Operátor násobení - Multiplication operator

V teorii operátora , je operátor násobení je operátor T _f definována na nějakém vektorového prostoru funkcí a, jehož hodnota v funkce cp je dán násobením pevnou funkce f . To znamená,

${\ Displaystyle T_ {f} \ varphi (x) = f (x) \ varphi (x) \ quad}$

pro všechny cp v doméně z T _f , a všechny x v doméně cp (který je stejný jako doméně f ).

Tento typ operátorů je často v kontrastu s operátory kompozice . Operátory násobení zobecňují pojem operátor daný diagonální maticí . Přesněji řečeno, jedním z výsledků teorie operátorů je spektrální věta, která říká, že každý operátor s vlastním adjunktem v Hilbertově prostoru je jednotně ekvivalentní operátoru násobení v prostoru L ² .

Příklad

Uvažujme Hilbertův prostor X = L ² [1, 3] ze složitých cenil čtvercových integrovatelných funkcí v intervalu [1, 3] . Pomocí f ( x ) = x ² definujte operátor

${\ Displaystyle T_ {f} \ varphi (x) = x^{2} \ varphi (x) \ quad}$

pro každou funkci cp v X . To bude samo-adjoint ohraničený lineární operátor , s doménou všechny X = L ² [1, 3] a s normou 9 . Jeho spektrum bude interval [0, 9] ( rozsah funkce x → x ² definovaný na [−1, 3]) . Skutečně pro jakékoli komplexní číslo λ je operátor T _f - λ dán vztahem

${\ Displaystyle (T_ {f}-\ lambda) (\ varphi) (x) = (x^{2}-\ lambda) \ varphi (x). \ quad}$

Je invertibilní právě tehdy, když λ není v [0, 9] , a pak je jeho inverzní

${\ Displaystyle (T_ {f}-\ lambda)^{-1} (\ varphi) (x) = {\ frac {1} {x^{2}-\ lambda}} \ varphi (x),}$

což je další operátor násobení.

To lze snadno zobecnit charakterizováním normy a spektra multiplikačního operátoru na jakémkoli prostoru L ^p .

Viz také

• Provozovatel překladu
• Operátor směny
• Provozovatel převodu
• Rozklad spektra (funkční analýza)

Poznámky

Reference

• Conway, JB (1990). Kurz funkční analýzy . Absolventské texty z matematiky. 96 . Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.