směru středního magnetického pole.

Anizotropní modely

Střední magnetické pole činí turbulence anizotropními. Tento aspekt byl studován v posledních dvou desetiletích. V mezích Galtier et al. ukázal pomocí kinetických rovnic, že ${\ Displaystyle \ delta z^{\ pm} \ ll B_ {0}}$

{\ Displaystyle E (k) \ sim (\ Pi B_ {0})^{1/2} k _ {\ paralelně}^{1/2} k _ {\ perp}^{-2}}

kde a jsou složky vlnového čísla rovnoběžné a kolmé na střední magnetické pole. Výše uvedený limit se nazývá mez slabých turbulencí . ${\ displaystyle k _ {\ paralelní}}$ ${\ displaystyle k _ {\ perp}}$

Pod silnou hranicí turbulencí Goldereich a Sridhar tvrdí, že („kritický vyvážený stav“), což znamená, že ${\ Displaystyle \ delta z^{\ pm} \ sim B_ {0}}$ ${\ Displaystyle k _ {\ perp} z_ {k _ {\ perp}} \ sim k _ {\ paralelně} B_ {0}}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} E (k) & \ propto k _ {\ perp}^{-5/3}; \\ [5pt] k _ {\ paralelní} & \ propto k _ {\ perp}^{2 /3} \ end {aligned}}}

Výše uvedená fenomenologie anizotropní turbulence byla rozšířena o MHD s velkou křížovou helicitou.

Pozorování slunečního větru

Plazma slunečního větru je v turbulentním stavu. Vědci vypočítali energetická spektra plazmatu slunečního větru z údajů shromážděných z kosmické lodi. Spektra kinetické a magnetické energie, stejně jako jsou blíže srovnatelná s , což favorizuje kolmogorovskou fenomenologii pro turbulence MHD. Meziplanetární a mezihvězdné fluktuace elektronové hustoty také poskytují okno pro zkoumání turbulence MHD. ${\ Displaystyle E^{\ pm}}$ ${\ displaystyle k^{-5/3}}$ ${\ Displaystyle k^{-3/2}}$

Numerické simulace

Výše diskutované teoretické modely jsou testovány pomocí přímé numerické simulace (DNS) s vysokým rozlišením. Počet nedávných simulací uvádí, že spektrální indexy se blíží 5/3. Existují další, kteří hlásí spektrální indexy blízko 3/2. Režim mocenského práva je obvykle kratší než deset let. Protože 5/3 a 3/2 jsou si číselně velmi blízké, je docela obtížné zjistit platnost modelů turbulence MHD z energetických spekter.

Energetické toky mohou být spolehlivějšími veličinami pro ověření modelů turbulence MHD. Když se (tekutina s vysokou křížovou helicitou nebo nevyvážená MHD) předpovědi energetického toku modelu Kraichnan a Iroshnikov velmi liší od předpovědi modelu podobného Kolmogorovu. Pomocí DNS bylo ukázáno, že toky vypočítané z numerických simulací jsou v lepší shodě s Kolmogorovovým modelem ve srovnání s Kraichnanovým a Iroshnikovovým modelem. ${\ displaystyle \ Pi ^{\ pm}}$ ${\ Displaystyle E^{+} (k) \ gg E^{-} (k)}$ ${\ displaystyle \ Pi ^{\ pm}}$

Anizotropní aspekty turbulence MHD byly také studovány pomocí numerických simulací. Předpovědi Goldreicha a Sridhar ( ) byly ověřeny v mnoha simulacích. ${\ Displaystyle k_ {||} \ sim k _ {\ perp}^{2/3}}$

Přenos energie

Přenos energie mezi různými měřítky mezi rychlostí a magnetickým polem je důležitým problémem turbulence MHD. Tato množství byla vypočítána teoreticky i numericky. Tyto výpočty ukazují významný přenos energie z velkého rychlostního pole do magnetického pole velkého měřítka. Také kaskáda magnetické energie je typicky vpřed. Tyto výsledky mají zásadní vliv na problém dynama.

V této oblasti existuje mnoho otevřených výzev, které snad budou v blízké budoucnosti vyřešeny pomocí numerických simulací, teoretického modelování, experimentů a pozorování (např. Sluneční vítr).

Languages

In other projects