Smithův graf - Smith chart

Smith chart , vynalezený Phillip H. Smith (1905-1987) a nezávisle Mizuhashi Tosaku, je grafický kalkulátor nebo nomogram určen pro elektrotechnický a elektronický inženýrů se specializací na rádiové frekvence (RF) inženýrství na pomoc při řešení problémů s přenosové linky a odpovídající obvody. Smith graf může být použita pro současné zobrazení více parametrů, včetně impedance , admitance , koeficientů odrazu , rozptylové parametry , šumové číslo kruhy, konstantní zesílení obrysů a regionů bezpodmínečné stabilitu , včetně mechanické vibrace analýzy. Smithův graf se nejčastěji používá v oblasti poloměru jednoty nebo uvnitř ní. Zbytek je však stále matematicky relevantní a používá se například při návrhu oscilátoru a analýze stability . Zatímco použití papírových Smithových diagramů k řešení složité matematiky zapojené do problémů s párováním bylo do značné míry nahrazeno metodami založenými na softwaru, Smithův diagram je stále velmi užitečnou metodou, jak ukázat, jak se parametry RF chovají na jedné nebo více frekvencích, což je alternativa k použití tabulkové informace. Většina softwaru pro analýzu obvodů RF proto obsahuje možnost Smithova diagramu pro zobrazení výsledků a všechny kromě nejjednodušších přístrojů pro měření impedance mohou vykreslit naměřené výsledky na zobrazení Smithova diagramu. ${\ displaystyle S_ {nn} \,}$

Impedanční Smithův graf (bez vykreslení dat)

Přehled

Síťový analyzátor ( HP 8720A) ukazuje graf Smith.

Smithův diagram je vynesen na komplexní rovinu koeficientu odrazu ve dvou rozměrech a je škálován v normalizované impedanci (nejběžnější), normalizované přijatelnosti nebo v obou, pomocí různých barev k jejich rozlišení. Ty jsou často známé jako grafy Z, Y a YZ Smith. Normalizované škálování umožňuje použít Smithův diagram pro problémy zahrnující jakoukoli charakteristiku nebo systémovou impedanci, která je reprezentována středovým bodem grafu. Nejčastěji používaná normalizační impedance je 50  ohmů . Jakmile je pomocí grafických konstrukcí popsaných níže získána odpověď, je snadné převést mezi normalizovanou impedancí (nebo normalizovanou impedancí) a odpovídající nenormalizovanou hodnotou vynásobením charakteristickou impedancí (permitivitou). Koeficienty odrazu lze vyčíst přímo z grafu, protože se jedná o bezjednotkové parametry.

Smithův diagram má po svém obvodu nebo obvodu měřítko, které je odstupňováno ve vlnových délkách a stupních . Stupnice vlnových délek se používá v problémech distribuovaných komponent a představuje vzdálenost měřenou podél přenosového vedení spojeného mezi generátorem nebo zdrojem a zátěží do uvažovaného bodu. Stupnice stupňů představuje úhel koeficientu odrazu napětí v tomto bodě. Smithův diagram může být také použit pro problémy shody a analýzy soustředěných prvků .

Použití Smithova diagramu a interpretace získaných výsledků vyžaduje dobré porozumění teorii střídavých obvodů a teorii přenosových linek, což jsou předpoklady pro RF inženýry.

Jelikož se impedance a permitivity mění s frekvencí, problémy pomocí Smithova diagramu lze vyřešit pouze ručně pomocí jedné frekvence současně, přičemž výsledek je reprezentován bodem . To je často dostačující pro úzkopásmové aplikace (typicky až do asi 5% až 10% šířky pásma ), ale pro širší šířky pásma je obvykle nutné použít techniky Smithova diagramu na více než jedné frekvenci napříč provozním frekvenčním pásmem. Za předpokladu, že jsou frekvence dostatečně blízko, mohou být výsledné body Smithova diagramu spojeny přímkami, aby se vytvořil lokus .

Lokus bodů na Smithově grafu pokrývající rozsah frekvencí lze použít k vizuální reprezentaci:

• jak kapacitní nebo jak indukční je zatížení v celém frekvenčním rozsahu
• jak obtížné je shoda na různých frekvencích
• jak dobře je konkrétní komponenta sladěna.

Přesnost Smithova diagramu je snížena pro problémy zahrnující velký lokální rozsah impedancí nebo permitivit, i když měřítko může být pro jednotlivé oblasti zvětšeno, aby se do nich vešlo.

Matematický základ

Nejzákladnější použití impedančního Smithova diagramu. Vlna se šíří po přenosové lince s charakteristickou impedancí Z ₀ , ukončená při zátěži s impedancí Z _L a normalizovanou impedancí z = Z _L / Z ₀ . Existuje odraz signálu s koeficientem Γ. Každý bod na Smithově grafu současně představuje jak hodnotu z (dole vlevo), tak odpovídající hodnotu Γ (vpravo dole), vztaženou na z = (1 + Γ)/(1 - Γ).

Skutečná a normalizovaná impedance a permitivita

Přenosové vedení s charakteristickou impedancí může být všeobecně považováno za charakteristické pro kde ${\ displaystyle Z_ {0} \,}$${\ displaystyle Y_ {0} \,}$

${\ displaystyle Y_ {0} = {\ frac {1} {Z_ {0}}} \,}$

Jakákoli impedance, vyjádřená v ohmech, může být normalizována dělením charakteristickou impedancí, takže normalizovaná impedance pomocí malých z z _T je dána vztahem ${\ displaystyle Z _ {\ text {T}} \,}$

${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = {\ frac {Z _ {\ text {T}}} {Z_ {0}}} \,}$

Podobně pro normalizovaný vstup

${\ displaystyle y _ {\ text {T}} = {\ frac {Y _ {\ text {T}}} {Y_ {0}}} \,}$

Jednotka SI z impedance je ohm se symbolem horního pouzdra řeckým písmenem omega (co) a jednotky SI pro admitance je Siemens se symbolem horní písmenem S. normalizovaný impedance a normalizované admitance jsou bezrozměrné . Skutečné impedance a permitivity musí být normalizovány před jejich použitím na Smithově grafu. Jakmile je výsledek získán, může být normalizován, aby se získal skutečný výsledek.

Normalizovaný Smithův diagram impedance

Přenosová vedení ukončená otevřeným obvodem (nahoře) a zkratem (dole). Impuls se dokonale odráží od obou těchto zakončení, ale znaménko odraženého napětí je v obou případech opačné. Černé tečky představují elektrony a šipky ukazují elektrické pole.

Použití teorie přenosu řádku, v případě, že přenosové vedení je ukončen v impedancí ( ), který se liší od jeho charakteristická impedance ( ), je stojatá vlna bude vytvořen na lince zahrnující výslednici jak události nebo f orward ( ) a R odražené nebo obrácené ( ) vlny. Použití komplexního exponenciálního zápisu: ${\ displaystyle Z _ {\ text {T}} \,}$${\ displaystyle Z_ {0} \,}$${\ displaystyle V _ {\ text {F}} \,}$${\ displaystyle V _ {\ text {R}} \,}$

${\ Displaystyle V _ {\ text {F}} = A \ exp (j \ omega t) \ exp (+\ gamma \ ell) ~ \,}$ a

${\ Displaystyle V _ {\ text {R}} = B \ exp (j \ omega t) \ exp (-\ gamma \ ell) \,}$

kde

${\ displaystyle \ exp (j \ omega t) \,}$je časová část vlny

${\ Displaystyle \ exp (\ pm \ gamma \ ell) \,}$ je prostorová část vlny a

${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f \,}$ kde

${\ displaystyle \ omega \,}$je úhlová frekvence v radiánech za sekundu (rad/s)

${\ displaystyle f \,}$je frekvence v hertzech (Hz)

${\ displaystyle t \,}$ je čas v sekundách

${\ displaystyle A \,}$a jsou konstanty${\ displaystyle B \,}$

${\ displaystyle \ ell \,}$ je vzdálenost měřená podél přenosového vedení od zátěže směrem ke generátoru v metrech (m)

Taky

${\ Displaystyle \ gamma = \ alpha +j \ beta \,}$je konstanta šíření, která má jednotky 1/m

kde

${\ displaystyle \ alpha \,}$je konstanta útlumu v nepers na metr (Np/m)

${\ displaystyle \ beta \,}$je fázová konstanta v radiánech na metr (rad/m)

Smithův graf se používá vždy s jednou frekvencí ( ) a vždy pouze pro jeden moment ( ), takže časová část fáze ( ) je pevná. Všechny výrazy se tím skutečně vynásobí, aby se získala okamžitá fáze , ale je běžné, že se to vynechá. Proto, ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ exp (j \ omega t) \,}$

${\ displaystyle V _ {\ text {F}} = A \ exp (+\ gamma \ ell) \,}$ a

${\ displaystyle V _ {\ text {R}} = B \ exp (-\ gamma \ ell) \,}$

kde a jsou amplitudy napětí vpřed a vzad při zatížení. ${\ displaystyle A \,}$${\ displaystyle B \,}$

Variace komplexního koeficientu odrazu s polohou podél čáry

Při pohledu na zátěž v délce bezztrátového přenosového vedení se impedance mění, jak se zvyšuje, podle modrého kruhu. (Tato impedance je charakterizována svým koeficientem odrazu .) Modrý kruh se středem v Smithově grafu impedance se někdy nazývá kruh SWR (zkratka pro konstantní poměr stojatých vln ).${\ displaystyle \ ell \,}$${\ displaystyle \ ell \,}$${\ displaystyle V _ {\ text {odráželo}}/V _ {\ text {incident}}}$

Komplexní koeficient odrazu napětí je definován jako poměr odražené vlny k dopadající (nebo dopředné) vlně. Proto, ${\ displaystyle \ Gamma \,}$

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {V _ {\ text {R}}} {V _ {\ text {F}}}} = {\ frac {B \ exp (-\ gamma \ ell)} {A \ exp (+\ gamma \ ell)}} = C \ exp (-2 \ gamma \ ell) \,}$

kde C je také konstanta.

U rovnoměrného přenosového vedení (ve kterém je konstantní) se komplexní koeficient odrazu stojaté vlny mění podle polohy na vedení. Pokud je čára ztrátová ( je nenulová), je to na Smithově grafu znázorněno spirálovou cestou. U většiny problémů se Smithovým grafem lze však ztráty považovat za zanedbatelné ( ) a úkol jejich řešení je značně zjednodušen. Pro případ beze ztrát se tedy výraz pro komplexní koeficient odrazu stává ${\ displaystyle \ gamma \,}$${\ displaystyle \ alpha \,}$${\ Displaystyle \ alpha = 0 \,}$

${\ displaystyle \ Gamma = \ Gamma _ {\ text {L}} \ exp (-2j \ beta \ ell) \,}$

kde je koeficient odrazu při zatížení a je délka čáry od zatížení k místu, kde se měří koeficient odrazu. Fázová konstanta může být také zapsána jako ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ text {L}} \,}$${\ displaystyle \ ell \,}$${\ displaystyle \ beta \,}$

${\ displaystyle \ beta = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} \,}$

kde je vlnová délka v přenosové lince na testovací frekvenci. ${\ displaystyle \ lambda \,}$

Proto,

${\ Displaystyle \ Gamma = \ Gamma _ {\ text {L}} \ exp \ left ({\ frac {-4j \ pi} {\ lambda}} \ ell \ right) \,}$

Tato rovnice ukazuje, že pro stojatou vlnu se komplexní koeficient odrazu a impedance opakuje každou poloviční vlnovou délku podél přenosového vedení. Komplexní koeficient odrazu je obecně jednoduše označován jako koeficient odrazu. Vnější obvodová stupnice Smithova diagramu představuje vzdálenost od generátoru k zátěži škálované ve vlnových délkách, a je tedy škálována od nuly do 0,50.

Variace normalizované impedance s polohou podél čáry

Pokud a jsou napětí napříč a proud vstupující do zakončení na konci přenosové linky, pak ${\ displaystyle V \,}$${\ displaystyle I \,}$

${\ displaystyle V _ {\ text {F}}+V _ {\ text {R}} = V \,}$ a

${\ displaystyle V _ {\ text {F}}-V _ {\ text {R}} = Z_ {0} I \,}$.

Rozdělením těchto rovnic a nahrazením obou koeficientem odrazu napětí

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {V _ {\ text {R}}} {V _ {\ text {F}}}} \,}$

a normalizovaná impedance ukončení reprezentovaná malými písmeny z , dolní index T

${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = {\ frac {V} {Z_ {0} I}} \,}$

dává výsledek:

${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = {\ frac {1+ \ Gamma} {1- \ Gamma}} \,}$.

Případně z hlediska koeficientu odrazu

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {z _ {\ text {T}}-1} {z _ {\ text {T}}+1}} \,}$

Toto jsou rovnice, které se používají k sestavení Z Smithova diagramu. Matematicky řečeno a souvisejí prostřednictvím Möbiovy transformace . ${\ displaystyle \ Gamma \,}$${\ displaystyle z _ {\ text {T}} \,}$

Oba a jsou vyjádřeny v komplexních číslech bez jakýchkoli jednotek. Oba se mění s frekvencí, takže pro každé konkrétní měření musí být uvedena frekvence, na které byla provedena, spolu s charakteristickou impedancí. ${\ displaystyle \ Gamma \,}$${\ displaystyle z _ {\ text {T}} \,}$

${\ displaystyle \ Gamma \,}$mohou být vyjádřeny ve velikosti a úhlu na polárním diagramu . Jakýkoli skutečný koeficient odrazu musí mít velikost menší nebo rovnou jednotě, takže na zkušební frekvenci to může být vyjádřeno bodem uvnitř kruhu o poloměru jednoty. Smithův diagram je ve skutečnosti konstruován na takovém polárním diagramu. Škálování Smithova diagramu je navrženo tak, že koeficient odrazu lze převést na normalizovanou impedanci nebo naopak. Pomocí Smithova diagramu lze normalizovanou impedanci získat se znatelnou přesností vynesením bodu představujícího koeficient odrazu zacházejícím se Smithovým diagramem jako polárním diagramem a poté načtením jeho hodnoty přímo pomocí charakteristického měřítka Smithova diagramu. Tato technika je grafickou alternativou k nahrazení hodnot v rovnicích.

Nahrazením výrazu, jak se mění koeficient odrazu podél bezkonkurenčního bezeztrátového přenosového vedení

${\ Displaystyle \ Gamma = {\ frac {B \ exp (-\ gamma \ ell)} {A \ exp (\ gamma \ ell)}}} = {\ frac {B \ exp (-j \ beta \ ell)} {A \ exp (j \ beta \ ell)}} \,}$

pro bezeztrátový případ do rovnice pro normalizovanou impedanci z hlediska koeficientu odrazu

${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = {\ frac {1+ \ Gamma} {1- \ Gamma}} \,}$.

a pomocí Eulerova vzorce

${\ Displaystyle \ exp (j \ theta) = \ cos \ theta +j \ sin \ theta \,}$

dává rovnici přenosové linky impedanční verze pro bezeztrátový případ:

${\ displaystyle Z _ {\ text {in}} = Z_ {0} {\ frac {Z _ {\ text {L}}+jZ_ {0} \ tan (\ beta \ ell)} {Z_ {0}+jZ_ { \ text {L}} \ tan (\ beta \ ell)}} \,}$

kde je impedance „vidět“ na vstupu bezztrátového přenosového vedení délky zakončeného impedancí${\ displaystyle Z _ {\ text {in}} \,}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle Z _ {\ text {L}} \,}$

Verze rovnice přenosového vedení mohou být obdobně odvozeny pro případy bez ztráty vstupního signálu a pro případy ztrátové impedance a vstupního signálu.

Smithovým grafickým grafickým ekvivalentem použití rovnice přenosové linie je normalizace , vykreslení výsledného bodu na Z Smithově grafu a nakreslení kruhu skrz tento bod se středem ve středu Smithova grafu. Cesta podél oblouku kruhu představuje, jak se mění impedance při pohybu po přenosové lince. V tomto případě musí být použito měřítko obvodu (vlnové délky), přičemž pamatujte, že toto je vlnová délka v přenosové lince a může se lišit od vlnové délky volného prostoru. ${\ displaystyle Z _ {\ text {L}} \,}$

Regiony grafu Z Smitha

Pokud je polární diagram mapován na kartézský souřadnicový systém , je obvyklé měřit úhly vzhledem k kladné ose x pomocí směru proti směru hodinových ručiček pro kladné úhly. Velikost komplexního čísla je délka přímky vedené od počátku k bodu, který ji představuje. Smithův diagram používá stejnou konvenci s tím, že v normalizované impedanční rovině se kladná osa x rozprostírá od středu Smithova diagramu k bodu . Oblast nad osou x představuje indukční impedance (kladné imaginární části) a oblast pod osou x představuje kapacitní impedance (záporné imaginární části). ${\ Displaystyle z _ {\ text {T}} = 1 \ pm j0 \,}$${\ Displaystyle z _ {\ text {T}} = \ infty \ pm j \ infty \,}$

Pokud je zakončení dokonale přizpůsobeno, bude koeficient odrazu nulový, což je účinně reprezentováno kružnicí s nulovým poloměrem nebo ve skutečnosti bodem ve středu Smithova diagramu. Pokud by zakončení bylo dokonalým otevřeným obvodem nebo zkratem, velikost koeficientu odrazu by byla jednota, veškerý výkon by se odrážel a bod by ležel v určitém bodě na obvodu kruhu jednoty.

Kruhy konstantního normalizovaného odporu a konstantní normalizované reaktance

Normalizovaný impedanční Smithův diagram se skládá ze dvou rodin kruhů: kruhů konstantního normalizovaného odporu a kruhů konstantní normalizované reaktance. V rovině komplexního koeficientu odrazu zabírá Smithův diagram kruh o poloměru jednoty se středem na počátku. V kartézských souřadnicích tedy kruh by prošel body (+1,0) a (-1,0) na x aretačním kroužkem a body (0, + 1) a (0, -1) na y aretačním kroužkem .

Vzhledem k tomu, jak a jsou komplexní čísla, obecně platí, že může být zapsán jako: ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle z \,}$

${\ Displaystyle z = a+jb \,}$

${\ displaystyle \ Gamma = c+jd \,}$

s reálnými čísly a , b , c a d .

Jejich nahrazením do rovnice týkající se normalizované impedance a komplexního koeficientu odrazu:

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {z-1} {z+1}} \,}$

dává následující výsledek:

${\ Displaystyle \ Gamma = c+jd = \ left [{\ frac {a^{2}+b^{2} -1} {(a+1)^{2}+b^{2}}} \ vpravo]+j \ vlevo [{\ frac {2b} {(a+1)^{2}+b^{2}}} \ vpravo] \,}$.

Toto je rovnice, která popisuje, jak se komplexní koeficient odrazu mění s normalizovanou impedancí a může být použit ke konstrukci obou rodin kruhů.

Y Smithův diagram

Y Smithův diagram je konstruován podobným způsobem k Z grafu případě Smith ale expresí hodnoty koeficientu odrazu napětí, pokud jde o normalizované admitance namísto normalizované impedance. Normalizovaná permitivita y _T je převrácená hodnota normalizované impedance z _T , takže

${\ displaystyle y _ {\ text {T}} = {\ frac {1} {z _ {\ text {T}}}} \,}$

Proto:

${\ displaystyle y _ {\ text {T}} = {\ frac {1- \ Gamma} {1+ \ Gamma}} \,}$

a

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {1-y _ {\ text {T}}} {1+y _ {\ text {T}}}} \,}$

Y Smithův diagram vypadá jako normalizovaného typu, impedance, ale s grafické měřítko otočí o 180 °, numerické měřítko nemění.

Oblast nad osou x představuje kapacitní permitivity a oblast pod osou x představuje induktivní permitivity. Kapacitní přijetí má pozitivní imaginární části a induktivní přijetí má negativní imaginární části.

Opět platí, že pokud je zakončení dokonale sladěno, bude koeficient odrazu nula, reprezentovaný 'kruhem' nulového poloměru nebo ve skutečnosti bodem ve středu Smithova diagramu. Pokud by bylo zakončení dokonalým otevřeným nebo zkratem, velikost koeficientu odrazu napětí by byla jednota, veškerý výkon by se odrážel a bod by ležel v určitém bodě na obvodu obvodu jednoty Smithova diagramu.

Praktické příklady

Ukázkové body vynesené do Smithova diagramu normalizované impedance

Bod s koeficientem odrazu velikosti 0,63 a úhlem 60 ° reprezentovaný v polární formě jako , je zobrazen jako bod P ₁ na Smithově grafu. Chcete -li to vykreslit, lze použít měřítko obvodového (koeficientu odrazu) k nalezení stupnice a pravítko k nakreslení čáry procházející tímto a středem Smithova diagramu. Délka čáry by pak byla zmenšena na P ₁ za předpokladu, že poloměr Smithova diagramu bude jednota. Pokud by například skutečný poloměr měřený z papíru byl 100 mm, délka OP ₁ by byla 63 mm. ${\ Displaystyle 0,63 \ úhel 60^{\ circ} \,}$${\ Displaystyle \ úhel 60^{\ circ} \,}$

Následující tabulka uvádí několik podobných příkladů bodů, které jsou zakresleny v grafu Z Smitha. U každého je koeficient odrazu uveden v polární formě spolu s odpovídající normalizovanou impedancí v obdélníkové formě. Konverzi lze přečíst přímo ze Smithova diagramu nebo substitucí do rovnice.

Několik příkladů bodů zakreslených do Smithova diagramu normalizované impedance

Bodová identita	Koeficient odrazu (polární forma)	Normalizovaná impedance (obdélníkový tvar)
P 1 (indukční)	${\ Displaystyle 0,63 \ úhel 60^{\ circ} \,}$	${\ Displaystyle 0,80+j1.40 \,}$
P 2 (indukční)	${\ Displaystyle 0,73 \ úhel 125^{\ circ} \,}$	${\ Displaystyle 0,20+j0,50 \,}$
P 3 (kapacitní)	${\ Displaystyle 0,44 \ úhel -116^{\ circ} \,}$	${\ Displaystyle 0,50-j0,50 \,}$

Práce s grafy Z Smith a Y Smith

V RF obvodech a problémech s párováním je někdy výhodnější pracovat s permitivitami (představujícími vodivosti a susceptance ) a někdy je výhodnější pracovat s impedancemi (představujícími odpory a reaktance ). Řešení typického problému s párováním bude často vyžadovat několik změn mezi oběma typy Smithových diagramů s použitím normalizované impedance pro prvky řady a normalizovaných přípustností pro paralelní prvky. Pro tyto účely lze použít duální (normalizovanou) impedanci a permitivitu podle Smithova diagramu. Alternativně lze použít jeden typ a v případě potřeby změnit měřítko na druhý. Aby se změnila z normalizované impedance na normalizovanou impedanci nebo naopak, bod představující hodnotu uvažovaného koeficientu odrazu se posouvá přesně o 180 stupňů ve stejném poloměru. Například bod P1 v příkladu představující koeficient odrazu má normalizovanou impedanci . Abychom to graficky změnili na ekvivalentní normalizovaný bod přijetí, řekněme Q1, je nakreslena čára s pravítkem od P1 přes střed Smithova grafu do Q1, stejný poloměr v opačném směru. To je ekvivalentní pohybu bodu kruhovou dráhou přesně o 180 stupňů. Čtení hodnoty ze Smithova grafu pro Q1, pamatuje si, že škálování je nyní v normalizovaném přijetí, dává . Provedení výpočtu ${\ Displaystyle 0,63 \ úhel 60^{\ circ} \,}$${\ Displaystyle z_ {P} = 0,80+j 1,40 \,}$${\ displaystyle y_ {P} = 0,30-j0,54 \,}$

${\ displaystyle y _ {\ text {T}} = {\ frac {1} {z _ {\ text {T}}}} \,}$

ručně to potvrdí.

Jakmile byla provedena transformace z impedance na impedanci, škálování se změní na normalizovanou impedanci, dokud se neprovede pozdější transformace zpět na normalizovanou impedanci.

Níže uvedená tabulka ukazuje příklady normalizovaných impedancí a jejich ekvivalentních normalizovaných impedancí získaných otáčením bodu o 180 °. Opět je lze získat buď výpočtem, nebo pomocí Smithova diagramu, jak je ukázáno, převodem mezi normalizovanou rovinou impedance a normalizovanou přijatelností.

Hodnoty koeficientu odrazu jako normalizované impedance a ekvivalentní normalizované impedance

Normalizovaná rovina impedance	Normalizovaná přijímací rovina
P 1 ( ) ${\ Displaystyle z = 0,80+j 1,40 \,}$	Q 1 ( ) ${\ Displaystyle y = 0,30-j0,54 \,}$
P 10 ( ) ${\ Displaystyle z = 0,10+j0,22 \,}$	Q 10 ( ) ${\ Displaystyle y = 1,80-j3,90 \,}$

Hodnoty součinitele komplexního odrazu vynesené na Smithově diagramu normalizované impedance a jejich ekvivalenty na normalizovaném Smithově diagramu

Volba typu Smithova grafu a typu součásti

Volba, zda použít graf Z Smith nebo Y Smith pro jakýkoli konkrétní výpočet, závisí na tom, co je pohodlnější. Sériové impedance a paralelní impedance se sčítají, zatímco paralelní impedance a sériové impedance souvisejí pomocí vzájemné rovnice. Pokud je ekvivalentní impedance sériových impedancí a je ekvivalentní impedancí paralelních impedancí, pak ${\ displaystyle Z _ {\ text {TS}}}$${\ displaystyle Z _ {\ text {TP}}}$

${\ displaystyle Z _ {\ text {TS}} = Z_ {1}+Z_ {2}+Z_ {3}+... \,}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {Z _ {\ text {TP}}}} = {\ frac {1} {Z_ {1}}}+{\ frac {1} {Z_ {2}}}+{ \ frac {1} {Z_ {3}}}+... \,}$

U vstupů je to naopak

${\ displaystyle Y _ {\ text {TP}} = Y_ {1}+Y_ {2}+Y_ {3}+... \,}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {Y _ {\ text {TS}}}} = {\ frac {1} {Y_ {1}}}+{\ frac {1} {Y_ {2}}}+{ \ frac {1} {Y_ {3}}}+... \,}$

Vyrovnávání se s převrácenými hodnotami , zejména v komplexních číslech, je časově náročnější a náchylnější k chybám než pomocí lineárního sčítání. Obecně tedy většina RF inženýrů pracuje v rovině, kde topografie obvodu podporuje lineární sčítání. Následující tabulka uvádí komplexní výrazy pro impedanci (skutečnou a normalizovanou) a přijatost (skutečnou a normalizovanou) pro každý ze tří základních prvků pasivního obvodu : odpor, indukčnost a kapacita. Použitím pouze charakteristické impedance (nebo charakteristické permitivity) a testovací frekvence lze najít ekvivalentní obvod a naopak.

Výrazy pro Impedance a Admitance
Normalizované Impedancí Z ₀ nebo Admitance Y ₀

Typ prvku	Impedance ( Z nebo z ) nebo Reactance ( X nebo x )		Admittance ( Y or y ) or Susceptance ( B or b )
	Skutečný ( ) ${\ displaystyle \ Omega \,}$	Normalizováno (bez jednotky)	Skutečný (S)	Normalizováno (bez jednotky)
Odpor ( R )	${\ displaystyle Z = R \,}$	${\ displaystyle z = {\ frac {R} {Z_ {0}}} = RY_ {0} \,}$	${\ displaystyle Y = G = {\ frac {1} {R}} \,}$	${\ displaystyle y = g = {\ frac {1} {RY_ {0}}} = {\ frac {Z_ {0}} {R}} \,}$
Indukčnost ( L )	${\ Displaystyle Z = jX _ {\ text {L}} = j \ omega L \,}$	${\ Displaystyle z = jx _ {\ text {L}} = j {\ frac {\ omega L} {Z_ {0}}} = j \ omega LY_ {0} \,}$	${\ displaystyle Y = -jB _ {\ text {L}} = {\ frac {-j} {\ omega L}}}$	${\ Displaystyle y = -jb _ {\ text {L}} = {\ frac {-j} {\ omega LY_ {0}}} = {\ frac {-jZ_ {0}} {\ omega L}} \, }$
Kapacita ( C )	${\ Displaystyle Z = -jX _ {\ text {C}} = {\ frac {-j} {\ omega C}} \,}$	${\ displaystyle z = -jx _ {\ text {C}} = {\ frac {-j} {\ omega CZ_ {0}}} = {\ frac {-jY_ {0}} {\ omega C}} \, }$	${\ Displaystyle Y = jB _ {\ text {C}} = j \ omega C \,}$	${\ Displaystyle y = jb _ {\ text {C}} = j {\ frac {\ omega C} {Y_ {0}}} = j \ omega CZ_ {0} \,}$

Použití Smithova diagramu k řešení problémů s konjugovanou shodou s distribuovanými komponentami

Distribuované párování se stává proveditelným a někdy je vyžadováno, když je fyzická velikost odpovídajících komponent více než asi 5% vlnové délky na provozní frekvenci. Zde se elektrické chování mnoha hrudkovitých součástek stává poměrně nepředvídatelným. K tomu dochází v mikrovlnných obvodech a když vysoký výkon vyžaduje velké komponenty v krátkovlnném, FM a televizním vysílání,

U distribuovaných komponent musí být povoleny vlivy na koeficient odrazu a impedanci pohybu podél přenosové linky pro použití vnější obvodové stupnice Smithova diagramu, která je kalibrována na vlnových délkách.

Následující příklad ukazuje, jak lze přenosové vedení zakončené libovolným zatížením spárovat na jedné frekvenci, buď se sériovou nebo paralelní reaktivní složkou, v každém případě spojené v přesných polohách.

Konstrukce Smithova diagramu pro párování distribuovaných přenosových linek

Předpokládejme, že bezztrátová vzduchem rozmístěná přenosová linka s charakteristickou impedancí pracující na frekvenci 800 MHz je zakončena obvodem obsahujícím odpor 17,5 v sérii s induktorem 6,5 nanohenry (6,5 nH). Jak lze linii spárovat? ${\ displaystyle Z_ {0} = 50 \ \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Z výše uvedené tabulky je reaktance induktoru tvořícího součást ukončení při 800 MHz

${\ Displaystyle Z_ {L} = j \ omega L = j2 \ pi fL = j32.7 \ \ Omega \,}$

takže impedance kombinace ( ) je dána vztahem ${\ displaystyle Z_ {T}}$

${\ Displaystyle Z_ {T} = 17,5+j32,7 \ \ Omega \,}$

a normalizovaná impedance ( ) je ${\ displaystyle z_ {T}}$

${\ displaystyle z_ {T} = {\ frac {Z_ {T}} {Z_ {0}}} = 0,35+j0,65 \,}$

To je zakresleno v grafu Z Smitha v bodě P ₂₀ . Čára OP ₂₀ je prodloužena až do stupnice vlnových délek, kde se v bodě protíná . Protože je přenosové vedení bezeztrátové, je kruh se středem ve středu Smithova diagramu protažen bodem P _20, aby představoval dráhu koeficientu odrazu konstantní velikosti v důsledku ukončení. V bodě P ₂₁ se kruh protíná s kruhem jednoty konstantního normalizovaného odporu v ${\ Displaystyle L_ {1} = 0,098 \ lambda \,}$

${\ displaystyle z_ {P21} = 1,00+j1,52 \,}$.

Prodloužení přímky OP ₂₁ protíná stupnici vlnové délky v , proto je vzdálenost od ukončení k tomuto bodu na přímce dána vztahem ${\ displaystyle L_ {2} = 0,177 \ lambda \,}$

${\ Displaystyle L_ {2} -L_ {1} = 0,177 \ lambda -0,098 \ lambda = 0,079 \ lambda \,}$

Protože je přenosové vedení rozmístěno ve vzduchu, je vlnová délka 800 MHz v řádku stejná jako ve volném prostoru a je dána vztahem

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {c} {f}} \,}$

kde je rychlost elektromagnetického záření ve volném prostoru a je frekvence v hertzech. Výsledek dává , takže poloha odpovídající součásti je 29,6 mm od zatížení. ${\ displaystyle c \,}$${\ displaystyle f \,}$${\ Displaystyle \ lambda = 375 \ \ mathrm {mm} \,}$

Shoda konjugátu pro impedanci na P ₂₁ ( ) je ${\ displaystyle z_ {match} \,}$

${\ Displaystyle z_ {match} =-j (1,52), \!}$

Protože Smithův diagram je stále v normalizované impedanční rovině, je z výše uvedené tabulky vyžadován sériový kondenzátor${\ displaystyle C_ {m} \,}$

${\ Displaystyle z_ {match} =-j1.52 = {\ frac {-j} {\ omega C_ {m} Z_ {0}}} = {\ frac {-j} {2 \ pi fC_ {m} Z_ {0}}} \,}$

Přeuspořádání získáváme

${\ Displaystyle C_ {m} = {\ frac {1} {(1,52) \ omega Z_ {0}}} = {\ frac {1} {(1,52) (2 \ pi f) Z_ {0}}}}$.

Náhrada známých hodnot dává

${\ Displaystyle C_ {m} = 2,6 \ \ mathrm {pF} \,}$

Aby odpovídalo zakončení na 800 MHz, musí být sériový kondenzátor 2,6 pF umístěn v sérii s přenosovým vedením ve vzdálenosti 29,6 mm od ukončení.

Alternativní shuntovou shodu lze vypočítat po provedení transformace Smithova grafu z normalizované impedance na normalizovanou přijatelnost. Bod Q ₂₀ je ekvivalentem P _20, ale je vyjádřen jako normalizovaný vstup. Při čtení ze škálování Smithova grafu si pamatujeme, že toto je nyní normalizované přijetí

${\ displaystyle y_ {Q20} = 0,65-j1,20 \,}$

(Ve skutečnosti se tato hodnota ve skutečnosti nepoužívá). Rozšíření linie OQ ₂₀ až na stupnici vlnových délek však dává . Nejranější bod, ve kterém by mohla být zavedena shuntová konjugovaná shoda, pohybující se směrem ke generátoru, by byl v Q ₂₁ , ve stejné poloze jako předchozí P ₂₁ , ale tentokrát představoval normalizované přijetí dané ${\ Displaystyle L_ {3} = 0,152 \ lambda \,}$

${\ displaystyle y_ {Q21} = 1,00+j1,52 \,}$.

Vzdálenost podél přenosového vedení je v tomto případě

${\ Displaystyle L_ {2} +L_ {3} = 0,177 \ lambda +0,152 \ lambda = 0,329 \ lambda \,}$

což převádí na 123 mm.

Komponenta shody konjugátu musí mít normalizovanou permitivitu ( ) ${\ displaystyle y_ {match}}$

${\ displaystyle y_ {match} =-j1.52 \,}$.

Z tabulky je vidět, že negativní vstup by vyžadoval induktor, zapojený paralelně s přenosovým vedením. Pokud je jeho hodnota , pak ${\ displaystyle L_ {m} \,}$

${\ Displaystyle -j1.52 = {\ frac {-j} {\ omega L_ {m} Y_ {0}}} = {\ frac {-jZ_ {0}} {2 \ pi fL_ {m}}} \ ,}$

To dává výsledek

${\ Displaystyle L_ {m} = 6,5 \ \ mathrm {nH} \,}$

Vhodná indukční shuntová shoda by proto byla 6,5 ​​nH induktor paralelně s linkou umístěnou 123 mm od zátěže.

Použití Smithova grafu k analýze obvodů soustředěných prvků

Analýza složek soustředěných prvků předpokládá, že vlnová délka při frekvenci provozu je mnohem větší než rozměry samotných složek. Smithův diagram lze použít k analýze takových obvodů, v takovém případě jsou pohyby kolem grafu generovány (normalizovanými) impedancemi a permitivitami komponent na frekvenci provozu. V tomto případě se nepoužije škálování vlnových délek na obvodu Smithova diagramu. Následující obvod bude analyzován pomocí Smithova diagramu na provozní frekvenci 100 MHz. Na této frekvenci je vlnová délka volného prostoru 3 m. Samotné rozměry součásti budou v řádu milimetrů, takže předpoklad hrudkovitých součástí bude platný. Přestože neexistuje žádné přenosové vedení jako takové, musí být stále definována impedance systému, která umožní výpočty normalizace a de-normalizace, a je zde dobrou volbou . Pokud by existovaly velmi odlišné hodnoty odporu, mohla by být lepší volbou hodnota bližší k těmto hodnotám. ${\ displaystyle Z_ {0} = 50 \ \ Omega \,}$${\ displaystyle R_ {1} = 50 \ \ Omega \,}$

Obvod s hrudkovitým prvkem, který lze analyzovat pomocí Smithova diagramu

Smithův graf s grafickou konstrukcí pro analýzu soustředěného obvodu

Spustí se analýza s Z Smithův diagram pohledu na R _1, pouze bez jiných složek současnosti. Stejně jako impedance systému je to znázorněno bodem ve středu Smithova diagramu. První transformace je OP ₁ podél linie konstantního normalizovaného odporu, v tomto případě přidání normalizované reaktance - j 0,80, což odpovídá sériovému kondenzátoru 40 pF. Body s příponou P jsou v rovině Z a body s příponou Q jsou v rovině Y. Transformace P ₁ až Q ₁ a P ₃ až Q ₃ jsou tedy z grafu Z Smith do grafu Y Smith a transformace Q ₂ na P ₂ je z grafu Y Smith do grafu Z Smith. Následující tabulka ukazuje kroky, které byly provedeny při zpracování zbývajících komponent a transformací, nakonec se vrací zpět do středu Smithova diagramu a dokonalá shoda 50 ohmů. ${\ displaystyle R_ {1} = 50 \ \ Omega \,}$

Smithův diagram kroků pro analýzu obvodu soustředěných prvků

Proměna	Letadlo	x nebo y normalizovaná hodnota	Kapacita/Indukčnost	Vzorec k řešení	Výsledek
${\ displaystyle O \ rightarrow P_ {1} \,}$	${\ displaystyle Z \,}$	${\ displaystyle -j0,80 \,}$	Kapacita (řada)	${\ displaystyle -j0.80 = {\ frac {-j} {\ omega C_ {1} Z_ {0}}} \,}$	${\ displaystyle C_ {1} = 40 \ \ mathrm {pF} \,}$
${\ displaystyle Q_ {1} \ rightarrow Q_ {2} \,}$	${\ displaystyle Y \,}$	${\ displaystyle -j1,49 \,}$	Indukčnost (zkrat)	${\ displaystyle -j1.49 = {\ frac {-j} {\ omega L_ {1} Y_ {0}}} \,}$	${\ Displaystyle L_ {1} = 53 \ \ mathrm {nH} \,}$
${\ displaystyle P_ {2} \ rightarrow P_ {3} \,}$	Z	${\ displaystyle -j0,23 \,}$	Kapacita (řada)	${\ displaystyle -j0.23 = {\ frac {-j} {\ omega C_ {2} Z_ {0}}} \,}$	${\ Displaystyle C_ {2} = 138 \ \ mathrm {pF} \,}$
${\ displaystyle Q_ {3} \ rightarrow O \,}$	Y	${\ Displaystyle +j1.14 \,}$	Kapacita (zkrat)	${\ Displaystyle +j1.14 = {\ frac {j \ omega C_ {3}} {Y_ {0}}} \,}$	${\ displaystyle C_ {3} = 36 \ \ mathrm {pF} \,}$

3D Smithův graf

Zobrazení 3D Smithova grafu

Zobecněný 3D Smith graf založený na prodloužené komplexní rovině ( Riemann koule ) a inversive geometrie byla navržena v roce 2011. Z grafu je sjednocuje pasivních a aktivních obvodů na malé i velké kruhy na povrchu jednotkové koule pomocí stereographic konformní zobrazení v generalizovaná rovina koeficientu odrazu. Vzhledem k bodu v nekonečnu zahrnuje prostor nového grafu všechna možná zatížení. Severní pól je dokonalým shodným bodem, zatímco jižní pól je dokonalým bodem nesouladu. 3D Smithův diagram byl dále rozšířen mimo sférický povrch pro vykreslení různých skalárních parametrů, jako je zpoždění skupiny, faktory kvality nebo frekvenční orientace. Vizualizace frekvenční orientace (ve směru/proti směru hodinových ručiček) umožňuje rozlišovat mezi zápornou kapacitou a kladným induktorem, jehož koeficienty odrazu jsou při vykreslení na 2D Smithově grafu stejné, ale jejichž orientace se s rostoucí frekvencí rozchází.

Reference

Další čtení

• Ranou reprezentaci tohoto grafického zobrazení předtím, než byly nazývány 'Smith Charts', viz Campbell, GA (1911). „Cisoidální oscilace“. Sborník Amerického institutu elektrotechniků . 30 (1–6): 789–824. doi : 10.1109/PAIEE.1911.6659711 ., Zejména obr. 13 na str. 810.

externí odkazy

• „Matematická konstrukce a vlastnosti Smithovy tabulky“ . allaboutcircuits.com . technické články.
• „Smithův diagram a impedanční párování s příklady“ . anténa- teorie.com .
• „Graf Mizuhashi-Smith“ . www.linkclub.or.jp/~morikuni . Archivováno od originálu dne 2013-03-03.
• „Excel Smithův graf“ . excelhero.com . Srpna 2010. Nekomerční, interaktivní Smithův graf, který nejlépe vypadá v Excelu 2007+.
• „SimSmith“ . ae6ty.com .Nekomerční, dostupné pro Windows, Mac a Linux. Mnoho výukových videí ke grafu Smith. Žádná omezení velikosti obvodu. Není omezeno na žebříkové obvody.
• "Smith v3" . fritz.dellsperger.net . Archivováno od originálu dne 2015-03-04. Komerční a bezplatný Smithův graf pro Windows
• „QuickSmith“ . github.com/niyeradori .Bezplatný webový vzdělávací nástroj Smith Chart dostupný na GitHubu .
• „Nástroj 3D Smithova diagramu“ . 3dsmithchart.com . 2D a 3D Smith generalizovaný nástroj pro aktivní a pasivní obvody (zdarma pro akademickou sféru/vzdělávání).