Skutečný projektivní prostor - Real projective space

V matematiky , reálném projektivní prostor , nebo RP ⁿ , nebo , je topologický prostor čar procházejících původu 0 v R ^{n + 1} . Jedná se o kompaktní , hladké potrubí o rozměru n a je zvláštním případem Gr (1, R ^{n +1} ) z Grassmannova prostoru. ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {n} (\ mathbb {R})}$

Základní vlastnosti

Konstrukce

Stejně jako u všech projektivní prostory, RP ⁿ je tvořena tím, že je kvocient z R ^{n + 1} ∖ {0} pod ekvivalence x ~ λx pro všechny skutečné čísla lambda ≠ 0 . Pro všechna x v R ^{n +1} ∖ {0} lze vždy najít λ takové, že λx má normu  1. Přesně dva takové λ se liší znaménkem.

Tak RP ⁿ může být rovněž vytvořen pomocí identifikace opačné body z jednotky n - koule , S ⁿ , v R ^{n + 1} .

Lze se dále omezit na horní polokouli S ⁿ a pouze identifikovat protipodální body na hraničním rovníku. To ukazuje, že RP ⁿ je také ekvivalentní uzavřenému n -dimenzionálnímu disku, D ⁿ , s identifikovanými antipodálními body na hranici, ∂ D ⁿ = S ^{n −1} .

Nízkorozměrné příklady

RP ¹ se nazývá skutečná projektivní přímka , která je topologicky ekvivalentní kružnici .

RP ² se nazývá skutečná projektivní rovina . Tento prostor nelze vložit do R ³ . Může však být vložen do R ⁴ a může být ponořen do R ³ . Otázky vložitelnosti a ponoření pro projektivní n -prostor byly dobře studovány.

RP ³ je ( odlišný od) SO (3) , proto připouští skupinovou strukturu; krycí mapa S ³ → RP ³ je mapa skupin Spin (3) → SO (3), kde Spin (3) je Lieova skupina, která je univerzálním pokrytím SO (3).

Topologie

Antipodální mapa na n -sphere (mapa odeslání x k - x ) generuje Z ₂ akční skupina na S ⁿ . Jak bylo uvedeno výše, orbitální prostor pro tuto akci je RP ⁿ . Tato akce je ve skutečnosti pokrývá prostor akční dává S ⁿ jako dvojité víko z RP ⁿ . Protože S ⁿ je jednoduše připojeno pro n ≥ 2, slouží v těchto případech také jako univerzální kryt . Z toho vyplývá, že na základní skupinu z RP ⁿ je Z ₂ , když n > 1. (li n = 1, je základní skupina Z důvodu homeomorphism s S ¹ ). Generátorem pro základní skupinu je uzavřená křivka získaná promítnutím jakékoli křivky spojující protipodální body v S ⁿ až na RP ⁿ .

Projektivní n -prostor je kompaktní, propojený a má základní skupinu izomorfní s cyklickou skupinou řádu 2: jeho univerzální krycí prostor je dán mapou kvocientu protějšku z n -sféry, jednoduše propojeného prostoru. Jedná se o dvojitý kryt. Mapa antipodu na R ^p má znaménko , takže zachovává orientaci, i když p je sudé. Orientační charakter je tedy: non-triviální smyčka působí jako na orientaci, takže RP ⁿ je orientovatelný, právě když n  + 1 je i, tj, n je liché. ${\ Displaystyle (-1)^{p}}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbf {RP} ^{n})}$${\ Displaystyle (-1)^{n+1}}$

Projektivní n -prostor je ve skutečnosti odlišný od podtřídy R ^{( n +1) 2} skládající se ze všech symetrických ( n  + 1) × ( n  + 1) matic stopy 1, které jsou také idempotentní lineární transformace.

Geometrie skutečných projektivních prostorů

Skutečný projektivní prostor připouští konstantní kladnou metriku skalárního zakřivení, pocházející z dvojitého krytu standardní kulaté koule (antipodální mapa je lokálně izometrie).

Pro standardní kulatou metriku má toto zakřivení v řezu shodně 1.

Ve standardní kulaté metrice je míra projektivního prostoru přesně poloviční mírou koule.

Hladká struktura

Skutečné projektivní prostory jsou hladké potrubí . Na S ⁿ , v homogenních souřadnicích ( x ₁ ... x _{n +1} ), zvažte podmnožinu U _i s x _i ≠ 0. Každý U _i je homeomorfní k disjunktnímu spojení dvou otevřených jednotkových koulí na mapě R ⁿ thap do stejné podmnožiny RP ⁿ a funkce přechodu souřadnic jsou plynulé. To dává RP ⁿ s hladkou strukturu .

Struktura jako CW komplex

Skutečný projektivní prostor RP ⁿ připouští strukturu CW komplexu s 1 buňkou v každé dimenzi.

V homogenních souřadnicích ( x ₁ ... x _{n +1} ) na S ⁿ sousední souřadnice U ₁ = {( x ₁ ... x _{n +1} ) | x ₁ ≠ 0} lze identifikovat s vnitřkem n -disku D ⁿ . Když x _i = 0, má jeden RP ^{n −1} . Proto kostra n −1 RP ⁿ je RP ^{n −1} a připojovací mapa f  : S ^{n −1} → RP ^{n −1} je krycí mapa 2 na 1. Jeden může dát

${\ Displaystyle \ mathbf {RP} ^{n} = \ mathbf {RP} ^{n-1} \ cup _ {f} D ^{n}.}$

Indukce ukazuje, že RP ⁿ je CW komplex s 1 buňkou v každé dimenzi až do n .

Buňky jsou Schubertovy buňky , jako na varietním potrubí . To znamená, vezměte úplný příznak (řekněme standardní příznak) 0 = V ₀ < V ₁ <... < V _n ; pak uzavřená k -buňka jsou čáry, které leží ve V _k . Také otevřená k -buňka (vnitřek k -buňky) je čáry ve V _k  \  V _{k −1} (čáry ve V _k, ale ne V _{k −1} ).

V homogenních souřadnicích (vzhledem k vlajce) jsou buňky

${\ Displaystyle {\ begin {array} {c} [*: 0: 0: \ dots: 0] \\ {[}*:*: 0: \ dots: 0] \\\ vdots \\ {[}* :*:*: \ tečky:*]. \ end {array}}}$

Toto není běžná struktura CW, protože připojené mapy jsou 2 na 1. Jeho krytem je však pravidelná struktura CW na kouli, se 2 buňkami v každé dimenzi; ve skutečnosti minimální pravidelná struktura CW na kouli.

Ve světle hladké struktury by existence Morseovy funkce ukázala, že RP ⁿ je CW komplex. Jedna taková funkce je dána, v homogenních souřadnicích,

${\ Displaystyle g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n+1}) = \ sum _ {i = 1}^{n+1} i \ cdot | x_ {i} |^{2}.}$

Na každém sousedství U _i , g má nedegenerovaný kritický bod (0, ..., 1, ..., 0), kde 1 se vyskytuje v i -té poloze s Morseovým indexem i . To ukazuje, že RP ⁿ je CW komplex s 1 buňkou v každé dimenzi.

Tautologické svazky

Skutečný projektivní prostor má nad sebou svazek přirozené linie , nazývaný tautologický svazek . Přesněji se tomu říká tautologický subbundle a existuje také duální n -dimenzionální balíček nazývaný tautologický kvocient svazku.

Algebraická topologie skutečných projektivních prostorů

Homotopy skupiny

Vyšší homotopické skupiny RP ⁿ jsou přesně vyšší homotopické skupiny S ⁿ prostřednictvím dlouhé přesné sekvence na homotopii spojené s fibrací .

Balíček vláken je výslovně:

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {2} \ to S ^{n} \ to \ mathbf {RP} ^{n}.}$

Můžete to také napsat jako

${\ Displaystyle S^{0} \ to S^{n} \ to \ mathbf {RP}^{n}}$

nebo

${\ Displaystyle O (1) \ to S ^{n} \ to \ mathbf {RP} ^{n}}$

analogicky s komplexním projektivním prostorem .

Skupiny homotopy jsou:

${\ Displaystyle \ pi _ {i} (\ mathbf {RP} ^{n}) = {\ begin {cases} 0 & i = 0 \\\ mathbf {Z} & i = 1, n = 1 \\\ mathbf {Z } /2 \ mathbf {Z} & i = 1, n> 1 \\\ pi _ {i} (S^{n}) & i> 1, n> 0. \ end {případy}}}$

Homologie

Komplex buněčného řetězce spojený s výše uvedenou strukturou CW má 1 buňku v každé dimenzi 0, ..., n . Pro každou dimenzionální k jsou hraniční mapy d _k  : δ D ^k → RP ^{k −1} / RP ^{k −2} je mapa, která zhroutí rovník na S ^{k −1} a poté identifikuje protipodální body. V lichých (resp. Sudých) rozměrech má tento stupeň 0 (resp. 2):

${\ Displaystyle \ deg (d_ {k}) = 1+(-1)^{k}.}$

Integrální homologie tedy je

${\ Displaystyle H_ {i} (\ mathbf {RP} ^{n}) = {\ begin {cases} \ mathbf {Z} & i = 0 {\ text {or}} i = n {\ text {odd,} } \\\ mathbf {Z} /2 \ mathbf {Z} & 0 <i <n, \ i \ {\ text {odd,}} \\ 0 & {\ text {else.}} \ end {cases}}}$

RP ⁿ je orientovatelný, pokud n je lichý, jak ukazuje výše uvedený výpočet homologie.

Nekonečný skutečný projektivní prostor

Nekonečný skutečný projektivní prostor je konstruován jako přímá hranice nebo spojení konečných projektivních prostorů:

${\ Displaystyle \ mathbf {RP} ^{\ infty}: = \ lim _ {n} \ mathbf {RP} ^{n}.}$

Tento prostor klasifikuje prostor O (1) , první ortogonální skupiny .

Dvojitým krytem tohoto prostoru je nekonečná koule , která je stahovatelná. Nekonečný projektivní prostor je tedy Eilenberg – MacLane prostor K ( Z ₂ , 1). ${\ displaystyle S^{\ infty}}$

Pro každé nezáporné celé číslo q je homologická skupina modulo 2 . ${\ Displaystyle H_ {q} (\ mathbf {RP} ^{\ infty}; \ mathbf {Z} /2) = \ mathbf {Z} /2}$

Jeho cohomologický prsten modulo 2 je

${\ Displaystyle H ^{*} (\ mathbf {RP} ^{\ infty}; \ mathbf {Z} /2 \ mathbf {Z}) = \ mathbf {Z} /2 \ mathbf {Z} [w_ {1 }],}$

kde je první třída Stiefel – Whitney : je to volná -algebra , která má stupeň 1. ${\ displaystyle w_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} /2 \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle w_ {1}}$

Viz také

• Složitý projektivní prostor
• Kvartérní projektivní prostor
• Prostor objektivu
• Skutečná projektivní rovina

Poznámky

Reference

• Bredon, Glen . Topologie a geometrie , texty absolventů z matematiky, Springer Verlag 1993, 1996
• Davisi, Donalde. „Tabulka ponoření a vložení skutečných projektivních prostorů“ . Citováno 22. září 2011 .
• Hatcher, Allen (2001). Algebraická topologie . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79160-1.