Muirheadova nerovnost - Muirhead's inequality

V matematice , Muirhead nerovnost , pojmenoval Robert Franklin Muirhead , známý také jako metoda „svazkovacího“ zobecňuje nerovnost aritmetického a geometrického průměru .

Předběžné definice

-mean

Pro jakýkoli skutečný vektor

${\ displaystyle a = (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$

definujte " a -mean" [ a ] kladných reálných čísel x ₁ , ..., x _n o

${\ displaystyle [a] = {\ frac {1} {n!}} \ součet _ {\ sigma} x _ {\ sigma _ {1}} ^ {a_ {1}} \ cdots x _ {\ sigma _ {n }} ^ {a_ {n}},}$

kde součet přesahuje všechny permutace σ z {1, ..., n }.

Když jsou prvky a nezáporná celá čísla, a -mean lze ekvivalentně definovat pomocí monomického symetrického polynomu jako ${\ displaystyle m_ {a} (x_ {1}, \ tečky, x_ {n})}$

${\ displaystyle [a] = {\ frac {k_ {1}! \ cdots k_ {l}!} {n!}} m_ {a} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}),}$

kde l je počet odlišných prvků v a , a k ₁ , ..., k _l jsou jejich multiplicity.

Všimněte si, že a -mean, jak je definováno výše, má pouze obvyklé vlastnosti průměru (např. Pokud je průměr stejných čísel roven jim) if . V obecném případě lze místo toho uvažovat , což se nazývá Muirheadův průměr . ${\ displaystyle a_ {1} + \ cdots + a_ {n} = 1}$${\ displaystyle [a] ^ {1 / (a_ {1} + \ cdots + a_ {n})}}$

Příklady

• U několika = (1, 0, ..., 0) je -mean je jen obyčejný aritmetický průměr z x ₁ , ..., x _n .
• U několika = (1 / n , ..., 1 / N ) je -mean je geometrický průměr z x ₁ , ..., x _n .
• Pro a = ( x , 1- x ) je a -mean Heinzův průměr .
• Muirhead znamená na dobu = (-1, 0, ..., 0) je harmonický průměr .

Dvojnásobně stochastické matice

N x n matice P je dvojnásobně stochastické přesně pokud oba P a jeho přemístit P ^T jsou stochastické matice . Stochastické matice je čtvercová matice nezáporných reálných záznamů, v níž je součet z údajů v každém sloupci je 1. Tak, dvojnásobně stochastické matice je čtvercová matice nezáporných reálných záznamů, v níž je součet z údajů v každém řádku a součet položek v každém sloupci je 1.

Prohlášení

Muirheadova nerovnost uvádí, že [ a ] ≤ [ b ] pro všechna x taková, že x _i > 0 pro každé i ∈ {1, ..., n } právě tehdy, když existuje nějaká dvojnásobně stochastická matice P, pro kterou a = Pb .

Dále v tom případě máme [ a ] = [ b ] právě tehdy, když a = b nebo všechna x _i jsou stejná.

Druhá podmínka může být vyjádřena několika ekvivalentními způsoby; jeden z nich je uveden níže.

Důkaz využívá skutečnosti, že každá dvojnásobně stochastická matice je váženým průměrem permutačních matic ( Birkhoff-von Neumannova věta ).

Další ekvivalentní podmínka

Kvůli symetrii součtu se neztratí žádná obecnost seřazením exponentů do sestupného pořadí:

${\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n}}$

${\ displaystyle b_ {1} \ geq b_ {2} \ geq \ cdots \ geq b_ {n}.}$

Pak existence dvojnásobně stochastické matice P tak, že a = Pb je ekvivalentní následujícímu systému nerovností:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} a_ {1} & \ leq b_ {1} \\ a_ {1} + a_ {2} & \ leq b_ {1} + b_ {2} \\ a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} & \ leq b_ {1} + b_ {2} + b_ {3} \\ & \, \, \, \ vdots \\ a_ {1} + \ cdots + a_ {n -1} & \ leq b_ {1} + \ cdots + b_ {n-1} \\ a_ {1} + \ cdots + a_ {n} & = b_ {1} + \ cdots + b_ {n}. \ konec {zarovnáno}}}$

( Poslední je rovnost; ostatní jsou slabé nerovnosti.)

Sekvence se říká, že sekvenci majorizuje . ${\ displaystyle b_ {1}, \ ldots, b_ {n}}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$

Symetrická notace součtu

Pro součty je vhodné použít speciální notaci. Úspěch při snižování nerovnosti v této podobě znamená, že jedinou podmínkou pro její testování je ověření, zda jedna exponentová sekvence ( ) majorizuje druhou. ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ text {sym}} x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}$

Tento zápis vyžaduje vývoj každé permutace, vývoj výrazu z n ! monomials , například:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {\ text {sym}} x ^ {3} y ^ {2} z ^ {0} & = x ^ {3} y ^ {2} z ^ {0 } + x ^ {3} z ^ {2} y ^ {0} + y ^ {3} x ^ {2} z ^ {0} + y ^ {3} z ^ {2} x ^ {0} + z ^ {3} x ^ {2} y ^ {0} + z ^ {3} y ^ {2} x ^ {0} \\ & = x ^ {3} y ^ {2} + x ^ {3 } z ^ {2} + y ^ {3} x ^ {2} + y ^ {3} z ^ {2} + z ^ {3} x ^ {2} + z ^ {3} y ^ {2} \ end {zarovnáno}}}$

Příklady

Aritmeticko-geometrický průměr nerovnosti

Nechat

${\ displaystyle a_ {G} = \ left ({\ frac {1} {n}}, \ ldots, {\ frac {1} {n}} \ right)}$

a

${\ displaystyle a_ {A} = (1,0,0, \ ldots, 0).}$

My máme

${\ displaystyle {\ begin {aligned} a_ {A1} = 1 &> a_ {G1} = {\ frac {1} {n}}, \\ a_ {A1} + a_ {A2} = 1 &> a_ {G1} + a_ {G2} = {\ frac {2} {n}}, \\ & \, \, \, \ vdots \\ a_ {A1} + \ cdots + a_ {An} & = a_ {G1} + \ cdots + a_ {Gn} = 1. \ end {zarovnáno}}}$

Pak

[ a _A ] ≥ [ a _G ],

který je

${\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} (x_ {1} ^ {1} \ cdot x_ {2} ^ {0} \ cdots x_ {n} ^ {0} + \ cdots + x_ {1 } ^ {0} \ cdots x_ {n} ^ {1}) (n-1)! \ Geq {\ frac {1} {n!}} (X_ {1} \ cdot \ cdots \ cdot x_ {n} ) ^ {1 / n} n!}$

nerovnost.

Další příklady

Snažíme se dokázat, že x ² + y ² ≥ 2 xy pomocí shlukování (Muirheadova nerovnost). Transformujeme to do symetrického součtu:

${\ displaystyle \ sum _ {\ mathrm {sym}} x ^ {2} y ^ {0} \ geq \ sum _ {\ mathrm {sym}} x ^ {1} y ^ {1}.}$

Sekvence (2, 0) majorizuje sekvenci (1, 1), takže nerovnost platí hromaděním.

Podobně můžeme dokázat nerovnost

${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} \ geq 3xyz}$

tak, že jej napíšeme pomocí symetrického součtu jako

${\ displaystyle \ sum _ {\ mathrm {sym}} x ^ {3} y ^ {0} z ^ {0} \ geq \ sum _ {\ mathrm {sym}} x ^ {1} y ^ {1} z ^ {1},}$

což je stejné jako

${\ displaystyle 2x ^ {3} + 2y ^ {3} + 2z ^ {3} \ geq 6xyz.}$

Vzhledem k tomu, že posloupnost (3, 0, 0) majorizuje posloupnost (1, 1, 1), nerovnost platí hromaděním.

Viz také

• Nerovnost aritmetických a geometrických prostředků
• Dvojnásobně stochastická matice
• Monomiální symetrický polynom

Poznámky

Reference

• Kombinatorická teorie Johna N. Guidiho, založená na přednáškách Gian-Carla Roty v roce 1998, MIT Copy Technology Center, 2002.
• Kiran Kedlaya, A < B ( A méně než B ) , průvodce řešením nerovností
• Muirheadova věta na PlanetMath .
• Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952), Nerovnosti, Cambridge Mathematical Library (2. vyd.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-05206-8 , MR 0046395 , Zbl  0047.05302 , Sekce 2.18, Věta 45.