Čtvercově integrovatelná funkce - Square-integrable function

V matematiky , je čtverec-integrovatelná funkce , která se také nazývá kvadraticky integrovatelná funkce nebo funkce , je skutečný - nebo komplexní cenil měřitelná funkce , pro které je integrální z druhé mocnině absolutní hodnoty je konečný. Integrovatelnost čtverců na reálné přímce je tedy definována následovně. ${\ displaystyle L^{2}}$${\ displaystyle (-\ infty,+\ infty)}$

Lze také hovořit o kvadratické integrovatelnosti přes ohraničené intervaly, například pro . ${\ displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle a \ leq b}$

Ekvivalentní definicí je říci, že čtverec samotné funkce (spíše než její absolutní hodnoty) je Lebesgueův integrovatelný . Aby to byla pravda, integrály pozitivní a negativní části skutečné části musí být konečné, stejně jako integrály pro imaginární část.

Vektorový prostor čtvercových integrovatelných funkcí (s ohledem na Lebesgueovu míru) tvoří L ^p prostor s . Mezi prostory L ^p je třída čtvercových integrovatelných funkcí jedinečná tím, že je kompatibilní s vnitřním součinem , což umožňuje definovat pojmy jako úhel a ortogonalita. Spolu s tímto vnitřním produktem čtvercové integrovatelné funkce tvoří Hilbertův prostor , protože všechny prostory L ^p jsou úplné pod jejich příslušnými p -normami . ${\ displaystyle p = 2}$

Termín se často nepoužívá k označení konkrétní funkce, ale k třídám ekvivalence funkcí, které jsou téměř všude stejné .

Vlastnosti

Čtvercové integrovatelné funkce (ve smyslu uvedeném ve kterém „funkce“ ve skutečnosti znamená třídu ekvivalence funkcí, které jsou téměř všude stejné) tvoří vnitřní produktový prostor s vnitřním součinem daným

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {A} {\ overline {f (x)}} g (x) \, \ mathrm {d} x}$

kde

• ${\ displaystyle f}$a jsou to čtvercově integrovatelné funkce,${\ displaystyle g}$
• ${\ displaystyle {\ overline {f (x)}}}$je komplexní konjugát z ,${\ displaystyle f (x)}$
• ${\ displaystyle A}$je množina, přes kterou se integruje - v první definici (uvedené v úvodu výše), je ; ve druhém je .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (-\ infty,+\ infty)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle [a, b]}$

Protože je čtvercová integrabilita stejná jako říká ${\ displaystyle | a |^{2} = a \ cdot {\ overline {a}}}$

${\ Displaystyle \ langle f, f \ rangle <\ infty. \,}$

Je možné ukázat, že čtvercové integrovatelné funkce tvoří úplný metrický prostor pod metrikou indukovanou výše definovaným vnitřním součinem. Kompletní metrický prostor se také nazývá prostor Cauchy , protože sekvence v takových metrických prostorech konvergují právě tehdy, pokud jsou Cauchy . Prostor, který je kompletní podle metriky indukované normou, je Banachův prostor . Prostor čtvercových integrovatelných funkcí je tedy Banachův prostor pod metrikou indukovanou normou, která je zase indukována vnitřním součinem. Protože máme další vlastnost vnitřního produktu, jedná se konkrétně o Hilbertův prostor , protože prostor je úplný pod metrikou indukovanou vnitřním produktem.

Tento vnitřní produktový prostor je konvenčně označován a mnohokrát zkrácen jako . Všimněte si, že to označuje sadu čtvercových integrovatelných funkcí, ale tento zápis neurčuje žádný výběr metriky, normy nebo vnitřního produktu. Sada spolu s konkrétním vnitřním produktem určují vnitřní produktový prostor. ${\ Displaystyle \ left (L_ {2}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {2} \ right)}$${\ displaystyle L_ {2}}$${\ displaystyle L_ {2}}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {2}}$

Prostor čtvercových integrovatelných funkcí je L ^p prostor, ve kterém . ${\ displaystyle p = 2}$

Příklady

• ${\ displaystyle {\ frac {1} {x^{n}}}}$, definovaný na (0,1), je v L ² pro, ale ne pro .${\ displaystyle n <{\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle n = {\ frac {1} {2}}}$

• Ohraničené funkce, definované na [0,1]. Tyto funkce jsou také v L ^p , pro libovolnou hodnotu p .
• ${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$, definováno dne .${\ displaystyle [1, \ infty)}$

Ne-příklady

• ${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$, definováno na [0,1], kde hodnota na 0 je libovolná. Kromě toho tato funkce není v L ^p pro žádnou hodnotu p in .${\ displaystyle [1, \ infty)}$

Viz také

• L ^p prostor

Reference