Rank – nullity teorém - Rank–nullity theorem

Věty o dimenzi je věta v lineární algebry , který tvrdí, že rozměr této domény jednoho lineárního mapy je součtem jeho hodnosti (dimenzi jeho image ) a jeho neplatnosti (rozměr jejího jádra ).

Uvedení věty

Nech , bude vektorové prostory, kde je konečný rozměrný. Nechť je lineární transformace. Pak ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle T \ dvojtečka V \ až W}$

${\ displaystyle \ operatorname {Rank} (T)+\ operatorname {Nullity} (T) = \ dim V,}$

kde

${\ displaystyle \ operatorname {Rank} (T): = \ dim (\ operatorname {Image} (T))}$ a ${\ displaystyle \ operatorname {Nullity} (T): = \ dim (\ operatorname {Ker} (T)).}$

Tuto větu je možné upřesnit prostřednictvím rozdělovacího lemmatu jako prohlášení o izomorfismu prostorů, nejen dimenzí. Explicitně, protože T indukuje izomorfismus od do , existence základu pro V, který rozšiřuje daný základ, implikuje prostřednictvím rozdělovacího lemmatu, že . Když vezmeme rozměry, okamžitě následuje věta o hodnosti a neplatnosti. ${\ displaystyle V/\ operatorname {Ker} (T)}$${\ displaystyle \ operatorname {Image} (T)}$${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T)}$${\ displaystyle \ operatorname {Image} (T) \ oplus \ operatorname {Ker} (T) \ cong V}$

Matice

Vzhledem k tomu , matice okamžitě přijde na mysl, když diskutuje o lineárních zobrazení. V případě matice je dimenzí domény počet sloupců v matici. Věta o hodnosti a neplatnosti pro danou matici se tedy okamžitě stane ${\ displaystyle \ operatorname {Mat} _ {m \ times n} (\ mathbb {F}) \ cong \ operatorname {Hom} (\ mathbb {F} ^{n}, \ mathbb {F} ^{m}) }$${\ displaystyle m \ times n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M \ in \ operatorname {Mat} _ {m \ times n} (\ mathbb {F})}$

${\ displaystyle \ operatorname {Rank} (M)+\ operatorname {Nullity} (M) = n.}$

Důkazy

Zde poskytujeme dva důkazy. První funguje v obecném případě pomocí lineárních map. Druhý důkaz se dívá na homogenního systému pro s hodností a ukazuje výslovně uvedeno, že existuje soubor lineárně nezávislých řešení, které se klenou nad jádro . ${\ displaystyle \ mathbf {Ax} = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} \ in \ operatorname {Mat} _ {m \ times n} (\ mathbb {F})}$ ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle č.}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

I když tato věta vyžaduje, aby doména lineární mapy byla konečno-dimenzionální, na doméně taková domněnka neexistuje. To znamená, že existují lineární mapy, které nejsou dány maticemi, pro které platí věta. Navzdory tomu není první důkaz ve skutečnosti obecnější než druhý: protože obraz lineární mapy je konečný-dimenzionální, můžeme mapu reprezentovat z její domény do jejího obrazu maticí, dokázat větu pro tuto matici, pak skládat se zahrnutím obrázku do plné codomény.

První důkaz

Nechť jsou vektorové mezery nad nějakým polem a definovány jako ve výroku věty s . ${\ displaystyle V, W}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ dim V = n}$

Stejně jako podprostor pro to existuje základ. Předpokládejme a nechme ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} T \ subset V}$${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Ker} T = k}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}: = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {k} \} \ subset \ operatorname {Ker} (T)}$

být takový základ.

Nyní můžeme pomocí Steinitzova výměnného lemmatu rozšířit o lineárně nezávislé vektory, abychom vytvořili úplný základ . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ displaystyle nk}$${\ displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {nk}}$${\ displaystyle V}$

Nechat

${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}: = \ {w_ {1}, \ ldots, w_ {nk} \} \ subset V \ setminus \ operatorname {Ker} (T)}$

takové to

${\ displaystyle {\ mathcal {B}}: = {\ mathcal {K}} \ cup {\ mathcal {S}} = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {k}, w_ {1}, \ ldots, w_ {nk} \} \ subset V}$

je základem pro . Z toho víme, že ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} T = \ operatorname {Span} T ({\ mathcal {B}}) = \ operatorname {Span} \ {T (v_ {1}), \ ldots, T (v_ {k} ), T (w_ {1}), \ ldots, T (w_ {nk}) \} = \ operatorname {Span} \ {T (w_ {1}), \ ldots, T (w_ {nk}) \} = \ operatorname {Span} T ({\ mathcal {S}})}$.

Nyní tvrdíme, že je to základ pro . Výše uvedená rovnost již uvádí, že je generující množinou pro ; zbývá ukázat, že je také lineárně nezávislý, aby dospěl k závěru, že je základem. ${\ displaystyle T ({\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} T}$${\ displaystyle T ({\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} T}$

Předpokládejme, že není lineárně nezávislý, a nechme ${\ displaystyle T ({\ mathcal {S}})}$

${\ Displaystyle \ sum _ {j = 1}^{nk} \ alpha _ {j} T (w_ {j}) = 0_ {W}}$

pro některé .${\ Displaystyle \ alpha _ {j} \ in \ mathbb {F}}$

Z toho vyplývá, že vzhledem k linearitě${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle T \ left (\ sum _ {j = 1}^{nk} \ alpha _ {j} w_ {j} \ right) = 0_ {W} \ implikuje \ left (\ sum _ {j = 1} ^{nk} \ alpha _ {j} w_ {j} \ right) \ in \ operatorname {Ker} T = \ operatorname {Span} {\ mathcal {K}} \ subset V.}$

To je v rozporu se základem, pokud nejsou všechny rovny nule. To ukazuje, že je to lineárně nezávislé a konkrétněji, že je to základ pro . ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {j}}$${\ displaystyle T ({\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} T}$

Abychom to shrnuli, máme základ pro a základ pro . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ker} T}$${\ displaystyle T ({\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} T}$

Nakonec to můžeme konstatovat

${\ displaystyle \ operatorname {Rank} (T)+\ operatorname {Nullity} (T) = \ dim \ operatorname {Im} T+\ dim \ operatorname {Ker} T = | T ({\ mathcal {S}}) | +| {\ mathcal {K}} | = (nk)+k = n = \ dim V.}$

Tím náš důkaz končí.

Druhý důkaz

Nechat s lineárně nezávislými sloupci (tj. ). Ukážeme, že: ${\ displaystyle \ mathbf {A} \ in \ operatorname {Mat} _ {m \ times n} (\ mathbb {F})}$${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Rank} (\ mathbf {A}) = r}$

Za tímto účelem vytvoříme matici, jejíž sloupce tvoří základ nulového prostoru . ${\ displaystyle \ mathbf {X} \ in \ operatorname {Mat} _ {n \ times (nr)} (\ mathbb {F})}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Bez ztráty obecnosti předpokládejme, že první sloupce jsou lineárně nezávislé. Takže můžeme psát ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & \ mathbf {A} _ {2} \ end {pmatrix}},}$

kde

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1} \ in \ operatorname {Mat} _ {m \ times r} (\ mathbb {F})}$s lineárně nezávislými sloupcovými vektory a${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {2} \ in \ operatorname {Mat} _ {m \ times (nr)} (\ mathbb {F})}$, jejichž každý sloupec je lineární kombinací sloupců .${\ displaystyle č.}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1}}$

To znamená, že pro některé (viz faktorizace pořadí ), a tedy ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {2} = \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ mathbf {B} \ in \ operatorname {Mat} _ {r \ times (nr)}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {B} \ end {pmatrix}}.}$

Nechat

${\ Displaystyle \ mathbf {X} = {\ begin {pmatrix}-\ mathbf {B} \\\ mathbf {I} _ {nr} \ end {pmatrix}},}$

kde je matice identity . Konstatujeme, že uspokojuje ${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {nr}}$${\ displaystyle (nr) \ times (nr)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X} \ in \ operatorname {Mat} _ {n \ times (nr)} (\ mathbb {F})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ mathbf {X} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {B} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix}-\ mathbf {B} \\\ mathbf {I} _ {nr} \ end {pmatrix}} =-\ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {B} +\ mathbf {A } _ {1} \ mathbf {B} = \ mathbf {0} _ {m \ times (nr)}.}$

Proto jsou všechny sloupce konkrétních řešení . ${\ displaystyle č.}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Ax} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{m}}}$

Kromě toho, že sloupce jsou lineárně nezávislé , protože bude znamenat pro : ${\ displaystyle č.}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Xu} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{n}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{nr}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ in \ mathbb {F} ^{nr}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {X} \ mathbf {u} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{n}} \ implikuje {\ begin {pmatrix}-\ mathbf {B} \\\ mathbf { I} _ {nr} \ end {pmatrix}} \ mathbf {u} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{n}} \ implikuje {\ begin {pmatrix}-\ mathbf {B} \ mathbf {u} \\\ mathbf {u} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{r}} \\\ mathbf {0} _ { \ mathbb {F} ^{nr}} \ end {pmatrix}} \ \ implikuje \ mathbf {u} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{nr}}.}$

Sloupcové vektory proto tvoří soubor lineárně nezávislých řešení pro . ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle č.}$${\ Displaystyle \ mathbf {Ax} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{m}}}$

Dále dokážeme, že jakékoli řešení musí být lineární kombinací sloupců . ${\ Displaystyle \ mathbf {Ax} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{m}}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Za tímto účelem

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {u} _ {1} \\\ mathbf {u} _ {2} \ end {pmatrix}} \ in \ mathbb {F} ^{ n}}$

být jakýkoli takový vektor . Všimněte si, že protože sloupce jsou lineárně nezávislé, znamená to . ${\ Displaystyle \ mathbf {Au} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{m}}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {x} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{m}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{r}}}$

Proto,

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ mathbf {A} \ mathbf {u} & = & \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{m}} \\\ implikuje {\ begin { pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {B} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ mathbf {u} _ {1} \\\ mathbf {u} _ {2} \ end {pmatrix}} & = & \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {u} _ {1}+\ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {B} \ mathbf {u} _ {2} & = & \ mathbf {A} _ {1} (\ mathbf {u} _ {1}+\ mathbf {B} \ mathbf {u} _ {2}) & = & \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{m}} \\\ implikuje \ mathbf {u} _ {1}+\ mathbf {B} \ mathbf {u} _ {2} & = & \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^{r}} \\\ implikuje \ mathbf {u} _ {1} & = &-\ mathbf {B} \ mathbf {u} _ {2} \ end {pole }}}$

${\ Displaystyle \ implies \ mathbf {u} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {u} _ {1} \\\ mathbf {u} _ {2} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -\ mathbf {B} \\\ mathbf {I} _ {nr} \ end {pmatrix}} \ mathbf {u} _ {2} = \ mathbf {X} \ mathbf {u} _ {2}.}$

To dokazuje, že jakýkoli vektor, který je řešením, musí být lineární kombinací speciálních řešení daných sloupci . A již jsme viděli, že sloupce jsou lineárně nezávislé. Proto jsou sloupce představují základ pro nulový prostor o . Proto je neplatnosti of je . Protože se rovná hodnosti , vyplývá z toho . Tím náš důkaz končí. ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {Ax} = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle č.}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle č.}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ operatorname {Rank} (\ mathbf {A})+\ operatorname {Nullity} (\ mathbf {A}) = n}$

Reformulace a zobecnění

Tato věta je vyjádřením první izomorfistické věty algebry pro případ vektorových prostorů; zobecňuje na dělící lemma .

V modernějším jazyce lze větu také formulovat tak, že každá krátká přesná sekvence vektorových prostorů se rozdělí. Vzhledem k tomu výslovně

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow U \ rightarrow V {\ overset {T} {\ rightarrow}} R \ rightarrow 0}$

je krátká přesná sekvence vektorových prostorů, tedy tedy ${\ Displaystyle U \ oplus R \ cong V}$

${\ Displaystyle \ dim (U)+\ dim (R) = \ dim (V).}$

Zde R hraje roli im T a U je ker T , tzn

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow \ ker T ~ {\ hookrightarrow} ~ V ~ {\ overset {T} {\ rightarrow}} ~ \ operatorname {im} T \ rightarrow 0}$

V případě konečných rozměrů je tato formulace náchylná ke generalizaci: pokud

0 → V ₁ → V ₂ → ⋯ → V _r → 0

je tedy přesná posloupnost vektorových prostorů konečných rozměrů

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{r} (-1)^{i} \ dim (V_ {i}) = 0.}$

Věta hodnosti a neplatnosti pro vektorové prostory s konečnou dimenzí může být také formulována z hlediska indexu lineární mapy. Index lineární mapy , kde a jsou konečné, je definován ${\ displaystyle T \ in \ operatorname {Hom} (V, W)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle \ operatorname {index} T = \ dim \ operatorname {Ker} (T)-\ dim \ operatorname {Coker} T.}$

Intuitivně je počet nezávislých řešení rovnice a počet nezávislých omezení, která je třeba zavést, aby byla řešitelná. Věta o hodnosti a neplatnosti vektorových prostorů s konečnou dimenzí je ekvivalentní tvrzení ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Ker} T}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle Tv = 0}$${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Coker} T}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle Tv = w}$

${\ displaystyle \ operatorname {index} T = \ dim V- \ dim W.}$

Vidíme, že můžeme snadno odečíst index lineární mapy ze zapojených prostor, aniž bychom museli podrobně analyzovat . K tomuto efektu dochází také v mnohem hlubším výsledku: Atiyah – Singerova věta o indexu uvádí, že index určitých diferenciálních operátorů lze odečíst z geometrie zapojených prostorů. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Citace

Reference

• Axler, Sheldon (2015). Lineární algebra provedená správně . Vysokoškolské texty v matematice (3. vyd.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics , Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
• Friedberg, Stephen H .; Insel, Arnold J .; Spence, Lawrence E. (2014). Lineární algebra (4. vyd.). Pearsonovo vzdělávání . ISBN 978-0130084514.
• Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.
• Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Úvod do lineární algebry . Americká matematická společnost . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Valenza, Robert J. (1993) [1951]. Lineární algebra: Úvod do abstraktní matematiky . Vysokoškolské texty v matematice (3. vyd.). Springer . ISBN 3-540-94099-5.