Přadénkový vztah - Skein relation

Přadénkové vztahy jsou matematickým nástrojem používaným ke studiu uzlů . Ústřední otázkou v matematické teorii uzlů je, zda dva uzlové diagramy představují stejný uzel. Jedním ze způsobů, jak odpovědět na otázku, je použití uzlových polynomů , které jsou invarianty uzlu . Pokud mají dva diagramy různé polynomy , představují různé uzly. Obecně platí, že konverzace neplatí.

Přadénkové vztahy se často používají k jednoduché definici uzlových polynomů. Vztah přadena poskytuje lineární vztah mezi hodnotami uzlového polynomu na kolekci tří odkazů, které se od sebe liší pouze v malé oblasti. U některých uzlových polynomů, jako jsou polynomy Conway , Alexander a Jones , jsou pro výpočet rekurzivního polynomu dostatečné příslušné vztahy přadénka .

Definice

Vztah přadena vyžaduje tři spojovací diagramy, které jsou identické, kromě jednoho křížení. Tyto tři diagramy musí vykazovat tři možnosti, které by mohly nastat pro dva úsečky na tomto křížení, jedna z čar by mohla projít pod, stejná čára by mohla být překročena nebo by se tyto dvě čáry neměly křížit vůbec. Je třeba vzít v úvahu linkové diagramy, protože jedna změna přadénku může změnit diagram z reprezentace uzlu na jeden představující odkaz a naopak. V závislosti na daném uzlu polynomu mohou být odkazy (nebo spletence), které se objevují ve vztahu přadena, orientované nebo neorientované.

Tři diagramy jsou označeny následovně. Otočte diagram tří spojů tak, aby oba směry na křižovatce byly zhruba na sever. Jeden diagram bude mít severozápad nad severovýchodem, je označen L _- . Další bude mít severovýchod nad severozápadem, je to L ₊ . Zbývajícímu diagramu chybí tento přechod a je označen L ₀ .

(Označení je nezávislé na směru, pokud zůstává stejné, pokud jsou všechny směry obráceny. Polynomy na neorientovaných uzlech jsou tedy touto metodou jednoznačně definovány. Pokyny na spojích jsou však důležitým detailem, který je třeba zachovat, protože se polynomiální výpočet opakuje. .)

Je také rozumné uvažovat v generativním smyslu tím, že vezmeme existující odkazový diagram a "opravíme" jej, abychom vytvořili další dva - jen pokud jsou opravy aplikovány kompatibilními směry.

Pro rekurzivní definování uzlového (linkového) polynomu je funkce F pevná a pro jakoukoli trojici diagramů a jejich polynomů je označeno výše,

${\ displaystyle F {\ Big (} L _ {-}, L_ {0}, L _ {+} {\ Big)} = 0}$

nebo pedantněji

${\ displaystyle F {\ Big (} L _ {-} (x), L_ {0} (x), L _ {+} (x), x {\ Big)} = 0}$ pro všechny ${\ displaystyle x}$

(Nalezení F, které produkuje polynomy nezávislé na sekvencích křížení použitých při rekurzi, není triviální cvičení.)

Více formálně, přadeno vztah může být myšlenka jako definující jádro o kvocientu mapy z rovinného algebry ze spleti . Taková mapa odpovídá uzlovému polynomu, pokud jsou všechny uzavřené diagramy přeneseny na nějaký (polynomický) násobek obrazu prázdného diagramu.

Příklad

Někdy na počátku 60. let Conway ukázal, jak vypočítat Alexanderův polynom pomocí vztahů přadének. Jelikož je rekurzivní , není tak přímá jako Alexandrova původní maticová metoda; na druhé straně se části práce provedené pro jeden uzel budou vztahovat na ostatní. Zejména síť diagramů je stejná pro všechny polynomy související s přadénkem.

Nechť funkce P z odkazů diagramů do série Laurent v být takové, aby i trojice přadeno-relačních diagramů splňuje rovnici ${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$${\ displaystyle P ({\ rm {unknot}}) = 1}$${\ displaystyle (L _ {-}, L_ {0}, L _ {+})}$

${\ displaystyle P (L _ {-}) = (x ^ {- 1/2} -x ^ {1/2}) P (L_ {0}) + P (L _ {+})}$

Pak P mapuje uzel na jeden ze svých Alexanderových polynomů.

V tomto příkladu vypočítáme Alexanderův polynom uzlu cinquefoil ( ), střídavý uzel s pěti kříženími v jeho minimálním diagramu. V každé fázi vykazujeme vztah zahrnující složitější odkaz a dva jednodušší diagramy. Složitější odkaz je vpravo v každém kroku níže, kromě posledního. Pro větší pohodlí nechť A = x ^−1/2 −x ^1/2 .

Nejprve vytvoříme dva nové diagramy opravou jednoho z přechodů cinquefoil (žlutě zvýrazněného), takže

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

První diagram je ve skutečnosti trojlístek; druhý diagram jsou dva uzly se čtyřmi přechody. Oprava toho druhého

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

dává opět trojlístek a dva uzly se dvěma kříženími ( odkaz Hopf [1] ). Oprava trojlístku

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

dává uzel a opět odkaz Hopf. Oprava odkazu Hopf

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

dává odkaz s 0 přechody (unlink) a unknot. Odpojení vyžaduje trochu záludnosti:

P ( ) = A × P ( ) + P ( )

Výpočty

Nyní máme dostatek vztahů k výpočtu polynomů všech odkazů, se kterými jsme se setkali, a můžeme použít výše uvedené rovnice v opačném pořadí, abychom se dopracovali k samotnému uzlu cinquefoil. Výpočet je popsán v následující tabulce, kde ? označuje neznámou veličinu, kterou řešíme v každém vztahu:

název uzlu	diagramy	P (diagram)
		přadeno rovnice	?	P v plném rozsahu
rozepnout		definováno jako 1		x → 1
odpojit		1 = A? +1	0	x → 0
Hopfův odkaz		0 = A1 +?	-A	x → x 1/2 -x −1/2
jetel		1 = A (-A) +?	1 + A 2	x → x −1 -1 + x
4 křížový odkaz		-A = A (1 + A 2 ) +?	-A (2 + A 2 )	x → -x −3/2 + x −1/2 -x 1/2 + x 3/2
mochna		1 + A 2 = A (-A (2 + A 2 )) +?	1 + 3A 2 + A 4	x → x −2 -x −1 + 1-x + x 2

Alexandrovým polynomem pro molo je tedy P (x) = x ⁻² -x ⁻¹ +1 -x + x ² .

Zdroje

• Americká matematická společnost, uzly a jejich polynomy , sloupec funkcí.
• Weisstein, Eric W. „Skein Relationship“ . MathWorld .
• Morton, Hugh R .; Lukac, Sascha G. (2003), „HOMFLY polynomial of dekorativní Hopfův odkaz“, Journal of Knot Theory and its Ramifications , 12 : 395–416, arXiv : math.GT/0108011 , doi : 10,1142 / s0218216503002536.