Problém s pohyblivým magnetem a vodičem - Moving magnet and conductor problem

Vodič se pohybuje v magnetickém poli.

Problém s pohyblivým magnetem a vodičem je slavný myšlenkový experiment z 19. století týkající se průniku klasického elektromagnetismu a speciální relativity . V něm se proud ve vodiči pohybujícím se konstantní rychlostí, v , vzhledem k magnetu, vypočítá v referenčním rámci magnetu a v referenčním rámci vodiče. Pozorovatelná veličina v experimentu, proud, je v obou případech stejná, v souladu se základním principem relativity , který říká: „ Pozorovatelný je pouze relativní pohyb; neexistuje žádný absolutní standard klidu“. Podle Maxwellových rovnic však náboje ve vodiči zažívají magnetickou sílu v rámu magnetu a elektrickou sílu v rámu vodiče. Zdá se, že stejný jev má dva různé popisy v závislosti na referenčním rámci pozorovatele.

Tento problém spolu s Fizeauovým experimentem , aberací světla a nepříměji s negativními driftovými testy éteru , jako je experiment Michelson -Morley , tvořily základ Einsteinova vývoje teorie relativity.

Úvod

Einsteinův článek z roku 1905, který svět seznámil s relativitou, začíná popisem problému magnet/vodič. [1]

Je známo, že Maxwellova elektrodynamika - jak se v současné době obvykle chápe - při aplikaci na pohybující se tělesa vede k asymetriím, které se nezdají být vlastní jevům. Vezměme si například vzájemné elektrodynamické působení magnetu a vodiče. Pozorovatelný jev zde závisí pouze na relativním pohybu vodiče a magnetu, zatímco obvyklý pohled ostře rozlišuje mezi dvěma případy, ve kterých je v pohybu buď jedno nebo druhé z těchto těles. Pokud je magnet v pohybu a vodič je v klidu, vzniká v sousedství magnetu elektrické pole s určitou určitou energií, produkující proud v místech, kde jsou umístěny části vodiče. Pokud je však magnet nehybný a vodič je v pohybu, v sousedství magnetu nevzniká žádné elektrické pole. Ve vodiči však najdeme elektromotorickou sílu, která sama o sobě neexistuje odpovídající energii, ale která vede - za předpokladu rovnosti relativního pohybu ve dvou diskutovaných případech - k vzniku elektrických proudů stejné dráhy a intenzity, jaké mají v prvním případě elektrickými silami.

-  A. Einstein, O elektrodynamice pohybujících se těles (1905)

Prvořadým požadavkem na popisy v různých rámcích je, aby byly konzistentní . Konzistence je problém, protože newtonovská mechanika předpovídá jednu transformaci (takzvanou galileovskou invarianci ) pro síly, které pohánějí náboje a způsobují proud, zatímco elektrodynamika vyjádřená Maxwellovými rovnicemi předpovídá, že pole, která vedou k těmto silám, se transformují odlišně (podle k Lorentzově invariance ). Pozorování aberace světla, která vyvrcholila experimentem Michelson -Morley , stanovila platnost Lorentzovy invariance a vývoj speciální relativity vyřešil výsledný nesouhlas s newtonovskou mechanikou. Speciální relativita revidovala transformaci sil v pohybujících se referenčních rámcích, aby byla v souladu s Lorentzovou invariancí. Podrobnosti o těchto transformacích jsou popsány níže.

Kromě konzistence by bylo hezké konsolidovat popisy tak, aby vypadaly, že jsou nezávislé na rámcích. Klíčem k popisu nezávislém na rámci je pozorování, že magnetická pole v jednom referenčním rámci se stávají elektrickými poli v jiném rámci. Podobně se solenoidová část elektrických polí (část, která nepochází z elektrických nábojů) stává magnetickým polem v jiném rámci: to znamená, že solenoidová elektrická pole a magnetická pole jsou aspekty stejné věci. To znamená, že paradox různých popisů může být pouze sémantický . Popis, který používá skalární a vektorové potenciály φ a A místo B a E, se vyhýbá sémantické pasti. Lorentzův invariantní vektor A ^α = (φ / c , A ) nahrazuje E a B a poskytuje popis nezávislý na rámci (byť méně viscerální než E - B -popis ). Alternativní sjednocení popisů je považovat fyzickou entitu za tenzor elektromagnetického pole , jak je popsáno dále. Tento tenzor obsahuje pole E i B jako součásti a má stejný tvar ve všech referenčních rámcích.

Pozadí

Elektromagnetická pole nejsou přímo pozorovatelná. Existenci klasických elektromagnetických polí lze odvodit z pohybu nabitých částic, jejichž trajektorie jsou pozorovatelné. Elektromagnetická pole vysvětlují pozorované pohyby klasických nabitých částic.

Silným požadavkem fyziky je, aby se všichni pozorovatelé pohybu částice shodli na trajektorii částice. Pokud si například jeden pozorovatel všimne, že se částice srazí se středem terče, pak všichni pozorovatelé musí dojít ke stejnému závěru. Tento požadavek omezuje povahu elektromagnetických polí a jejich transformaci z jednoho referenčního rámce do druhého. Rovněž omezuje způsob, jakým pole ovlivňují zrychlení, a tedy i dráhy nabitých částic.

Snad nejjednodušším příkladem a příkladem, na který odkazoval Einstein ve svém článku z roku 1905 o zavedení speciální relativity , je problém vodiče pohybujícího se v poli magnetu. V rámu magnetu zažívá vodič magnetickou sílu. V rámu vodiče pohybujícího se vzhledem k magnetu zažije vodič sílu v důsledku elektrického pole. Magnetické pole v magnetickém rámu a elektrické pole v rámu vodiče musí generovat konzistentní výsledky ve vodiči. V době Einsteina v roce 1905 byly polní rovnice reprezentované Maxwellovými rovnicemi řádně konzistentní. Newtonův pohybový zákon však musel být upraven, aby poskytoval konzistentní trajektorie částic.

Transformace polí za předpokladu galilejských transformací

Za předpokladu, že magnetický rám a rámeček vodiče jsou propojeny galilejskou transformací , je snadné vypočítat pole a síly v obou rámcích. To ukáže, že indukovaný proud je v obou rámcích skutečně stejný. Jako vedlejší produkt tento argument také poskytne obecný vzorec pro elektrická a magnetická pole v jednom rámci z hlediska polí v jiném rámci.

Ve skutečnosti jsou zárubně nejsou spřízněné Galilean transformací, nýbrž transformací Lorentz . Přesto to bude galilejská transformace na velmi dobrou aproximaci , při rychlostech mnohem menších, než je rychlost světla.

Veličiny bez předběžného nátisku odpovídají zbytku rámu magnetu, zatímco množství připravené základny odpovídají zbytku rámu vodiče. Nechť v je rychlost vodiče, jak je vidět z magnetického rámu.

Magnetický rámeček

V klidovém rámečku magnetu je magnetické pole nějaké pevné pole B ( r ), určené strukturou a tvarem magnetu. Elektrické pole je nulové.

Obecně je síla vyvíjená na částici náboje q ve vodiči elektrickým polem a magnetickým polem dána (jednotkami SI):

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} +\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}),}$

kde je náboj na částici, je rychlost částic a F je Lorentzova síla . Zde je však elektrické pole nulové, takže síla na částici ano ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}.}$

Rám vodiče

V rámu vodiče je časově proměnné magnetické pole B ' související s magnetickým polem B v magnetickém rámu podle:

${\ Displaystyle \ mathbf {B} '(\ mathbf {r'}, t ') = \ mathbf {B} (\ mathbf {r_ {t'}})}}$ kde ${\ Displaystyle \ mathbf {r_ {t '}} = \ mathbf {r'} +\ mathbf {v} t '}$

V tomto rámci je elektrické pole a jeho zvlnění je dáno Maxwellovou-Faradayovou rovnicí :

${\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla \ times E} '=-{\ frac {\ částečné \ mathbf {B}'} {\ částečné t '}}.}$

Výsledkem je nepochopitelně:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} '= \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}.}$

Náboj q ve vodiči bude v rámu vodiče v klidu. Termín magnetické síly Lorentzovy síly proto nemá žádný účinek a síla na náboj je dána vztahem

${\ Displaystyle \ mathbf {F} '= q \ mathbf {E}' = q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}.}$

To ukazuje, že síla je v obou rámcích stejná (jak by se dalo očekávat), a proto všechny pozorovatelné důsledky této síly, jako je indukovaný proud, by byly také stejné v obou rámcích. A to navzdory skutečnosti, že síla je považována za elektrickou sílu v rámu vodiče, ale za magnetickou sílu v rámu magnetu.

Galileův transformační vzorec pro pole

Podobný druh argumentu lze provést, pokud rám magnetu také obsahuje elektrická pole. ( Rovněž vstupuje do hry Ampere-Maxwellova rovnice , která vysvětluje, jak v pohybujícím se vodiči toto pohybující se elektrické pole přispěje k magnetickému poli.) Konečným výsledkem je, že obecně platí, že

${\ Displaystyle \ mathbf {E} '= \ mathbf {E} +\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} '= \ mathbf {B} -{\ frac {1} {c^{2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {E},}$

s c o rychlosti světla ve volném prostoru .

Připojením těchto transformačních pravidel do úplných Maxwellových rovnic je vidět, že pokud jsou Maxwellovy rovnice pravdivé v jednom rámci, pak jsou téměř pravdivé v druhém rámci, ale obsahují nesprávné výrazy pro Lorentzovu transformaci a rovnice transformace pole také musí být změněno podle níže uvedených výrazů.

Transformace polí podle předpovědí Maxwellových rovnic

V rámečku pohybujícím se rychlostí v se E -pole v pohyblivém rámci, když v nepohyblivém magnetickém rámci není žádné E -pole, Maxwellovy rovnice transformují jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} '= \ gamma \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}}$

kde

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-{(v/c)}^{2}}}}}$

se nazývá Lorentzův faktor a c je rychlost světla ve volném prostoru . Tento výsledek je důsledkem požadavku, aby pozorovatelé ve všech setrvačných rámcích dospěli pro Maxwellovy rovnice ke stejné formě. Zejména musí všichni pozorovatelé vidět stejnou rychlost světla c . Tento požadavek vede k Lorentzově transformaci prostoru a času. Za předpokladu Lorentzovy transformace, invariance Maxwellových rovnic pak vede k výše uvedené transformaci polí pro tento příklad.

Síla na náboj je tedy

${\ Displaystyle \ mathbf {F} '= q \ mathbf {E}' = q \ gamma \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}.}$

Tento výraz se liší od výrazu získaného z nerelativistického Newtonova pohybového zákona faktorem . Speciální relativita mění prostor a čas takovým způsobem, aby se síly a pole důsledně transformovaly. ${\ displaystyle \ gamma}$

Modifikace dynamiky pro konzistenci s Maxwellovými rovnicemi

Obrázek 1: Vodicí tyč pozorovaná ze dvou inerciálních rámců; v jednom rámci se tyč pohybuje rychlostí v ; v primárním rámci je tyč stacionární, protože základní snímek se pohybuje stejnou rychlostí jako tyč. Pole B se mění podle polohy ve směru x

Lorentzova síla má v obou rámcích stejný tvar , i když se pole liší, a to:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q \ left [\ mathbf {E} +\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right].}$

Viz obrázek 1. Pro zjednodušení nechejte magnetické pole směřovat ve směru z a měnit se podle umístění x a nechat vodič překládat v kladném směru x s rychlostí v . V důsledku toho v magnetickém rámu, kde se pohybuje vodič, Lorentzova síla ukazuje na záporný směr y , kolmý jak na rychlost, tak na B -pole. Síla na náboj, zde způsobená pouze B -polem, je

${\ displaystyle F_ {y} =-qvB,}$

zatímco v rámu vodiče, kde se magnet pohybuje, je síla také v záporném směru y a nyní je způsobena pouze E -polem s hodnotou:

${\ displaystyle {F_ {y}} '= qE' =-q \ gamma vB.}$

Obě síly se liší Lorentzovým faktorem γ. Tento rozdíl je v relativistické teorii očekáván v důsledku změny časoprostoru mezi snímky, jak bude diskutováno dále.

Relativita přebírá Lorentzovu transformaci časoprostoru navrhovanou neměnností Maxwellových rovnic a vnucuje ji také dynamice (revize Newtonových pohybových zákonů ). V tomto případě Lorentzova transformace ovlivňuje pouze směr x (relativní pohyb dvou snímků je podél směru x ). Vztahy spojující čas a prostor jsou ( prvočísla označují rám pohybujícího se vodiče):

${\ Displaystyle x '= \ gamma (x-vt), \ quad x = \ gamma (x'+vt '),}$

${\ Displaystyle t '= \ gamma (t-{\ frac {vx} {c^{2}}}), \ quad t = \ gamma (t'+{\ frac {vx '} {c^{2} }}).}$

Tyto transformace vést ke změně v y -component jednoho síly :

${\ displaystyle {F_ {y}} '= \ gamma F_ {y}.}$

To znamená, že v Lorentzově invarianci není síla ve všech referenčních rámcích stejná, na rozdíl od galilejské invariance. Ale z dřívější analýzy založené na Lorentzově silovém zákoně:

${\ Displaystyle \ gamma F_ {y} =-q \ gamma vB, \ quad {F_ {y}} '=-q \ gamma vB,}$

což zcela souhlasí. Síla na náboji tedy není v obou rámcích stejná, ale transformuje se podle očekávání podle relativity.

Viz také

Reference a poznámky

Další čtení

• Einstein, A. (1916). Relativita: Speciální a obecná teorie . New York: Koruna. ISBN 0-517-02961-8.
• Feynman, Richard P .; Leighton, Robert B .; Sands, Matthew (2006). Feynmanovy přednášky z fyziky . Sv. 2. s. 13–6 Kapitola 13. ISBN 0-8053-9045-6. |volume=má další text ( nápověda ) (Relativita magnetických a elektrických polí)

• Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitace . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, LD & Lifshitz, EM (1975). Classical Theory of Fields (Fourth Revised English ed.). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.
• Jackson, John D. (1998). Klasická elektrodynamika (3. vyd.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• C Møller (1976). The Theory of Relativity (Second ed.). Oxford UK: Oxford University Press. ISBN 0-19-560539-X. OCLC  220221617 .

externí odkazy

• Magnety a vodiče ve speciální relativitě