Přímý limit - Direct limit

V matematice je přímý limit způsob, jak postavit (obvykle velký) objekt z mnoha (obvykle menších) objektů, které jsou spojeny konkrétním způsobem. Těmito objekty mohou být skupiny , prsteny , vektorové prostory nebo obecně objekty z jakékoli kategorie . Způsob jejich sestavování je specifikován systémem homomorfismů (skupinový homomorfismus, kruhový homomorfismus nebo obecně morfismy v kategorii) mezi těmito menšími objekty. Přímý limit objektů , kde se pohybuje přes nějakou směrovanou množinu , je označen . (Jedná se o mírné zneužití notace, protože potlačuje systém homomorfismů, který je pro strukturu limitu zásadní.) ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ varinjlim A_ {i}}$

Přímé limity jsou zvláštním případem konceptu kolimitu v teorii kategorií . Přímé limity jsou duální a inverzní limity, což je také speciální případ limitů v teorii kategorií.

Formální definice

Nejprve uvedeme definici algebraických struktur, jako jsou skupiny a moduly , a poté obecnou definici, kterou lze použít v jakékoli kategorii .

Přímé limity algebraických objektů

V této části se rozumí objekty, které sestávají z podkladových množin s danou algebraickou strukturou , jako jsou skupiny , prsteny , moduly (přes pevný kruh), algebry (přes pevné pole) atd. S ohledem na to jsou homomorfismy chápány v odpovídající nastavení ( skupinové homomorfismy atd.).

Nechť je řízená sada . Nechť se rodina objektů indexovaných pomocí a být homomorphism pro všechny, s následujícími vlastnostmi: ${\ displaystyle \ langle I, \ leq \ rangle}$${\ displaystyle \ {A_ {i}: i \ v I \}}$${\ displaystyle I \,}$${\ displaystyle f_ {ij} \ dvojtečka A_ {i} \ pravá šipka A_ {j}}$${\ Displaystyle i \ leq j}$

1. ${\ displaystyle f_ {ii} \,}$je totožnost a${\ displaystyle A_ {i} \,}$
2. ${\ displaystyle f_ {ik} = f_ {jk} \ circ f_ {ij}}$pro všechny .${\ Displaystyle i \ leq j \ leq k}$

Pak se dvojici říká přímý systém . ${\ displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ displaystyle I}$

Přesné omezení přímého systému je označen , a je definován následujícím způsobem. Jeho základní set je disjunktní sjednocení z tých modulo určitý vztah rovnocennosti : ${\ displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ displaystyle \ varinjlim A_ {i}}$${\ displaystyle A_ {i} \,}$ ${\ displaystyle \ sim \,}$

${\ displaystyle \ varinjlim A_ {i} = \ bigsqcup _ {i} A_ {i} {\ bigg /} \ sim.}$

Zde, pokud a , pak právě tehdy, když existuje určitá s a a takové, že . Heuristicky jsou dva prvky v disjunktní unii ekvivalentní tehdy a jen tehdy, pokud se „v přímém systému nakonec stanou rovnocennými“. Ekvivalentní formulace, která zdůrazňuje dualitu k inverzní hranici, je, že prvek je ekvivalentní všem jeho obrazům pod mapami přímého systému, tj. Kdykoli . ${\ displaystyle x_ {i} \ v A_ {i}}$${\ displaystyle x_ {j} \ v A_ {j}}$${\ displaystyle x_ {i} \ sim \, x_ {j}}$ ${\ displaystyle k \ v I}$${\ Displaystyle i \ leq k}$${\ displaystyle j \ leq k}$${\ displaystyle f_ {ik} (x_ {i}) = f_ {jk} (x_ {j}) \,}$${\ displaystyle x_ {i} \ sim \, f_ {ij} (x_ {i})}$${\ Displaystyle i \ leq j}$

Jeden z této definice přirozeně získá kanonické funkce odesílající každý prvek do jeho třídy ekvivalence. Algebraické operace jsou definovány tak, že se z těchto map stávají homomorfismy. Formální přímou hranici přímého systému tvoří objekt spolu s kanonickými homomorfismy . ${\ displaystyle \ phi _ {i} \ dvojtečka A_ {i} \ rightarrow \ varinjlim A_ {i}}$${\ displaystyle \ varinjlim A_ {i} \,}$${\ displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ displaystyle \ varinjlim A_ {i}}$${\ displaystyle \ phi _ {i} \ dvojtečka A_ {i} \ rightarrow \ varinjlim A_ {i}}$

Přímé limity v libovolné kategorii

Přímý limit lze definovat v libovolné kategorii pomocí univerzální vlastnosti . Dovolit být přímý systém objektů a morfismů v (jak je definováno výše). Cíl je dvojice , kde je objekt v a jsou morphisms pro každý tak, že vždy, když . Přímý limit přímého systému je univerzálně odpuzující cíl v tom smyslu, že je cílem, a pro každý cíl existuje jedinečný morfismus , který pro každý i . Následující diagram ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ langle X_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ langle X, \ phi _ {i} \ rangle}$${\ displaystyle X \,}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ phi _ {i} \ dvojtečka X_ {i} \ pravá šipka X}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle \ phi _ {i} = \ phi _ {j} \ circ f_ {ij}}$${\ Displaystyle i \ leq j}$${\ displaystyle \ langle X_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle X, \ phi _ {i} \ rangle}$${\ displaystyle \ langle X, \ phi _ {i} \ rangle}$${\ displaystyle \ langle Y, \ psi _ {i} \ rangle}$${\ displaystyle u \ tlustého střeva X \ pravá šipka Y}$${\ displaystyle u \ circ \ phi _ {i} = \ psi _ {i}}$

poté dojíždí za všechny i , j .

Přímý limit je často označován

${\ displaystyle X = \ varinjlim X_ {i}}$

s pochopením přímého systému a kanonických morfismů . ${\ displaystyle \ langle X_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ displaystyle \ phi _ {i}}$

Na rozdíl od algebraických objektů nemá každý přímý systém v libovolné kategorii přímý limit. Pokud ano, přímá hranice je v silném smyslu jedinečná: vzhledem k další přímé hranici X ′ existuje jedinečný izomorfismus X ′ → X, který dojíždí s kanonickými morfismy.

Příklady

• Kolekce podmnožin sady lze částečně objednat zahrnutím. Pokud je kolekce nasměrována, je jejím přímým limitem sjednocení . Totéž platí pro cílenou sbírku podskupin dané skupiny nebo cílenou sbírku podřetězců daného kruhu atd.${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ bigcup M_ {i}}$
• Dovolit je libovolná řízená množina s největším prvkem . Přímá hranice jakéhokoli odpovídajícího přímého systému je izomorfní a kanonický morfismus je izomorfismus.${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle X_ {m}}$${\ displaystyle \ phi _ {m}: X_ {m} \ rightarrow X}$
• Nechť K je pole. Pro kladné celé číslo n , zvažte obecného lineárního skupinu GL ( n, k ), jejichž součástí jsou invertible n x n - matic s položkami z K . Máme skupinový homomorfismus GL ( n; K ) → GL ( n +1; K ), který zvětšuje matice vložením 1 v pravém dolním rohu a nulami v posledním řádku a sloupci. Přímým limitem tohoto systému je obecná lineární skupina K , psaná jako GL ( K ). Prvek GL ( K ) lze považovat za nekonečnou invertibilní matici, která se liší od nekonečné matice identity pouze v konečně mnoha položkách. Skupina GL ( K ) má zásadní význam v algebraické K-teorii .
• Nechť p je prvočíslo . Uvažujme přímý systém složený ze skupin faktorů a homomorfismů vyvolaných násobením . Přímý limit tohoto systému se skládá ze všech kořenů jednoty řádu nějaké síly a nazývá se Prüferova skupina .${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Z} / p ^ {n + 1} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$
• Existuje (není zřejmý) injektážní kruhový homomorfismus od kruhu symetrických polynomů v proměnných po kruh symetrických polynomů v proměnných. Tvořením přímé meze tohoto přímého systému se získá kruh symetrických funkcí.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n + 1}$
• Nechť F být C cenil svazek na prostoru topological X. . Oprava bod X v X . Otevřená sousedství x tvoří řízenou množinu seřazenou podle zahrnutí ( U ≤ V právě a jen tehdy, když U obsahuje V ). Odpovídající přímý systém je ( F ( U ), r _{U , V} ), kde r je mapa omezení. Přímá hranice tohoto systému se nazývá stonek z F na x , označený F _x . Pro každou okolí U z x , kanonický morfismus F ( U ) → F _x přidružených část je z F přes U prvku s _x páčky F _x zvané zárodek z s u x .
• Přímé limity v kategorii topologických prostorů jsou dány umístěním konečné topologie na podkladový set-teoretický přímý limit.
• Ind-schéma je indukční limit schémat.

Vlastnosti

Přímé limity jsou spojeny s inverzními limity prostřednictvím

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (\ varinjlim X_ {i}, Y) = \ varprojlim \ mathrm {Hom} (X_ {i}, Y).}$

Důležitou vlastností je, že přijetí přímých limitů v kategorii modulů je přesný funktor . To znamená, že pokud začnete s řízeným systémem krátkých přesných sekvencí a vytvoříte přímé limity, získáte krátkou přesnou sekvenci . ${\ displaystyle 0 \ až A_ {i} \ až B_ {i} \ až C_ {i} \ až 0}$${\ displaystyle 0 \ to \ varinjlim A_ {i} \ to \ varinjlim B_ {i} \ to \ varinjlim C_ {i} \ to 0}$

Související konstrukce a zobecnění

Poznamenáváme, že přímý systém v kategorii připouští alternativní popis z hlediska funktorů . Jakoukoli směrovanou množinu lze považovat za malou kategorii, jejíž objekty jsou prvky a existuje morfismus právě tehdy . Přímý systém je potom stejný jako kovariantní funktor . Colimit tohoto funktoru je stejný jako přímé hranice původního přímého systému. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ langle I, \ leq \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle i \ rightarrow j}$ ${\ Displaystyle i \ leq j}$${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} \ rightarrow {\ mathcal {C}}}$

Pojem úzce související s přímými limity jsou filtrované kolimity . Zde začneme s kovariantním funktorem z filtrované kategorie do některé kategorie a vytvoříme kolimit tohoto funktoru. Lze ukázat, že kategorie má všechny směrované limity právě tehdy, pokud má všechny filtrované kolimity a funktor definovaný v takové kategorii dojíždí se všemi přímými limity právě tehdy, když dojíždí se všemi filtrovanými kolimity. ${\ displaystyle {\ mathcal {J}} \ do {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Vzhledem k libovolné kategorii mohou existovat přímé systémy, ve kterých není přímé omezení (zvažte například kategorii konečných množin nebo kategorii konečně generovaných abelianských skupin). V tomto případě můžeme vždy vložit do kategorie, ve které existují všechny přímé limity; objekty jsou nazývány ind-objekty of . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ text {Ind}} ({\ mathcal {C}})}$${\ displaystyle {\ text {Ind}} ({\ mathcal {C}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Kategorické dual přímého limitu se nazývá inverzní mez . Jak je uvedeno výše, na inverzní limity lze pohlížet jako na limity určitých funktorů a úzce souvisí s limity přes filtrované kategorie.

Terminologie

V literatuře najdeme pojmy „směrovaná mez“, „přímá indukční mez“, „směrovaná kolimita“, „přímá kolimita“ a „indukční mez“ pro výše definovaný pojem přímá mez. Termín „indukční limit“ je však nejednoznačný, protože jej někteří autoři používají pro obecný koncept kolimitu.

Viz také

• Přímé limity skupin

Poznámky

Reference

• Bourbaki, Nicolas (1968), Základy matematiky. Theory of sets , Přeloženo z francouzštiny, Paříž: Hermann, MR  0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie pro pracujícího matematika , Maturitní texty z matematiky , 5 (2. vydání), Springer-Verlag