Opravená Gaussova distribuce - Rectified Gaussian distribution

V teorii pravděpodobnosti je usměrněné Gaussovo rozdělení modifikací Gaussova rozdělení, když jsou jeho negativní prvky resetovány na 0 (analogicky k elektronickému usměrňovači ). Je to v podstatě směs diskrétního rozdělení (konstanta 0) a spojitého rozdělení ( zkrácené Gaussovo rozdělení s intervalem ) v důsledku cenzury . ${\ displaystyle (0, \ infty)}$

Funkce hustoty

Funkce hustoty pravděpodobnosti z usměrněného rozdělení Gaussova, pro které náhodné veličiny X má tato distribuce, odvozený od normálního rozdělení jsou zobrazeny jako , je dán ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^{2}),}$${\ Displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} ^{\ textrm {R}} (\ mu, \ sigma ^{2})}$

${\ Displaystyle f (x; \ mu, \ sigma ^{2}) = \ Phi (-{\ frac {\ mu} {\ sigma}}) \ delta (x)+{\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^{2}}}} \; e ^{-{\ frac {(x- \ mu) ^{2}} {2 \ sigma ^{2}}}} {\ textrm {U }}(X).}$

Porovnání Gaussova rozdělení, napraveného Gaussova rozdělení a zkráceného Gaussova rozdělení.

Zde je funkce kumulativní distribuce (cdf) standardní normální distribuce : ${\ displaystyle \ Phi (x)}$

${\ Displaystyle \ Phi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{x} e^{-t^{2}/2} \ , dt \ quad x \ in \ mathbb {R},}$

${\ displaystyle \ delta (x)}$je funkce Dirac delta

${\ Displaystyle \ delta (x) = {\ begin {cases}+\ infty, & x = 0 \\ 0, & x \ neq 0 \ end {cases}}}$

a je funkce krokování jednotky : ${\ displaystyle {\ textrm {U}} (x)}$

${\ displaystyle {\ textrm {U}} (x) = {\ begin {cases} 0, & x \ leq 0, \\ 1, & x> 0. \ end {cases}}}$

Průměr a rozptyl

Vzhledem k tomu, že nerektifikované normální rozdělení má průměr a protože při jeho transformaci na rektifikované rozdělení byla určitá hmotnost pravděpodobnosti posunuta na vyšší hodnotu (ze záporných hodnot na 0), je průměr rektifikovaného rozdělení větší než${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mu.}$

Vzhledem k tomu, že rektifikované rozdělení je tvořeno posunutím části pravděpodobnostní hmoty směrem ke zbytku pravděpodobnostní hmotnosti, je rektifikace kontrakcí zachovávající průměr kombinovanou s průměrně měnícím se tuhým posunem distribuce, a tím je rozptyl snížen; proto je rozptyl usměrněného rozdělení menší než${\ Displaystyle \ sigma ^{2}.}$

Generování hodnot

Ke generování hodnot výpočetně lze použít

${\ Displaystyle s \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^{2}), \ quad x = {\ textrm {max}} (0, s),}$

a pak

${\ Displaystyle x \ sim {\ mathcal {N}} ^{\ textrm {R}} (\ mu, \ sigma ^{2}).}$

aplikace

Upravená Gaussova distribuce je semi-konjugovaná s Gaussovou pravděpodobností a nedávno byla aplikována na faktorovou analýzu , nebo zejména (nezápornou) rektifikovanou faktorovou analýzu. Harva navrhl algoritmus variačního učení pro model rektifikovaného faktoru, kde faktory sledují směs napraveného Gaussova; a později Meng navrhl model nekonečného rektifikovaného faktoru spojený s jeho řešením pro odběr vzorků Gibbs, kde faktory sledují směs Dirichletova procesu rektifikované gaussovské distribuce, a aplikoval jej ve výpočetní biologii pro rekonstrukci genových regulačních sítí .

Rozšíření na obecné meze

Palmer a kol. Navrhli rozšíření rektifikované Gaussovy distribuce, což umožňuje rektifikaci mezi libovolnou dolní a horní hranicí. Pro dolní a horní meze a respektive CDF, je dán vztahem: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle F_ {R} (x | \ mu, \ sigma ^{2})}$

${\ Displaystyle F_ {R} (x | \ mu, \ sigma ^{2}) = {\ begin {cases} 0, & x <a, \\\ Phi (x | \ mu, \ sigma ^{2}) , & a \ leq x <b, \\ 1, & x \ geq b, \\\ end {cases}}}$

kde je cdf normální distribuce s průměrem a rozptylem . Průměr a rozptyl usměrněného rozdělení se vypočítá nejprve transformací omezení, která mají působit na standardní normální rozdělení: ${\ Displaystyle \ Phi (x | \ mu, \ sigma ^{2})}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ sigma ^{2}}$

${\ Displaystyle c = {\ frac {a- \ mu} {\ sigma}}, \ qquad d = {\ frac {b- \ mu} {\ sigma}}.}$

Využitím transformovaných omezení, jejichž střední hodnoty a rozptylu, a respektive, se pak vypočte podle vzorce: ${\ displaystyle \ mu _ {R}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {R}^{2}}$

${\ Displaystyle \ mu _ {t} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ left (e^{\ left (-{\ frac {c^{2}} {2}} \ right)}-e^{\ left (-{\ frac {d^{2}} {2}} \ right)} \ right)+{\ frac {c} {2}} \ left (1+ { \ textrm {erf}} \ left ({\ frac {c} {\ sqrt {2}}} \ right) \ right)+{\ frac {d} {2}} \ left (1-{\ textrm {erf }} \ left ({\ frac {d} {\ sqrt {2}}} \ right) \ right),}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ sigma _ {t}^{2} & = {\ frac {\ mu _ {t}^{2} +1} {2}} \ left ({\ textrm {erf }} \ left ({\ frac {d} {\ sqrt {2}}} \ right)-{\ textrm {erf}} \ left ({\ frac {c} {\ sqrt {2}}} \ right) \ right)-{\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ left (\ left (d-2 \ mu _ {t} \ right) e^{\ left (-{\ frac {d ^{2}} {2}} \ right)}-\ left (c-2 \ mu _ {t} \ right) e^{\ left (-{\ frac {c^{2}} {2}} \ right)} \ right) \\ &+{\ frac {\ left (c- \ mu _ {t} \ right)^{2}} {2}} \ left (1+{\ textrm {erf}} \ left ({\ frac {c} {\ sqrt {2}}} \ right) \ right)+{\ frac {\ left (d- \ mu _ {t} \ right)^{2}} {2} } \ left (1-{\ textrm {erf}} \ left ({\ frac {d} {\ sqrt {2}}} \ right) \ right), \ end {aligned}}}$

${\ Displaystyle \ mu _ {R} = \ mu +\ sigma \ mu _ {t},}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {R}^{2} = \ sigma^{2} \ sigma _ {t}^{2},}$

kde erf je chybová funkce . Tuto distribuci použili Palmer et al. pro modelování úrovní fyzických zdrojů, jako je množství kapaliny v nádobě, které je ohraničeno jak 0, tak kapacitou nádoby.

Viz také

• Skládaná normální distribuce
• Poloviční normální distribuce
• Napůl t distribuce
• Upravené napůl normální rozdělení
• Zkrácená normální distribuce

Reference