Numerická relativita - Numerical relativity

Numerická relativita je jednou z větví obecné relativity, která využívá numerické metody a algoritmy k řešení a analýze problémů. Za tímto účelem se superpočítače často používají ke studiu černých děr , gravitačních vln , neutronových hvězd a mnoha dalších jevů, které řídí Einsteinova teorie obecné relativity . Aktuálně aktivní oblastí výzkumu v numerické relativitě je simulace relativistických binárních souborů a s nimi spojených gravitačních vln.

Přehled

Primárním cílem numerické relativity je studium časoprostorů, jejichž přesná forma není známa. Takto zjištěné časoprostory mohou být buď plně dynamické , stacionární nebo statické a mohou obsahovat pole hmoty nebo vakuum. V případě stacionárních a statických řešení lze ke studiu stability rovnovážných časoprostorů použít také numerické metody. V případě dynamických časoprostorů lze problém rozdělit na problém počáteční hodnoty a vývoj, přičemž každý vyžaduje jiné metody.

Numerická relativita se uplatňuje v mnoha oblastech, jako jsou například kosmologické modely , kritické jevy , narušené černé díry a neutronové hvězdy a například koalescence černých děr a neutronových hvězd. V každém z těchto případů lze Einsteinovy ​​rovnice formulovat několika způsoby, které nám umožňují rozvíjet dynamiku. Zatímco Cauchyho metodám byla věnována většina pozornosti, byly také použity charakteristické a Reggeho metody založené na počtu . Všechny tyto metody začínají snímkem gravitačních polí na nějakém hypersurface , počátečních datech, a tato data vyvíjejí do sousedních hyperpovrchů.

Jako všechny problémy numerické analýzy je i zde věnována velká pozornost stabilitě a konvergenci numerických řešení. V tomto řádku je věnována velká pozornost podmínkám rozchodu , souřadnicím a různým formulacím Einsteinových rovnic a vlivu, který mají na schopnost vytvářet přesná numerická řešení.

Výzkum numerické relativity je odlišný od práce na klasických polních teoriích, protože mnoho technik implementovaných v těchto oblastech je v relativitě nepoužitelné. Mnoho aspektů je však sdíleno s velkými problémy v jiných výpočetních vědách, jako je výpočetní dynamika tekutin , elektromagnetika a pevná mechanika. Numeričtí relativisté často pracují s aplikovanými matematiky a čerpají poznatky z numerické analýzy , vědeckých výpočtů , parciálních diferenciálních rovnic a geometrie mimo jiné matematické oblasti specializace.

Dějiny

Základy v teorii

Albert Einstein publikoval svou teorii obecné relativity v roce 1915. Stejně jako jeho dřívější teorie speciální relativity popsal prostor a čas jako jednotný časoprostor podléhající nyní známým jako Einsteinovy ​​rovnice pole . Ty tvoří soubor spojených nelineárních parciálních diferenciálních rovnic (PDE). Po více než 100 letech od první publikace teorie je pro polní rovnice známo relativně málo řešení v uzavřené formě a z nich je většina kosmologických řešení, která předpokládají speciální symetrii, aby se snížila složitost rovnic.

Pole numerické relativity vzešlo z touhy konstruovat a studovat obecnější řešení rovnic pole přibližně řešením numericky Einsteinových rovnic. Nezbytným předchůdcem těchto pokusů byl rozklad časoprostoru zpět na oddělený prostor a čas. Toto bylo poprvé publikováno Richardem Arnowittem , Stanleyem Deserem a Charlesem W. Misnerem na konci padesátých let minulého století v takzvaném formalismu ADM . Přestože se z technických důvodů přesné rovnice formulované v původním dokumentu ADM jen zřídka používají v numerických simulacích, většina praktických přístupů k numerické relativitě využívá „rozložení 3+1“ časoprostoru na trojrozměrný prostor a jednorozměrný čas, který je v těsném vztahu k formulaci ADM, protože postup ADM přeformuloval Einsteinovy ​​polní rovnice na omezený problém počáteční hodnoty, který lze řešit pomocí výpočetních metodik .

V době, kdy společnost ADM publikovala svůj původní dokument, by počítačová technologie nepodporovala numerické řešení jejich rovnic pro jakýkoli problém jakékoli podstatné velikosti. Prvním zdokumentovaným pokusem o numerické vyřešení Einsteinových polních rovnic se jeví Hahn a Lindquist v roce 1964, poté brzy poté Smarr a Eppley. Tyto rané pokusy byly zaměřeny na vývoj Misnerových dat v osové symetrii (také známé jako „2+1 dimenze“). Přibližně ve stejnou dobu Tsvi Piran napsal první kód, který vyvinul systém s gravitačním zářením pomocí válcové symetrie. V tomto výpočtu Piran položil základ mnoha konceptů, které se dnes používají při vývoji rovnic ADM, jako je „volná evoluce“ versus „omezená evoluce“, které se zabývají základním problémem řešení rovnic omezení, které vznikají ve formalismu ADM. Použití symetrie snížilo výpočetní a paměťové požadavky spojené s tímto problémem, což vědcům umožnilo získat výsledky o superpočítačích, které byly v té době k dispozici.

Počáteční výsledky

První realistické výpočty rotujícího kolapsu provedli na počátku osmdesátých let Richard Stark a Tsvi Piran, ve kterých byly poprvé vypočítány gravitační vlny vznikající při tvorbě rotující černé díry. Téměř 20 let po počátečních výsledcích bylo v numerické relativitě publikováno poměrně málo dalších výsledků, pravděpodobně kvůli nedostatku dostatečně výkonných počítačů, které by tento problém řešily. Na konci devadesátých let aliance Binary Black Hole Grand Challenge úspěšně simulovala čelní kolizi binárních černých děr . Jako krok po zpracování skupina vypočítala horizont událostí pro časoprostor. Tento výsledek stále vyžadoval uložení a využití osové symetrie ve výpočtech.

Některé z prvních dokumentovaných pokusů o řešení Einsteinových rovnic ve třech rozměrech byly zaměřeny na jedinou Schwarzschildovu černou díru , která je popsána statickým a sféricky symetrickým řešením Einsteinových rovnic pole. To poskytuje vynikající testovací případ v numerické relativitě, protože má řešení v uzavřené formě, takže numerické výsledky lze porovnat s přesným řešením, protože je statické a protože obsahuje jeden z numericky nejnáročnějších rysů teorie relativity, fyzická jedinečnost . Jednou z prvních skupin, které se pokusily simulovat toto řešení, byli Anninos a kol. v roce 1995. Ve svém příspěvku na to poukazují

"Pokrok v trojrozměrné numerické relativitě byl zčásti zpomalen nedostatkem počítačů s dostatečnou pamětí a výpočetním výkonem pro provádění dobře vyřešených výpočtů 3D časoprostorů."

Zrání pole

V následujících letech nejenže začaly být počítače výkonnější, ale také různé výzkumné skupiny vyvinuly alternativní techniky ke zlepšení efektivity výpočtů. Pokud jde konkrétně o simulace černé díry, byly navrženy dvě techniky, aby se předešlo problémům spojeným s existencí fyzikálních singularit v řešeních rovnic: (1) Excize a (2) metoda „punkce“. Kromě toho skupina Lazarus vyvinula techniky pro použití raných výsledků z krátkodobé simulace řešení nelineárních rovnic ADM, aby poskytla počáteční data pro stabilnější kód založený na linearizovaných rovnicích odvozených z teorie poruch . Obecněji byly do oblasti numerické relativity zavedeny adaptivní techniky zdokonalení sítě , již používané ve výpočetní dynamice tekutin .

Vyříznutí

V excizní technice, která byla poprvé navržena na konci devadesátých let, se část časoprostoru uvnitř horizontu událostí obklopující singularitu černé díry jednoduše nevyvinula. Teoreticky by to nemělo ovlivnit řešení rovnic mimo horizont událostí z důvodu principu kauzality a vlastností horizontu událostí (tj. Nic fyzického uvnitř černé díry nemůže ovlivnit žádnou fyziku mimo horizont). Pokud tedy člověk jednoduše neřeší rovnice uvnitř horizontu, měl by být stále schopen získat platná řešení venku. Člověk „spotřebuje“ vnitřek uložením vstupujících okrajových podmínek na hranici obklopující singularitu, ale uvnitř horizontu. Přestože implementace excize byla velmi úspěšná, tato technika má dva menší problémy. První je, že si musíte dávat pozor na podmínky souřadnic. Zatímco fyzické efekty se nemohou šířit zevnitř ven, efekty souřadnic ano. Pokud by například podmínky souřadnic byly eliptické, změny souřadnic uvnitř by se mohly okamžitě šířit ven skrz horizont. To pak znamená, že k šíření účinků souřadnic (např. Pomocí podmínek souřadnic harmonických souřadnic) člověk potřebuje podmínky souřadnic hyperbolického typu s charakteristickými rychlostmi menšími, než jsou rychlosti světla. Druhým problémem je, že jak se černé díry pohybují, je třeba neustále upravovat umístění oblasti excize, aby se pohybovaly s černou dírou.

Technika vyříznutí byla vyvíjena několik let, včetně vývoje nových podmínek rozchodu, které zvýšily stabilitu a práci, která prokázala schopnost oblastí vyříznutí pohybovat se přes výpočetní mřížku. První stabilní, dlouhodobý vývoj oběžné dráhy a sloučení dvou černých děr pomocí této techniky byl publikován v roce 2005.

Propíchnutí

V metodě punkce je řešení zapracováno do analytické části, která obsahuje singularitu černé díry, a numericky konstruované části, která je poté singularita prostá. Toto je zobecnění Brill-Lindquistova předpisu pro počáteční data černých děr v klidu a lze zobecnit na Bowen-Yorkův předpis pro spinning a pohybující se počáteční data černé díry. Do roku 2005 vyžadovalo veškeré publikované použití metody punkce, aby poloha souřadnic všech defektů zůstala v průběhu simulace pevná. Samozřejmě, že černé díry v blízkosti sebe budou mít tendenci se pohybovat pod gravitační silou, takže skutečnost, že poloha souřadnic vpichu zůstala pevná, znamenalo, že se samotné souřadnicové systémy „natáhly“ nebo „zkroutily“, což obvykle vedlo na numerické nestability v určité fázi simulace.


Průlom

V roce 2005 vědci poprvé prokázali schopnost umožnit průrazům pohyb po souřadnicovém systému, čímž se odstranily některé dřívější problémy s touto metodou. To umožnilo přesné dlouhodobé evoluce černých děr. Volbou vhodných podmínek souřadnic a vytvořením hrubých analytických předpokladů o polích blízkých singularitě (protože z černé díry se nemohou šířit žádné fyzické efekty, na hrubosti aproximací nezáleží) by bylo možné získat numerická řešení problému dvou černých otvory obíhající kolem sebe, stejně jako přesný výpočet gravitačního záření (vlnění v časoprostoru), které vyzařují.

Lazarův projekt

Projekt Lazarus (1998–2005) byl vyvinut jako technika post-Grand Challenge k extrakci astrofyzikálních výsledků z krátkodobých úplných numerických simulací binárních černých děr. Kombinovala aproximační techniky před (post-newtonovskými trajektoriemi) a po (odchylky jednotlivých černých děr) s úplnými numerickými simulacemi pokoušející se vyřešit rovnice pole obecné relativity. Všechny předchozí pokusy numericky integrovat do superpočítačů Hilbert-Einsteinovy ​​rovnice popisující gravitační pole kolem binárních černých děr vedly k selhání softwaru před dokončením jediné oběžné dráhy.

Lazarův přístup mezitím poskytl nejlepší pohled na problém binárních černých děr a přinesl řadu a relativně přesných výsledků, jako je vyzařovaná energie a moment hybnosti emitovaný v nejnovějším stavu sloučení, lineární hybnost vyzařovaná nestejnými hmotnými děrami, a konečná hmotnost a rotace zbytkové černé díry. Metoda také vypočítala podrobné gravitační vlny emitované procesem fúze a předpovídala, že srážka černých děr je nejenergičtější jednotlivou událostí ve vesmíru, která uvolní za zlomek sekundy více energie ve formě gravitačního záření než celá galaxie v jeho životnost.

Adaptivní zdokonalení síťoviny

Adaptive upřesnění sítě (AMR) jako numerická metoda má kořeny, které sahají daleko za její první aplikaci v oblasti numerické relativity. Zjemnění nejprve se objeví v číselném relativity literaturu v roce 1980, přes práci Choptuik ve svých studiích kritického pádu ze skalárních polí . Původní dílo bylo v jedné dimenzi, ale následně bylo rozšířeno do dvou dimenzí. Ve dvou dimenzích byla AMR také použita ke studiu nehomogenních kosmologií a ke studiu Schwarzschildových černých děr . Tato technika se nyní stala standardním nástrojem v numerické relativitě a byla použita ke studiu sloučení černých děr a dalších kompaktních objektů kromě šíření gravitačního záření generovaného takovými astronomickými událostmi.

Nedávný vývoj

V posledních několika letech byly publikovány stovky výzkumných prací vedoucích k širokému spektru matematické relativity, gravitačních vln a astrofyzikálních výsledků problému obíhající černé díry. Tato technika se rozšířila na astrofyzikální binární systémy zahrnující neutronové hvězdy a černé díry a více černých děr. Jednou z nejpřekvapivějších předpovědí je, že sloučení dvou černých děr může dát zbytkové díře rychlost až 4000 km/s, což jí umožní uniknout z jakékoli známé galaxie. Simulace také předpovídají enormní uvolnění gravitační energie v tomto procesu fúze, a to až 8% její celkové klidové hmotnosti.

Viz také

Poznámky

externí odkazy