Sekvenční transformace - Sequence transformation

V matematiky , je transformace sekvence je operátor působí na daný prostor sekvencí (a sekvence prostor ). Sekvenční transformace zahrnují lineární mapování, jako je konvoluce s jinou sekvencí, a obnovení sekvence a obecněji se běžně používají pro sériové zrychlení , to znamená pro zlepšení rychlosti konvergence pomalu konvergentní sekvence nebo řady . Sekvenční transformace jsou také běžně používané pro výpočet antilimit o divergentní řady číselně, a jsou používány ve spojení s metodami extrapolace .

Přehled

Mezi klasické příklady sekvenčních transformací patří binomická transformace , Möbiova transformace , Stirlingova transformace a další.

Definice

Pro danou sekvenci

${\ displaystyle S = \ {s_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}, \,}$

transformované sekvence je

${\ displaystyle \ mathbf {T} (S) = S '= \ {s' _ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}, \,}$

kde členové transformované sekvence jsou obvykle počítáni z nějakého konečného počtu členů původní sekvence, tj

${\ displaystyle s_ {n} '= T (s_ {n}, s_ {n + 1}, \ dots, s_ {n + k})}$

pro některé, na kterých často záleží (srov. např. Binomická transformace ). V nejjednodušším případě a jsou reálné nebo komplexní čísla . Obecněji to mohou být prvky nějakého vektorového prostoru nebo algebry . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle s_ {n}}$${\ displaystyle s '_ {n}}$

V kontextu zrychlení konvergence se říká, že transformovaná sekvence konverguje rychleji než původní sekvence, pokud

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {s '_ {n} - \ ell} {s_ {n} - \ ell}} = 0}$

kde je hranice o , předpokládá se, že konvergentní. V tomto případě se získá zrychlení konvergence . Pokud je původní sekvence divergentní , transformace sekvence funguje jako metoda extrapolace k antilimitu . ${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ ell}$

V případě, že mapování je lineární v každém ze svých argumentů, tj, pro ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle s '_ {n} = \ součet _ {m = 0} ^ {k} c_ {m} s_ {n + m}}$

pro některé konstanty (které mohou záviset na n ) se transformace sekvence nazývá lineární transformace sekvence . Sekvenční transformace, které nejsou lineární, se nazývají nelineární sekvenční transformace. ${\ displaystyle c_ {0}, \ tečky, c_ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

Příklady

Nejjednodušší příklady (lineárních) sekvenčních transformací zahrnují posunutí všech prvků (resp. = 0, pokud n  +  k  <0) pro pevné k a skalární násobení sekvence. ${\ displaystyle s '_ {n} = s_ {n + k}}$

Méně triviálním příkladem by byla diskrétní konvoluce s pevnou posloupností. Obzvláště základní formou je operátor rozdílu , který je konvolucí se sekvencí a je diskrétním analogem derivace . Binomická transformace je další lineární transformace ještě obecnějšího typu. ${\ displaystyle (-1,1,0, \ ldots),}$

Příkladem nelineární transformace sekvence je Aitkenův delta-kvadratický proces , který se používá ke zlepšení rychlosti konvergence pomalu konvergentní sekvence. Rozšířenou formou je Shanksova transformace . Möbius transformace je také nelineární transformace, možné pouze pro celá čísla sekvence .

Viz také

• Aitkenův delta-kvadratický proces
• Minimální polynomiální extrapolace
• Richardsonova extrapolace
• Sériové zrychlení
• Steffensenova metoda

Reference

• Hugh J. Hamilton, „ Mertensova věta a sekvenční transformace “, AMS (1947)

externí odkazy

• Transformace celých sekvencí , podstránka on-line encyklopedie celočíselných sekvencí