Přirozený logaritmus 2 - Natural logarithm of 2

Desetinná hodnota z přirozeného logaritmu o 2 (sekvence A002162 v OEIS ) je přibližně

${\ Displaystyle \ ln 2 \ cca 0,693 \, 147 \, 180 \, 559 \, 945 \, 309 \, 417 \, 232 \, 121 \, 458.}$

Logaritmus 2 v jiných bázích se získá podle vzorce

${\ Displaystyle \ log _ {b} 2 = {\ frac {\ ln 2} {\ ln b}}.}$

Dekadický logaritmus je zejména ( OEIS :  A007524 )

${\ Displaystyle \ log _ {10} 2 \ cca 0,301 \, 029 \, 995 \, 663 \, 981 \, 195.}$

Inverzní hodnota tohoto čísla je binární logaritmus 10:

${\ Displaystyle \ log _ {2} 10 = {\ frac {1} {\ log _ {10} 2}} \ cca 3,321 \, 928 \, 095}$( OEIS :  A020862 ).

Podle Lindemann -Weierstrassovy věty je přirozený logaritmus jakéhokoli přirozeného čísla jiného než 0 a 1 (obecněji jakéhokoli kladného algebraického čísla jiného než 1) transcendentálním číslem .

Reprezentace sérií

Stoupající alternativní faktoriál

${\ Displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n+1}} {n}} = 1-{\ frac {1} {2 }}+{\ frac {1} {3}}-{\ frac {1} {4}}+{\ frac {1} {5}}-{\ frac {1} {6}}+\ cdots. }$Jedná se o známou „ střídavou harmonickou řadu “.

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {1} {2}}+{\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^ {n+1}} {n (n+1)}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {5} {8}}+{\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^ {n+1}} {n (n+1) (n+2)}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {2} {3}}+{\ frac {3} {4}} \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^ {n+1}} {n (n+1) (n+2) (n+3)}}}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {131} {192}}+{\ frac {3} {2}} \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^ {n+1}} {n (n+1) (n+2) (n+3) (n+4)}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {661} {960}}+{\ frac {15} {4}} \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^ {n+1}} {n (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5)}}.}$

Faktor faktoru konstanty binárního stoupání

${\ Displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{n} n}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = 1- \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{n} n (n+1)}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {1} {2}}+2 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{n} n (n+1) (n+2)}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {5} {6}}-6 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{n} n (n+1) (n+2) (n+3)}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {7} {12}}+24 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{n} n (n+1) (n+2) (n+3) (n+4)}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {47} {60}}-120 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{n} n (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5)}}}$

Další reprezentace série

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {(2n+1) (2n+2)}}} = \ ln 2.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {n (4n^{2} -1)}} = 2 \ ln 2-1.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n}} {n (4n^{2} -1)}} = \ ln 2-1.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n}} {n (9n^{2} -1)}} = 2 \ ln 2-{\ frac {3} {2}}.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {4n^{2} -2n}} = \ ln 2.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {2 (-1)^{n+1} (2n-1) +1} {8n^{2} -4n}} = \ ln 2.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n}} {3n+1}} = {\ frac {\ ln 2} {3}}+{ \ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n}} {3n+2}} =-{\ frac {\ ln 2} {3}}+ {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n}} {(3n+1) (3n+2)}}} = {\ frac {2 \ ln 2} {3}}.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {\ sum _ {k = 1}^{n} k^{2}}} = 18-24 \ ln 2}$ použitím ${\ Displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ sum _ {n = N}^{2N} {\ frac {1} {n}} = \ ln 2}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {4n^{2} -3n}} = \ ln 2+{\ frac {\ pi} {6}}}$(součty převrácených desetinných čísel )

Zapojení funkce Riemann Zeta

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 2}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{n}}} [\ zeta (n) -1] = \ ln 2-{\ frac {1} {2}}.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 2}^{\ infty} {\ frac {1} {2n+1}} [\ zeta (n) -1] = 1- \ gamma-{\ frac {\ ln 2 } {2}}.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{2n-1} (2n+1)}}} zeta (2n) = 1- \ ln 2.}$

( γ je Eulerova – Mascheroniho konstanta a ζ Riemannova zeta funkce .)

Reprezentace typu BBP

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {2} {3}}+{\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1}^{\ infty} \ left ({\ frac {1} {2k}}+{\ frac {1} {4k+1}}+{\ frac {1} {8k+4}}+{\ frac {1} {16k+12}} \ right) {\ frac { 1} {16^{k}}}.}$

(Viz více o reprezentacích typu Bailey – Borwein – Plouffe (BBP) .)

Přímé použití tří obecných řad pro přirozený logaritmus na 2 dává:

${\ Displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n-1}} {n}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{n} n}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {2} {3}} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {9^{k} (2k+1)}}. }$

Jejich aplikace na : ${\ displaystyle \ textstyle 2 = {\ frac {3} {2}} \ cdot {\ frac {4} {3}}}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n-1}} {2^{n} n}}+\ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n-1}} {3^{n} n}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {3^{n} n}}+\ sum _ {n = 1}^{\ infty} { \ frac {1} {4^{n} n}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {2} {5}} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {25^{k} (2k+1)}}+ {\ frac {2} {7}} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {49^{k} (2k+1)}}.}$

Jejich aplikace na : ${\ Displaystyle \ textstyle 2 = ({\ sqrt {2}})^{2}}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = 2 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n-1}} {({\ sqrt {2}}+1)^{ n} n}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = 2 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {(2+{\ sqrt {2}})^{n} n}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {4} {3+2 {\ sqrt {2}}}} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {(17+12 {\ sqrt {2}})^{k} (2k+1)}}.}$

Jejich aplikace na : ${\ Displaystyle \ textstyle 2 = {\ left ({\ frac {16} {15}} \ right)}^{7} \ cdot {\ left ({\ frac {81} {80}} \ right)}^ {3} \ cdot {\ left ({\ frac {25} {24}} \ right)}^{5}}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = 7 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n-1}} {15^{n} n}}+3 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n-1}} {80^{n} n}}+5 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} { \ frac {(-1)^{n-1}} {24^{n} n}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = 7 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {16^{n} n}}+3 \ sum _ {n = 1}^{\ infty } {\ frac {1} {81^{n} n}}+5 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {25^{n} n}}.}$

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {14} {31}} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {961^{k} (2k+1)}}+ {\ frac {6} {161}} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {25921^{k} (2k+1)}}+{\ frac {10} { 49}} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {2401^{k} (2k+1)}}}.}$

Reprezentace jako integrály

Přirozený logaritmus 2 se často vyskytuje v důsledku integrace. Některé explicitní vzorce zahrnují:

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{1} {\ frac {dx} {1+x}} = \ int _ {1}^{2} {\ frac {dx} {x}} = \ ln 2 }$

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} e^{-x} {\ frac {1-e^{-x}} {x}} \, dx = \ ln 2}$

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {3}} \ tan x \, dx = 2 \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {4}} \ tan x \, dx = \ ln 2}$

${\ Displaystyle -{\ frac {1} {\ pi i}} \ int _ {0}^{\ infty} {\ frac {\ ln x \ ln \ ln x} {(x+1)^{2} }} \, dx = \ ln 2}$

Jiná zobrazení

Rozšíření Pierce je OEIS :  A091846

${\ Displaystyle \ ln 2 = 1-{\ frac {1} {1 \ cdot 3}}+{\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 12}}-\ cdots.}$

Rozšíření Engel je OEIS :  A059180

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ frac {1} {2}}+{\ frac {1} {2 \ cdot 3}}+{\ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 7}}+{ \ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 7 \ cdot 9}}+\ cdots.}$

Rozšíření kotangens je OEIS :  A081785

${\ Displaystyle \ ln 2 = \ cot ({\ operatorname {arccot} (0)-\ operatorname {arccot} (1)+\ operatorname {arccot} (5)-\ operatorname {arccot} (55)+\ operatorname { arccot} (14187)-\ cdots}).}$

Jednoduchá pokračující expanze frakce je OEIS :  A016730

${\ Displaystyle \ ln 2 = \ left [0; 1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,3,3,10,1,1,1,2, 1,1,1,1,3,2,3,1, ... \ right]}$,

což poskytuje racionální aproximace, z nichž prvních je 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 a 61/88.

Tato generalizovaná pokračující frakce :

${\ Displaystyle \ ln 2 = \ left [0; 1,2,3,1,5, {\ tfrac {2} {3}}, 7, {\ tfrac {1} {2}}, 9, {\ tfrac {2} {5}}, ..., 2k-1, {\ frac {2} {k}}, ... \ right]}$,

také vyjádřitelný jako

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ cfrac {1} {1+{\ cfrac {1} {2+{\ cfrac {1} {3+{\ cfrac {2} {2+{\ cfrac {2} { 5+{\ cfrac {3} {2+{\ cfrac {3} {7+{\ cfrac {4} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}}}}} = {\ cfrac {2} {3-{\ cfrac {1^{2}} {9-{\ cfrac {2^{2}} {15-{\ cfrac {3^{2}} {21- \ ddots}} }}}}}}}$

Bootstrapping jiné logaritmy

Vzhledem k hodnotě ln 2 je schématem výpočtu logaritmů jiných celých čísel tabelace logaritmů prvočísel a v další vrstvě logaritmy složených čísel c na základě jejich faktorizací

${\ Displaystyle c = 2^{i} 3^{j} 5^{k} 7^{l} \ cdots \ rightarrow \ ln (c) = i \ ln (2)+j \ ln (3)+k \ ln (5)+l \ ln (7)+\ cdots}$

To zaměstnává

primární	přibližný přirozený logaritmus	OEIS
2	0,693 147 180 559 945 309 417 232 121 458	A002162
3	1,098 612 288 668 109 691 395 245 236 92	A002391
5	1,609 437 912 434 100 374 600 759 333 23	A016628
7	1,945 910 149 055 313 305 105 352 743 44	A016630
11	2,397 895 272 798 370 544 061 943 577 97	A016634
13	2,564 949 357 461 536 736 053 487 441 57	A016636
17	2,833 213 344 056 216 080 249 534 617 87	A016640
19	2,944 438 979 166 440 460 009 027 431 89	A016642
23	3,135 494 215 929 149 690 806 752 831 81	A016646
29	3,367 295 829 986 474 027 183 272 032 36	A016652
31	3,433 987 204 485 146 245 929 164 324 54	A016654
37	3,610 917 912 644 224 444 368 095 671 03	A016660
41	3,713 572 066 704 307 803 866 763 373 04	A016664
43	3,761 200 115 693 562 423 472 842 513 35	A016666
47	3,850 147 601 710 058 586 820 950 669 77	A016670
53	3,970 291 913 552 121 834 144 469 139 03	A016676
59	4,077 537 443 905 719 450 616 050 373 72	A016682
61	4,110 873 864 173 311 248 751 389 103 43	A016684
67	4,204 692 619 390 966 059 670 071 996 36	A016690
71	4,262 679 877 041 315 421 329 454 532 51	A016694
73	4,290 459 441 148 391 129 092 108 857 44	A016696
79	4,369 447 852 467 021 494 172 945 541 48	A016702
83	4,418 840 607 796 597 923 475 472 223 29	A016706
89	4,488 636 369 732 139 838 317 815 540 67	A016712
97	4,574 710 978 503 382 822 116 721 621 70	A016720

Ve třetí vrstvě jsou logaritmy racionálních čísel r = A/bjsou vypočítány s ln ( r ) = ln ( a ) - ln ( b ) a logaritmy kořenů pomocí ln ⁿ √ c =1/nln ( c ) .

Logaritmus 2 je užitečný v tom smyslu, že mocniny 2 jsou poměrně hustě rozloženy; nalezení mocnin 2 ⁱ blízkých mocninám b ^j jiných čísel b je poměrně snadné a reprezentace řady ln ( b ) se zjistí spojením 2 na b s logaritmickými převody .

Příklad

Pokud p ^s = q ^t + d s malým d , pakp ^s/q ^t = 1 + d/q ^t a proto

${\ Displaystyle s \ ln pt \ ln q = \ ln \ left (1+{\ frac {d} {q^{t}}} \ right) = \ sum _ {m = 1}^{\ infty} ( -1)^{m+1} {\ frac {({\ frac {d} {q^{t}}})^{m}} {m}} = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {2} {2n+1}} {\ left ({\ frac {d} {2q^{t}+d}} \ right)}^{2n+1}.}$

Volba q = 2 představuje ln p podle ln 2 a řadu parametrůd/q ^tkterý si přeje udržet malý pro rychlou konvergenci. Vezmeme -li například 3 ² = 2 ³ + 1 , generuje se

${\ Displaystyle 2 \ ln 3 = 3 \ ln 2- \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {(-1)^{k}} {8^{k} k}} = 3 \ ln 2+ \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {2} {2n+1}} {\ left ({\ frac {1} {2 \ cdot 8+1}} \ right)}^{ 2n+1}.}$

Toto je vlastně třetí řádek v následující tabulce rozšíření tohoto typu:

s	p	t	q	d/q t
1	3	1	2	1/2 = -0,500 000 00 …
1	3	2	2	-1/4 = -0,250 000 00 …
2	3	3	2	1/8 = -0,125 000 00 …
5	3	8	2	-13/256 = -0,050 781 25 …
12	3	19	2	7153/524 288 = -0,013 643 26 …
1	5	2	2	1/4 = -0,250 000 00 …
3	5	7	2	-3/128 = -0,023 437 50 …
1	7	2	2	3/4 = -0,750 000 00 …
1	7	3	2	-1/8 = -0,125 000 00 …
5	7	14	2	423/16 384 = -0,025 817 87 …
1	11	3	2	3/8 = -0,375 000 00 …
2	11	7	2	-7/128 = -0,054 687 50 …
11	11	38	2	10 433 763 667/274 877 906 944 = -0,037 957 81 …
1	13	3	2	5/8 = -0,625 000 00 …
1	13	4	2	-3/16 = -0,187 500 00 …
3	13	11	2	149/2048 = -0,072 753 91 …
7	13	26	2	-4 360 347/67 108 864 = -0,064 974 23 …
10	13	37	2	419 538 377/137 438 953 472 = -0,003 052 54 …
1	17	4	2	1/16 = -0,062 500 00 …
1	19	4	2	3/16 = -0,187 500 00 …
4	19	17	2	-751/131 072 = -0,005 729 68 …
1	23	4	2	7/16 = -0,437 500 00 …
1	23	5	2	-9/32 = -0,281 250 00 …
2	23	9	2	17/512 = -0,033 203 12 …
1	29	4	2	13/16 = -0,812 500 00 …
1	29	5	2	-3/32 = -0,093 750 00 …
7	29	34	2	70 007 125/17 179 869 184 = -0,004 074 95 …
1	31	5	2	-1/32 = -0,031 250 00 …
1	37	5	2	5/32 = -0,156 250 00 …
4	37	21	2	-222 991/2 097 152 = -0,106 330 39 …
5	37	26	2	2 235 093/67 108 864 = -0,033 305 48 …
1	41	5	2	9/32 = -0,281 250 00 …
2	41	11	2	-367/2048 = -0,179 199 22 …
3	41	16	2	3385/65 536 = -0,051 651 00 …
1	43	5	2	11/32 = -0,343 750 00 …
2	43	11	2	-199/2048 = -0,097 167 97 …
5	43	27	2	12 790 715/134 217 728 = -0,095 298 25 …
7	43	38	2	-3 059 295 837/274 877 906 944 = -0,011 129 65 …

Počínaje přirozeným logaritmem q = 10 lze použít tyto parametry:

s	p	t	q	d/q t
10	2	3	10	3/125 = -0,024 000 00 …
21	3	10	10	460 353 203/10 000 000 000 = -0,046 035 32 …
3	5	2	10	1/4 = -0,250 000 00 …
10	5	7	10	-3/128 = -0,023 437 50 …
6	7	5	10	17 649/100 000 = -0,176 490 00 …
13	7	11	10	-3 110 989 593/100 000 000 000 = -0,031 109 90 …
1	11	1	10	1/10 = -0,100 000 00 …
1	13	1	10	3/10 = -0,300 000 00 …
8	13	9	10	-184 269 279/1 000 000 000 = -0,184 269 28 …
9	13	10	10	604 499 373/10 000 000 000 = -0,060 449 94 …
1	17	1	10	7/10 = -0,700 000 00 …
4	17	5	10	-16 479/100 000 = -0,164 790 00 …
9	17	11	10	18 587 876 497/100 000 000 000 = -0,185 878 76 …
3	19	4	10	-3141/10 000 = -0,314 100 00 …
4	19	5	10	30 321/100 000 = -0,303 210 00 …
7	19	9	10	-106 128 261/1 000 000 000 = -0,106 128 26 …
2	23	3	10	-471/1000 = -0,471 000 00 …
3	23	4	10	2167/10 000 = -0,216 700 00 …
2	29	3	10	-159/1000 = -0,159 000 00 …
2	31	3	10	-39/1000 = -0,039 000 00 …

Známé číslice

Toto je tabulka posledních záznamů při výpočtu číslic ln 2 . V prosinci 2018 byl vypočítán na více číslic než jakýkoli jiný přirozený logaritmus přirozeného čísla, kromě 1.

datum	název	Počet číslic
7. ledna 2009	A.Yee & R.Chan	15 500 000 000
04.02.2009	A.Yee & R.Chan	31 026 000 000
21. února 2011	Alexandr Yee	50 000 000 050
14. května 2011	Shigeru Kondo	100 000 000 000
28. února 2014	Shigeru Kondo	200 000 000 050
12. července 2015	Ron Watkins	250 000 000 000
30. ledna 2016	Ron Watkins	350 000 000 000
18. dubna 2016	Ron Watkins	500 000 000 000
10. prosince 2018	Michael Kwok	600 000 000 000
26. dubna 2019	Jacob Riffee	1 000 000 000 000
19. srpna 2020	Seungmin Kim	1 200 000 000 100

Viz také

• Pravidlo 72#Souvislé skládání , ve kterém ln 2 figuruje prominentně
• Poločas rozpadu#Vzorce pro poločas rozpadu v exponenciálním rozpadu , ve kterém je nápadně uvedeno číslo 2
• Erdős-Moser rovnice : všechna řešení musí pocházet z konvergentní o ln 2 .

Reference

• Brent, Richard P. (1976). „Rychlé vyhodnocení elementárních funkcí s vícenásobnou přesností“. J. ACM . 23 (2): 242–251. doi : 10,1145/321941,321944 . MR  0395314 . S2CID  6761843 .
• Uhler, Horace S. (1940). „Přepočet a prodloužení modulu a logaritmů 2, 3, 5, 7 a 17“ . Proč. Natl. Akadem. Sci. USA . 26 (3): 205–212. doi : 10,1073/pnas.26.3.205 . MR  0001523 . PMC  1078033 . PMID  16588339 .
• Sweeney, Dura W. (1963). „O výpočtu Eulerovy konstanty“ . Matematika výpočtu . 17 (82): 170–178. doi : 10,1090/S0025-5718-1963-0160308-X . MR  0160308 .
• Chamberland, Marc (2003). „Binární vzorce BBP pro logaritmy a generalizované Gaussovo – Mersennovy prvočísla“ (PDF) . Journal of Integer Sequences . 6 : 03.3.7. MR  2046407 . Archivováno z originálu (PDF) dne 06.06.2011 . Citováno 2010-04-29 .
• Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). „Konstrukce binomických součtů pro π a polylogaritmické konstanty inspirované vzorci BBP“ (PDF) . Aplikovaná matematika. E-Notes . 7 : 237–246. MR  2346048 .
• Wu, Qiang (2003). „O měřítku lineární nezávislosti logaritmů racionálních čísel“ . Matematika výpočtu . 72 (242): 901–911. doi : 10,1090/S0025-5718-02-01442-4 .

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Přirozený logaritmus 2“ . MathWorld .
• „tabulka přirozených logaritmů“ . PlanetMath .
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. "Konstanta logaritmu: log 2" .