Klasifikátor podobjektu - Subobject classifier

V teorii kategorií je klasifikátor podobjektu speciální objekt Ω kategorie tak, že intuitivně podobjekty jakéhokoli objektu X v kategorii odpovídají morfismům od X do Ω. V typických příkladech tento morfismus přiřazuje „true“ prvkům podobjektu a „false“ ostatním prvkům X. Klasifikátor podobjektu je proto také známý jako „objekt hodnoty pravdy“ a koncept je široce používán v kategorický popis logiky. Všimněte si však, že klasifikátory podobjektů jsou často mnohem komplikovanější než jednoduché hodnoty binární logické pravdy {true, false}.

Úvodní příklad

Jako příklad je množina Ω = {0,1} klasifikátor podobjektu v kategorii množin a funkcí: ke každé podmnožině A z S definované inkluzní funkcí  j  : A → S můžeme přiřadit funkci χ _A z S na Ω, který přesně mapuje prvky A na 1 (viz charakteristická funkce ). Každá funkce od S až w vzniká tímto způsobem z přesně jedné podskupině A .

Aby bylo jasnější, zvažte podmnožinu A z S ( A ⊆ S ), kde S je množina. Pojem podmnožiny lze matematicky vyjádřit pomocí tzv. Charakteristické funkce χ _A  : S → {0,1}, která je definována následovně:

${\ displaystyle \ chi _ {A} (x) = {\ begin {cases} 0, & {\ mbox {if}} x \ notin A \\ 1, & {\ mbox {if}} x \ v A \ konec {případů}}}$

(Zde interpretovat 1 jako pravdivý a 0 jako NEPRAVDA). Role charakteristické funkce je určit, které prvky patří do podmnožiny A . Ve skutečnosti, χ platí právě o prvcích A .

Tímto způsobem je sběr všech podskupin S a sběr všech map od S do Ω = {0,1} izomorfní .

Abychom tento pojem kategorizovali, připomeňme si, že v teorii kategorií je podobjektem vlastně dvojice skládající se z objektu a monické šipky (interpretované jako zahrnutí do jiného objektu). V souladu s tím, pravda, se vztahuje k prvku 1, která je zvolena šipkou: platí : {0} → {0, 1}, který mapuje 0 až 1. podmnožina z S nyní může být definována jako stáhnout zpět z pravda podél charakteristiky funkce χ _A , znázorněná na následujícím diagramu:

Takto definováno, χ je morfismus Sub _C ( S ) → Hom _C (S, Ω). Podle definice je Ω klasifikátor podobjektu, pokud je tento morfismus izomorfismem.

Definice

Pro obecnou definici začneme s kategorií C, která má koncový objekt , který označíme 1. Objekt Ω C je klasifikátor podobjektu pro C, pokud existuje morfismus

1 → Ω

s následující vlastností:

Pro každý monomorfismus j : U → X existuje jedinečný morfismus χ _j : X → Ω takový, že následující komutativní diagram

je pullback diagram - to znamená, že U je limit diagramu:

Morfismus χ _j se pak nazývá klasifikační morfismus pro podobjekt představovaný j .

Další příklady

Snopy sad

Kategorie snopy množin na prostoru topological X má podobjekt klasifikátor Ω, který může být popsán následujícím způsobem: Pro každý otevřený soubor U z X , Q ( U ) je množina všech otevřených podmnožin U . Terminál objekt je svazek 1, který přiřazuje Singleton {*} pro každý otevřený soubor U z X. Morfizmus η: 1 → Ω je dána rodiny MAPS r _U  : 1 ( U ) → Ω ( U ) definovaný η _u (*) = u pro každý otevřený soubor u z X . Vzhledem k svazku F na X a dílčímu svazku j : G → F je klasifikační morfismus χ _j  : F → Ω dán rodinou map χ _{j, U}  : F ( U ) → Ω ( U ), kde χ _{j, U} ( x ) je spojení všech otevřených souborů v části U tak, že omezení x do v (ve smyslu kladek) je obsažen v j _v ( G ( v )).

Zhruba řečeno, tvrzení uvnitř tohoto toposu je variabilně pravdivé nebo nepravdivé a jeho pravdivostní hodnota z hlediska otevřené podmnožiny U je otevřená podmnožina U, kde je tvrzení pravdivé.

Předvádí

Vzhledem k tomu, malé kategorie , kategorie presheaves (tj kategorie funktor skládající se ze všech contravariant funktorů od do ) má podobjektu classifer daný funktor vysílající jakýkoliv do sady sít na . Klasifikační morfismy jsou konstruovány docela podobně jako ty ve výše uvedeném příkladu snopy sad. ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Set} ^ {C ^ {op}}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ mathrm {sada}}$${\ displaystyle c \ v C}$${\ displaystyle c}$

Základní topoi

Oba výše uvedené příklady jsou zahrnuty v následujícím obecném faktu: každý elementární topos , definovaný jako kategorie s konečnými limity a silovými objekty , nutně má klasifikátor podobjektu. Dva výše uvedené příklady jsou Grothendieck topoi a každý tooth Grothendieck je elementární topos.

Související pojmy

A quasitopos má objekt, který je téměř podobjekt třídič; klasifikuje pouze silné podobjekty.

Poznámky

Reference

• Artin, Michael ; Alexander Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (1964). Séminaire de Géometrie Algébrique IV . Springer-Verlag .
• Barr, Michael; Charles Wells (1985). Topózy, trojice a teorie . Springer-Verlag . ISBN   0-387-96115-1 .
• Bell, John (1988). Topózy a teorie místních množin: úvod . Oxford: Oxford University Press .
• Goldblatt, Robert (1983). Topoi: Kategorická analýza logiky . North-Holland , dotisk Dover Publications, Inc (2006). ISBN   0-444-85207-7 .
• Johnstone, Peter (2002). Náčrtky slona: Kompendium teorie topos . Oxford: Oxford University Press .
• Johnstone, Peter (1977). Teorie topos . Akademický tisk . ISBN   0-12-387850-0 .
• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician . Postgraduální texty z matematiky . 5 (2. vydání). New York, NY: Springer-Verlag . ISBN   0-387-98403-8 . Zbl   0906.18001 .
• Mac Lane, Saunders ; Ieke Moerdijk (1992). Snopy v geometrii a logice: první úvod do teorie topos . Springer-Verlag . ISBN   0-387-97710-4 .
• McLarty, Colin (1992). Základní kategorie, základní topózy . Oxford: Oxford University Press . ISBN   0-19-853392-6 .
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Kategorické základy. Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazků . Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   0-521-83414-7 . Zbl   1034.18001 .
• Taylor, Paul (1999). Praktické základy matematiky . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   0-521-63107-6 .