Malliavinův kalkul - Malliavin calculus

V teorii pravděpodobnosti a příbuzných oborech je Malliavinův počet souborem matematických technik a myšlenek, které rozšiřují matematické pole variačního počtu od deterministických funkcí po stochastické procesy . Zejména umožňuje výpočet derivátů z náhodných proměnných . Malliavinův počet se také nazývá stochastický počet variací . P. Malliavin nejprve zahájil kalkul v nekonečném dimenzionálním prostoru. Poté významní přispěvatelé, jako S. Kusuoka, D. Stroock, Bismut, S. Watanabe, I. Shigekawa atd., Konečně dokončili základy.

Malliavinský kalkul je pojmenován podle Paula Malliavina, jehož myšlenky vedly k důkazu, že Hörmanderův stav implikuje existenci a hladkost hustoty pro řešení stochastické diferenciální rovnice ; Hörmanderův původní důkaz byl založen na teorii parciálních diferenciálních rovnic . Kalkul byl také použit na stochastické parciální diferenciální rovnice .

Kalkul umožňuje integraci po částech s náhodnými proměnnými ; tato operace se používá v matematických financích k výpočtu citlivosti finančních derivátů . Kalkul má aplikace například ve stochastickém filtrování .

Přehled a historie

Malliavin představil Malliavinův kalkul, aby poskytl stochastický důkaz, že Hörmanderův stav implikuje existenci hustoty pro řešení stochastické diferenciální rovnice ; Hörmanderův původní důkaz byl založen na teorii parciálních diferenciálních rovnic . Jeho kalkul umožnil Malliavinovi prokázat hranice pravidelnosti pro hustotu řešení. Kalkul byl aplikován na stochastické parciální diferenciální rovnice .

Princip neměnnosti

Obvyklý princip invariance pro Lebesgueovu integraci na celé reálné linii je ten, že pro jakékoli reálné číslo ε a integrovatelnou funkci f platí následující

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) \, d \ lambda (x) = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x+\ varepsilon) \, d \ lambda (x)}$ a proto ${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f '(x) \, d \ lambda (x) = 0.}$

Toho lze použít k odvození integrace podle vzorce částí, protože při nastavení f = gh to znamená

${\ Displaystyle 0 = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f '\, d \ lambda = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} (gh)' \, d \ lambda = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} gh '\, d \ lambda +\ int _ {-\ infty}^{\ infty} g'h \, d \ lambda.}$

Podobnou myšlenku lze použít ve stochastické analýze pro diferenciaci ve směru Cameron-Martin-Girsanov. Skutečně nechme předvídatelný proces a množinu integrovatelnou do čtverců${\ displaystyle h_ {s}}$

${\ Displaystyle \ varphi (t) = \ int _ {0}^{t} h_ {s} \, ds.}$

Pokud se jedná o Wienerův proces , Girsanovova věta pak poskytne následující analogii principu invariance: ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle E (F (X+\ varepsilon \ varphi)) = E \ left [F (X) \ exp \ left (\ varepsilon \ int _ {0}^{1} h_ {s} \, dX_ {s} -{\ frac {1} {2}} \ varepsilon^{2} \ int _ {0}^{1} h_ {s}^{2} \, ds \ right) \ right].}$

Rozlišením s ohledem na ε na obou stranách a hodnocením při ε = 0 získáme následující integraci podle vzorce částí:

${\ Displaystyle E (\ langle DF (X), \ varphi \ rangle) = E {\ Bigl [} F (X) \ int _ {0}^{1} h_ {s} \, dX_ {s} {\ Bigr]}.}$

Zde je levá strana Malliavinova derivace náhodné proměnné ve směru a integrál objevující se na pravé straně by měl být interpretován jako integrál Itô . Tento výraz také zůstává pravdivý (podle definice), pokud není přizpůsoben, za předpokladu, že pravá strana je interpretována jako integrál Skorokhod . ${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle h}$

Vzorec Clark-Ocone

Jedním z nejužitečnějších výsledků Malliavinova počtu je Clark-Oconeova věta , která umožňuje, aby byl proces v martingaleově reprezentační větě explicitně identifikován. Zjednodušená verze této věty je následující:

Pro uspokojení, které je Lipschitz a takové, že F má silné derivační jádro, v tom smyslu, že v C [0,1] ${\ Displaystyle F: C [0,1] \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle E (F (X)^{2}) <\ infty}$${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} (1/\ varepsilon) (F (X+\ varepsilon \ varphi) -F (X)) = \ int _ {0}^{1} F '(X, dt) \ varphi (t) \ \ mathrm {ae} \ X}$

pak

${\ Displaystyle F (X) = E (F (X))+\ int _ {0}^{1} H_ {t} \, dX_ {t},}$

kde H je předpokládaná projekce F '( x , ( t , 1]), na kterou lze pohlížet jako na derivaci funkce F s ohledem na vhodný paralelní posun procesu X přes část ( t , 1] jeho doména.

To může být výstižněji vyjádřeno

${\ Displaystyle F (X) = E (F (X))+\ int _ {0}^{1} E (D_ {t} F | {\ mathcal {F}} _ {t}) \, dX_ { t}.}$

Velká část práce při formálním vývoji Malliavinova počtu zahrnuje rozšíření tohoto výsledku na co největší třídu funkcionálů F nahrazením výše uvedeného derivačního jádra „ Malliavinovým derivátem “ označeným ve výše uvedeném prohlášení o výsledku. ${\ displaystyle D_ {t}}$

Skorokhod integrál

Skorokhod integrální operátor, který je obvykle označován delta je definována jako adjoint derivátu Malliavin tak pro u v oblasti obsluhy, který je podmnožinou , pro F v oblasti derivátu Malliavin požadujeme ${\ Displaystyle L^{2} ([0, \ infty) \ times \ Omega)}$

${\ Displaystyle E (\ langle DF, u \ rangle) = E (F \ delta (u)),}$

kde vnitřní produkt je ten na viz ${\ Displaystyle L^{2} [0, \ infty)}$

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0}^{\ infty} f (s) g (s) \, ds.}$

Existence tohoto adjunktu vyplývá z Rieszovy reprezentační věty pro lineární operátory na Hilbertových prostorech .

Lze ukázat, že pokud je u přizpůsobeno, pak

${\ Displaystyle \ delta (u) = \ int _ {0}^{\ infty} u_ {t} \, dW_ {t},}$

kde integrál má být chápán ve smyslu Itô. To tedy poskytuje způsob rozšíření Itô integrálu na nepřizpůsobené integrandy.

Aplikace

Kalkul umožňuje integraci po částech s náhodnými proměnnými ; tato operace se používá v matematických financích k výpočtu citlivosti finančních derivátů . Kalkul má aplikace například ve stochastickém filtrování .

Reference

• Kusuoka, S. a Stroock, D. (1981) „Applications of Malliavin Calculus I“, Stochastic Analysis, Proceedings Taniguchi International Symposium Katata and Kyoto 1982, pp 271-306
• Kusuoka, S. a Stroock, D. (1985) "Applications of Malliavin Calculus II", J. Faculty Sci. Uni. Tokijská sekta. 1A Matematika , 32 s. 1–76
• Kusuoka, S. a Stroock, D. (1987) "Applications of Malliavin Calculus III", J. Faculty Sci. Univ. Tokijská sekta. 1A Matematika , 34 s. 391–442
• Malliavin, Paul a Thalmaier, Anton. Stochastický počet variací v matematických financích , Springer 2005, ISBN  3-540-43431-3
• Nualart, David (2006). Malliavinský kalkul a související témata (druhé vydání). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.
• Bell, Denisi. (2007) The Malliavin Calculus , Dover. ISBN  0-486-44994-7 ; ebook
• Schiller, Alex (2009) Malliavinův kalkul pro simulaci Monte Carla s finančními aplikacemi . Diplomová práce, Katedra matematiky, Princetonská univerzita
• Øksendal, Bernt K. (1997) Úvod do Malliavinova počtu s aplikacemi do ekonomiky . Přednášky, katedra matematiky, Univerzita v Oslu (zip soubor obsahující diplomovou práci a dodatek)
• Di Nunno, Giulia , Øksendal, Bernt, Proske, Frank (2009) „Malliavinský kalkul pro lévy procesy s aplikacemi pro finance“, Universitext, Springer. ISBN  978-3-540-78571-2

externí odkazy

• Citace týkající se Malliavinova počtu na Wikiquote
• Friz, Peter K. (2005-04-10). „Úvod do Malliavinova počtu“ (PDF) . Archivováno z originálu (PDF) dne 2007-04-17 . Citováno 2007-07-23 . Přednášky, 43 stran

• Zhang, H. (2004-11-11). „Malliavinský kalkul“ (PDF) . Citováno 2004-11-11 . Práce, 100 stran