Reflexní vztah - Reflexive relation

Přechodné binární vztahy

	Symetrický	Antisymetrické	Připojeno	Fundovaný	Má spojení	Má setkání	Reflexní	Ireflexivní	Asymetrický
Také známý jako:			Celkem, Semiconnex					Antireflexní
Vztah ekvivalence	✓	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Předobjednávka (Quasiorder)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Dílčí objednávka	✗	✓	✗	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Celková předobjednávka	✗	✗	✓	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Celková objednávka	✗	✓	✓	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Předvánoční objednávka	✗	✗	✓	✓	✗	✗	✓	✗	✗
Dobře kvazi-uspořádání	✗	✗	✗	✓	✗	✗	✓	✗	✗
Dobře objednané	✗	✓	✓	✓	✗	✗	✓	✗	✗
Mříž	✗	✓	✗	✗	✓	✓	✓	✗	✗
Připojte se-semilattice	✗	✓	✗	✗	✓	✗	✓	✗	✗
Seznamte se s semilattice	✗	✓	✗	✗	✗	✓	✓	✗	✗


Přísná částečná objednávka	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✓
Přísně slabý řád	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✓	✓
Přísná celková objednávka	✗	✗	✓	✗	✗	✗	✗	✓	✓
	Symetrický	Antisymetrické	Připojeno	Fundovaný	Má spojení	Má setkání	Reflexní	Ireflexivní	Asymetrický
Definice: ${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {For all}} \, a, b \, {\ text {and}} \, S \ neq \ varnothing:}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow bRa}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \, {\ text {and}} \, bRa \ Rightarrow a = b}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ neq b \ Rightarrow aRb \, {\ text {or}} \, bRa}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {\ min S \, {\ text {existuje}}}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ vee b \, {\ text {existuje}}}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {a \ wedge b \, {\ text {existuje}}}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {aRa}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {not}} \, aRa}}$	${\ displaystyle \ scriptstyle {aRb \ Rightarrow {\ text {not}} \, bRa}}$

Všechny definice mlčky vyžadují homogenní vztah být tranzitivní : A „ ✓ “ znamená, že vlastnost sloupec je nutné v definici řádku. Například definice vztahu ekvivalence vyžaduje, aby byl symetrický. Uvedeny zde jsou další vlastnosti, které homogenní vztah může uspokojit.

{\ displaystyle R}

{\ displaystyle \ scriptstyle {{\ text {For all}} \, a, b, c, {\ text {if}} aRb {\ text {and}} bRc {\ text {then}} aRc}.}

V matematiky , je homogenní binární relace R na nastavené X je reflexivní případě, že se pro každý prvek X k sobě.

Příkladem reflexivního vztahu je vztah „ rovná se “ na množině reálných čísel , protože každé reálné číslo je sobě rovné. Reflexivní vztah se říká, že mají reflexivní vlastnost nebo se říká, že mají reflexivity . Spolu se symetrií a tranzitivitou je reflexivita jednou ze tří vlastností definujících vztahy ekvivalence .

Definice

Pojďme být binární relací na množině , která je podle definice jen podmnožinou For any notation means that while "not " means that ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X \ times X.}$ ${\ displaystyle x, y \ v X,}$ ${\ displaystyle xRy}$ ${\ Displaystyle (x, y) \ v R}$ ${\ displaystyle xRy}$ ${\ Displaystyle (x, y) \ not \ in R.}$

Vztah se nazývá reflexivní , jestliže pro každou nebo ekvivalentně, v případě, kde se označuje vztah identity na The reflexivní uzavření části je spojení , které může být ekvivalentně definována jako nejmenší (vzhledem k ) reflexivní relace na který je podmnožinou z relace je reflexivní právě tehdy, pokud se rovná jeho reflexnímu uzavření. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle xRx}$ ${\ displaystyle x \ v X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {I} _ {X} \ subseteq R}$ ${\ displaystyle \ operatorname {I} _ {X}: = \ {(x, x) ~: ~ x \ in X \}}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R \ cup \ operatorname {I} _ {X},}$ ${\ displaystyle \, \ subseteq}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle R.}$ ${\ displaystyle R}$

Reflexivní snížení nebo ireflexivní jádro z je nejmenší (vzhledem k ), vztah k , který má stejný reflexivní uzávěr, jak je rovna The ireflexivní jádra plechovky, v určitém smyslu, být viděn jako konstrukce, která je „opak“ reflexivní uzavření Například reflexní uzavření kanonické striktní nerovnosti na reálných plochách je obvyklou nestresovou nerovností, zatímco reflexivní redukce je ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \, \ subseteq}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle R.}$ ${\ Displaystyle R \ setminus \ operatorname {I} _ {X} = \ {(x, y) \ in R ~: ~ x \ neq y \}.}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R.}$ ${\ displaystyle \, <\,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \, \ leq \,}$ ${\ displaystyle \, \ leq \,}$ ${\ displaystyle \, <.}$

Související definice

Existuje několik definic souvisejících s reflexivní vlastností. Vztah se nazývá: ${\ displaystyle R}$

Ireflexivní ,Antireflexní neboAlrelativní: Pokud k sobě nevztahuje žádný prvek; to znamená, pokud ne pro každý vztah A je nereflexivní právě tehdy, když je jeho doplněk v reflexivní. Asymetrický vztah je nutně ireflexivní. Přechodný a nereflexivní vztah je nutně asymetrický. ${\ displaystyle xRx}$ ${\ displaystyle x \ v X.}$ ${\ displaystyle X \ times X}$

Vlevo kvazireflexivní: Pokud jsou kdykoli takové, pak nutně ${\ displaystyle x, y \ v X}$ ${\ displaystyle xRy,}$ ${\ Displaystyle xRx.}$

Správně kvazireflexivní: Pokud jsou kdykoli takové, pak nutně ${\ displaystyle x, y \ v X}$ ${\ displaystyle xRy,}$ ${\ displaystyle yRy.}$

Kvazi reflexní: Pokud každý prvek, který souvisí s nějakým prvkem, souvisí také sám se sebou. Explicitně to znamená, že kdykoli jsou takové, že potom nutně a ekvivalentně, je binární vztah kvazireflexivní právě tehdy, když je jak levý kvazireflexivní, tak pravý kvazireflexivní. Vztah je kvazireflexivní tehdy a jen tehdy, je-li jeho symetrický uzávěr levý (nebo pravý) kvazireflexivní. ${\ displaystyle x, y \ v X}$ ${\ displaystyle xRy,}$ ${\ displaystyle xRx}$ ${\ displaystyle yRy.}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R \ cup R^{\ operatorname {T}}}$

Antisymetrické: Pokud jsou kdykoli takové, pak nutně ${\ displaystyle x, y \ v X}$ ${\ displaystyle xRy {\ text {a}} yRx,}$ ${\ Displaystyle x = y.}$

Coreflexive: Kdykoli jsou takové, že pak nutně je relace coreflexivní právě tehdy, pokud je její symetrické uzavření antisymetrické . ${\ displaystyle x, y \ v X}$ ${\ displaystyle xRy,}$ ${\ Displaystyle x = y.}$ ${\ displaystyle R}$

Reflexivní vztah na neprázdné množině nemůže být ani nereflexivní, ani asymetrický ( nazývá se asymetrický, pokud implikuje ne ), ani antitranzitivní ( je antitranzitivní, pokud implicitní není ). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle xRy}$ ${\ displaystyle yRx}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle xRy {\ text {a}} yRz}$ ${\ displaystyle xRz}$

Příklady

Mezi příklady reflexních vztahů patří:

„se rovná“ ( rovnost )
„je podmnožinou “ (nastavení zahrnutí)
„dělí“ ( dělitelnost )
„je větší než nebo rovno“
„je menší než nebo rovno“

Mezi příklady nereflexivních vztahů patří:

„nerovná se“
„is coprime to“ (pro celá čísla, protože 1 je coprime sama pro sebe) ${\ displaystyle> 1,}$
„je správná podmnožina“
"je větší než"
"je méně než"

Příkladem nereflexivního vztahu, který znamená, že k sobě nevztahuje žádný prvek, je vztah „větší než“ ( ) na skutečných číslech . Ne každý vztah, který není reflexivní, je nereflexivní; je možné definovat vztahy, kde některé prvky souvisejí samy se sebou, ale jiné nikoli (to znamená, že nejsou všechny ani žádné). Například binární vztah „součin a je sudý“ je reflexivní na množině sudých čísel , nereflexivní na sadě lichých čísel a ani reflexivní ani nereflexivní na množině přirozených čísel . ${\ displaystyle x> y}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

Příklad kvazireflexivního vztahu je „má stejný limit jako“ na množině posloupností reálných čísel: ne každá posloupnost má limit, a tedy vztah není reflexivní, ale pokud má posloupnost stejný limit jako některé sekvence, pak má stejný limit jako sama. Příkladem levého kvazireflexivního vztahu je levý euklidovský vztah , který je vždy levý kvazireflexivní, ale ne nutně pravý kvazireflexivní, a tedy nemusí být nutně kvazireflexivní. ${\ displaystyle R}$

Příkladem korektivního vztahu je vztah k celým číslům, ve kterém každé liché číslo souvisí se sebou a neexistují žádné další vztahy. Vztah rovnosti je jediným příkladem reflexivního i koreflexivního vztahu a jakýkoli koreflexivní vztah je podmnožinou vztahu identity. Spojení korektivního vztahu a tranzitivního vztahu na stejné sadě je vždy tranzitivní.

Počet reflexních vztahů

Počet reflexních vztahů na množině prvků je ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle 2^{n^{2} -n}.}$

Počet binárních relací n -prvků různých typů
Elementy	Žádný	Tranzitivní	Reflexní	Předobjednávka	Dílčí objednávka	Celková předobjednávka	Celková objednávka	Vztah ekvivalence
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	1	1	1	1	1
2	16	13	4	4	3	3	2	2
3	512	171	64	29	19	13	6	5
4	65 536	3,994	4,096	355	219	75	24	15
n	2 ^{n ²}		2 ^{n ² - n}			${\ textstyle \ sum _ {k = 0}^{n} k!}$	n !	${\ textstyle \ sum _ {k = 0}^{n}}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Filozofická logika

Autoři ve filozofické logice často používají odlišnou terminologii. Reflexní vztahy v matematickém smyslu se ve filozofické logice nazývají zcela reflexivní a kvazireflexivní vztahy se nazývají reflexivní .

Poznámky

Reference

Levy, A. (1979) The Basic Set Theory , Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Přetištěno 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
Lidl, R. a Pilz, G. (1998). Aplikovaná abstraktní algebra , bakalářské texty z matematiky , Springer-Verlag. ISBN 0-387-98290-6
Quine, WV (1951). Matematická logika , přepracované vydání. Přetištěno 2003, Harvard University Press. ISBN 0-674-55451-5
Gunther Schmidt, 2010. Relační matematika . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7 .

externí odkazy

„Reflexivita“ , encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects