Riemann – Hilbertova korespondence - Riemann–Hilbert correspondence

V matematice se termín Riemann – Hilbertova korespondence vztahuje na korespondenci mezi pravidelnými singulárními plochými spoji na algebraických vektorových svazcích a reprezentacích základní skupiny a obecněji na jednu z několika zobecnění. Původní nastavení objevující se v Hilbertově dvacátém prvním problému bylo pro Riemannovu sféru, kde šlo o existenci systémů lineárních pravidelných diferenciálních rovnic s předepsanými reprezentacemi monodromy . Nejprve může být Riemannova koule nahrazena libovolným Riemannovým povrchem a poté ve vyšších dimenzích jsou Riemannovy povrchy nahrazeny složitými varietami dimenze> 1. Existuje shoda mezi určitými systémy parciálních diferenciálních rovnic (lineární a se speciálními vlastnostmi pro jejich řešení) a možné monodromie jejich řešení.

Takový výsledek prokázal pro algebraické souvislosti s pravidelnými singularitami Pierre Deligne (1970, zobecňující existující práci v případě Riemannův povrchů) a obecněji pro pravidelné holonomické D-moduly Masaki Kashiwara (1980, 1984) a Zoghman Mebkhout (1980, 1984) samostatně. V prostředí nonabelianské Hodgeovy teorie poskytuje Riemann-Hilbertova korespondence komplexní analytický izomorfismus mezi dvěma ze tří přirozených algebraických struktur na modulových prostorech, a proto je přirozeně vnímán jako neabelský analog srovnávacího isomorfismu mezi De Rhamovou kohomologií a singulárem / Betti cohomology.

Prohlášení

Předpokládejme, že X je plynulá komplexní algebraická odrůda.

Riemann – Hilbertova korespondence (pro pravidelná singulární spojení): existuje funktor Sol nazývaný funktor lokálních řešení, což je ekvivalent z kategorie plochých spojení na algebraických vektorových svazcích na X s pravidelnými singularitami do kategorie lokálních systémů konečných - rozměrný komplexní vektorové prostory na X . Pro X připojena, kategorie lokálních systémů je také ekvivalentní do kategorie komplexních reprezentacích základní skupiny z X . Taková spojení tedy dávají čistě algebraický způsob přístupu ke konečným dimenzionálním reprezentacím topologické základní skupiny.

Podmínkou pravidelných zvláštnostem prostředků, které lokálně konstantní části svazku (s ohledem na plošném spoji) mají mírný růst na místě Y - X , kde Y je algebraická kompaktní obal z X . Zejména když je X kompaktní, je podmínka pravidelných singularit prázdná.

Obecněji existuje

Riemann-Hilbertův korespondence (pravidelné holonomní D-modulů): je functor DR nazýván de Rham functor, že je ekvivalence z kategorie holonomní D modulů na X s pravidelnými singularit do kategorie nevhodných svazky na X .

Když vezmeme v úvahu neredukovatelné prvky každé kategorie, získáme to korespondenci 1: 1 mezi třídami izomorfismu

• neredukovatelné holonomické D-moduly na X s pravidelnými singularitami,

a

• průnikové komhomologické komplexy neredukovatelných uzavřených poddruhů X s koeficienty v neredukovatelných lokálních systémech .

D-modul je něco jako systém diferenciálních rovnic na X , a lokální systém na Subvariety je něco jako popisu možných monodromies, takže tato korespondence si lze představit jako popis některých systémů diferenciálních rovnic, pokud jde o monodromies jejich řešení.

V případě, že X má dimenzi jedna (složitá algebraická křivka), existuje obecnější Riemannova – Hilbertova korespondence pro algebraická spojení bez předpokladu pravidelnosti (nebo pro holonomické D-moduly bez předpokladu pravidelnosti) popsaná v Malgrange (1991), Riemann – Hilbert – Birkhoffova korespondence .

Příklady

Příklad, kde platí věta, je diferenciální rovnice

${\ displaystyle {\ frac {df} {dz}} = {\ frac {a} {z}} f}$

na propíchnutém afinním řádku A ¹  - {0} (tj. na nenulová komplexní čísla C - {0}). Zde je pevná komplexní číslo. Tato rovnice má pravidelné singularity na 0 a ∞ v projektivní přímce P ¹ . Místní řešení rovnice jsou pro konstanty c ve tvaru cz ^a . Pokud a není celé číslo, nelze funkci z ^a definovat dobře na všech C - {0}. To znamená, že rovnice má netriviální monodromy. Explicitně je monodromy této rovnice jednorozměrná reprezentace základní skupiny π ₁ ( A ¹  - {0}) =  Z, ve které generátor (smyčka kolem počátku) působí vynásobením e ^{2 π ia} .

Chcete-li vidět potřebu hypotézy pravidelných singularit, zvažte diferenciální rovnici

${\ displaystyle {\ frac {df} {dz}} = f}$

na afinní linii A ¹ (tj. na komplexních číslech C ). Tato rovnice odpovídá plochému spojení na triviálním algebraickém liniovém svazku nad A ¹ . Řešení rovnice má tvar ce ^z pro konstanty c . Jelikož tato řešení nemají polynomiální růst na některých sektorech kolem bodu ∞ v projektivní linii P ¹ , rovnice nemá pravidelné singularity na ∞. (To lze také vidět přepsáním rovnice, pokud jde o proměnnou w  : = 1 / z , kde se stane

${\ displaystyle {\ frac {df} {dw}} = - {\ frac {1} {w ^ {2}}} f.}$

Pól řádu 2 v koeficientech znamená, že rovnice podle Fuchsovy věty nemá pravidelné singularity na w = 0. )

Protože funkce ce ^z jsou definovány na celé afinní linii A ¹ , je monodromy tohoto plochého spojení triviální. Toto ploché spojení ale není izomorfní se zjevným plochým spojením na triviálním spojovacím svazku nad A ¹ (jako algebraický vektorový svazek s plochým spojením), protože jeho řešení nemají na ∞ mírný růst. To ukazuje potřebu omezit se na ploché spojení s pravidelnými singularitami v korespondenci Riemann – Hilbert. Na druhou stranu, pokud pracujeme s holomorfními (spíše než algebraickými) vektorovými svazky s plochým spojením na nekompaktním komplexním potrubí, jako je A ¹ = C , pak pojem pravidelných singularit není definován. Mnohem elementárnější věta než korespondence Riemann – Hilbert uvádí, že plochá spojení na holomorfních vektorových svazcích jsou určována až do izomorfismu jejich monodromy.

V charakteristickém p

U systémů v charakteristické p > 0, Bhatt a Lurie (2019) zřídit Riemann-Hilbertův korespondence, která tvrdí, zejména to, že Etale kohomologie z Etale kladek s Z / p -coefficients lze vypočítat, pokud jde o působení endomorfismů Frobeniova na Coherent kohomologie .

Viz také

• Riemann – Hilbertův problém

Reference

• Bhatt, Bhargav; Lurie, Jacob (2019), „Riemann-Hilbertova korespondence v pozitivní charakteristice“, Cambridge Journal of Mathematics , 7 (1–2): 71–217, arXiv : 1711.04148 , doi : 10,4310 / CJM.2019.v7.n1. a3 , MR  3922360 , S2CID  119147066
• Dimca, Alexandru, Snopy v topologii , s. 206–207 (Poskytuje explicitní vyjádření korespondence Riemann – Hilbert pro Milnorovo vlákno izolované singularity hyperplochy)
• Borel, Armand (1987), Algebraic D-Modules , Perspectives in Mathematics, 2 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-117740-9, MR  0882000
• Deligne, Pierre (1970), Équations différentielles à points singuliers réguliers , Lecture Notes in Mathematics, 163 , Springer-Verlag , ISBN 3540051902, MR  0417174 , OCLC  169357
• Kashiwara, Masaki (1980), „Faisceaux constructibles et systèmes holonômes d'équations aux dérivées partielles linéaires à points singuliers réguliers“, Séminaire Goulaouic-Schwartz, 1979–80, Exposé 19 , Palaiseau: École Polytechnique, MR  0600
• Kashiwara, Masaki (1984), „The Riemann-Hilbert problem for holonomic systems“ , Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences , 20 (2): 319–365, doi : 10,2977 / prims / 1195181610 , MR  0743382
• Malgrange, Bernard (1991), Équations différentielles à coefficients polynomiaux , Progress in Mathematics, 96 , Birkhäuser , ISBN 0-8176-3556-4, MR  1117227
• Mebkhout, Zoghman (1980), „Sur le problėme de Hilbert-Riemann“, Komplexní analýza, mikrolokální počet a relativistická kvantová teorie (Les Houches, 1979) , Lecture Notes in Physics, 126 , Springer-Verlag , str. 90–110, ISBN 3-540-09996-4, MR  0579742
• Mebkhout, Zoghman (1984), „Une autre équivalence de catégories“ , Compositio Mathematica , 51 (1): 63–88, MR  0734785