Wignerova rotace - Wigner rotation

Část série na
Vesmírný čas
Speciální relativita Obecná relativita
Prostorové koncepty
Obecná relativita
Klasická gravitace
Relevantní matematika
proti t E

Eugene Wigner (1902-1995)

V teoretické fyzice má složení dvou nekolineárních Lorentzových boostů za následek Lorentzovu transformaci, která není čistým boostem, ale je složením boostu a rotace. Tato rotace se nazývá Thomasova rotace , Thomas – Wignerova rotace nebo Wignerova rotace . Rotaci objevil Llewellyn Thomas v roce 1926 a odvodil ji Wigner v roce 1939. Pokud sekvence nekolineárních boostů vrátí objekt na jeho počáteční rychlost, pak se sekvence Wignerových rotací může spojit za vzniku čisté rotace nazývané Thomasova precese .

Stále probíhají diskuse o správné formě rovnic pro Thomasovu rotaci v různých referenčních systémech s protichůdnými výsledky. Goldstein :

Prostorová rotace vyplývající z postupné aplikace dvou nekolineárních Lorentzových transformací byla deklarována stejně paradoxně jako častěji diskutovaná zjevná porušení zdravého rozumu, jako je paradox dvojčat .

Einsteinův princip rychlosti vzájemnosti (EPVR) zní

Předpokládáme, že vztah mezi souřadnicemi těchto dvou systémů je lineární. Pak je inverzní transformace také lineární a úplná nepreference jednoho nebo druhého systému vyžaduje, aby transformace byla identická s původní, kromě změny v na −v

Při méně pečlivém výkladu je u některých modelů EPVR zdánlivě porušena. Samozřejmě zde není žádný skutečný paradox.

Nastavení rámců a relativní rychlosti mezi nimi

Složení rychlosti a Thomasova rotace v rovině xy, rychlosti u a v oddělené úhlem θ . Vlevo: Při měření v Σ ′ se orientace Σ a Σ ′ ′ jeví rovnoběžně s Σ ′ . Střed: V rámečku Σ se Σ ′ ′ otáčí o úhel ε kolem osy rovnoběžné s u × v a poté se pohybuje rychlostí w _d vzhledem k Σ . Vpravo: V rámečku Σ ′ ′ se Σ pohybuje rychlostí - w _d vzhledem k Σ ′ ′ a poté se pohybuje rychlostí w _d vzhledem k Σ .

Složení rychlosti a Thomasova rotace v rovině xy, rychlosti - u a - v oddělené úhlem θ . Vlevo: Při měření v Σ ′ se orientace Σ a Σ ′ ′ jeví rovnoběžně s Σ ′ . Střed: V rámečku Σ ′ ′ se Σ otáčí o úhel ε kolem osy rovnoběžné s - ( u × v ) a poté se pohybuje rychlostí - w _i vzhledem k Σ ′ ′ . Vpravo: V rámci å , å '' se pohybuje rychlostí w _i vzhledem k å a pak se otáčí v úhlu £ kolem osy, rovnoběžné s u x v .

Porovnání rychlostních skladeb w _d a w _i . Všimněte si stejných velikostí, ale různých směrů.

Dvě obecné posily

Při studiu Thomasovy rotace na základní úrovni se obvykle používá sestava se třemi souřadnicovými rámci Σ, Σ ′ Σ ′ ′ . Rámeček Σ ′ má rychlost u vzhledem k rámu Σ a snímek Σ ′ ′ má rychlost v vzhledem k rámu Σ ′ .

Osy jsou konstrukčně orientovány následovně. Při pohledu od Σ ′ jsou osy Σ ′ a Σ rovnoběžné (totéž platí pro dvojici rámců při pohledu z Σ .) Rovněž z pohledu Σ ′ jsou prostorové osy Σ ′ a Σ ′ ′ rovnoběžné (a totéž platí pro dvojici snímků při pohledu z Σ ′ ′ .) Toto je aplikace EVPR: Pokud u je rychlost Σ ′ vzhledem k Σ , pak u ′ = - u je rychlost Σ vzhledem k Σ “ . Rychlost 3 -vector u svírá stejné úhly vzhledem k souřadnicovým osám jak v základním, tak v základním systému. To však nebude znamenat snímek pořízený v některém ze dvou rámů kombinovaného systému v určitém čase, jak by měly být z níže uvedeného podrobného popisu zřejmé.

To je možné, protože posílení, řekněme, kladného směru z , zachovává ortogonalitu souřadných os. Obecnou podporu B ( w ) lze vyjádřit jako L = R ⁻¹ ( e _z , w ) B _z ( w ) R ( e _z , w ) , kde R ( e _z , w ) je rotace, která vezme z - osa ve směru w a B _z je podpora v novém z -směru . Každé otočení si zachovává vlastnost, že prostorové souřadnice jsou ortogonální. Zesílení se protáhnout (meziprodukt) z aretačním kroužkem pomocí faktoru y , při odchodu z meziproduktu x aretačním kroužkem a y aretačním kroužkem na místě. Skutečnost, že souřadnicové osy nejsou v této konstrukci po dvou po sobě jdoucích nekolineárních zesíleních nerovnoběžná, je přesným vyjádřením fenoménu Thomasovy rotace.

Rychlost å '' , jak je vidět v å je označován w _d = u ⊕ V , kde ⊕ odkazuje na relativistické přidání rychlosti (a ne obyčejné sčítání vektoru ), daný

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} = {\ frac {1} {1+{\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c^{2}}} }} \ left [\ left (1+{\ frac {1} {c^{2}}} {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {u}}} {1+ \ gamma _ {\ mathbf {u }}}} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ mathbf {u} +{\ frac {1} {\ gamma _ {\ mathbf {u}}}} \ mathbf {v} \ že jo],}$

( VA 2 )

a

${\ Displaystyle \ gamma _ {\ mathbf {u}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-{\ frac {| \ mathbf {u} |^{2}} {c^{2}}} }}}}$

je Lorentzův faktor rychlosti u (svislé pruhy | u | udávají velikost vektoru ). Rychlost u lze uvažovat o rychlosti rámce Σ ′ vzhledem k rámu Σ a v je rychlost objektu, řekněme částice nebo jiného rámce Σ ′ ′ vzhledem k Σ ′ . V současném kontextu jsou všechny rychlosti považovány za relativní rychlosti rámců, pokud není uvedeno jinak. Výsledek w = u ⊕ v je pak relativní rychlost rámce Σ ′ ′ vzhledem k rámu Σ .

I když přídavek rychlost je nelineární , non- asociativní , a non- komutativní , výsledek operace správně získává rychlost s velikostí menší než cca . Pokud by bylo použito běžné přidávání vektorů, bylo by možné získat rychlost o velikosti větší než c . Lorentz faktor γ obou složených rychlostí jsou stejné,

${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma _ {\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v}} = \ gamma _ {\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}} = \ gamma _ {\ mathbf {u }} \ gamma _ {\ mathbf {v}} \ vlevo (1+{\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c^{2}}} \ vpravo) \ ,,}$

a normy jsou stejné při výměně vektorů rychlosti

${\ Displaystyle | \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} | = | \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} | = {\ frac {c} {\ gamma}} {\ sqrt {\ gamma ^{2} -1}} \ ,.}$

Protože dvě možné kompozitní rychlosti mají stejnou velikost, ale různé směry, musí být jedna otočenou kopií druhé. Více podrobností a dalších vlastností, které zde nejsou přímo relevantní, najdete v hlavním článku.

Obrácená konfigurace

Zvažte obrácenou konfiguraci, jmenovitě snímek Σ se pohybuje rychlostí - u vzhledem k rámu Σ ′ a snímek Σ ′ se zase pohybuje rychlostí - v vzhledem k rámu Σ ′ ′ . Stručně řečeno, u → - u a v → - v podle EPVR. Pak rychlost Σ vzhledem k Σ ′ ′ je ( - v ) ⊕ ( - u ) ≡ - v ⊕ u . U EPVR je rychlost Σ ′ ′ vzhledem k Σ pak w _i = v ⊕ u . (A)

Jeden najde w _d ≠ w _i . I když mají stejnou velikost, existuje mezi nimi úhel. Na jedno zesílení mezi dvěma setrvačnými rámci existuje pouze jedna jednoznačná relativní rychlost (nebo její záporná hodnota). U dvou boostů se zdá , že zvláštní výsledek dvou nerovnoměrných relativních rychlostí místo jedné odporuje symetrii relativního pohybu mezi jakýmikoli dvěma snímky. Jaká je správná rychlost Σ ′ ′ vzhledem k Σ ? Protože tato nerovnost může být poněkud neočekávaná a potenciálně narušující EPVR, je tato otázka oprávněná.

Formulace z hlediska Lorentzových transformací

Rámeček Σ ′ ′ je zesílen rychlostí v vzhledem k jinému rámci Σ ′, který je zesílen rychlostí u vzhledem k jinému rámci Σ.

Rámeček Σ je zesílen rychlostí - u vzhledem k jinému rámci Σ ′, který je posílen rychlostí - v vzhledem k jinému rámci Σ ′ ′.

Původní konfigurace s vyměňovanými rychlostmi u a v .

Inverze vyměněné konfigurace.

Dvě boosty se rovnají boostu a rotaci

Odpověď na otázku spočívá v Thomasově rotaci a že je třeba být opatrný při určování, který souřadnicový systém je v každém kroku zapojen. Při pohledu z å , souřadnicové osy å a å "" se není rovnoběžné. I když si to lze jen těžko představit, protože oba páry (Σ, Σ ′) a (Σ ′, Σ ′ ′) mají rovnoběžné souřadnicové osy, je snadné to matematicky vysvětlit.

Přidání rychlosti neposkytuje úplný popis vztahu mezi rámci. Je třeba zformulovat úplný popis z hlediska Lorentzových transformací odpovídajících rychlostem. Lorentzův boost s jakoukoli rychlostí v (velikost menší než c ) je dán symbolicky

${\ Displaystyle X '= B (\ mathbf {v}) X}$

kde souřadnice a transformační matice jsou kompaktně vyjádřeny ve formě blokové matice

${\ Displaystyle X '= {\ begin {bmatrix} ct' \\\ mathbf {r} '\ end {bmatrix}} \ quad B (\ mathbf {v}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma _ {\ mathbf {v}} &-{\ dfrac {\ gamma _ {\ mathbf {v}}} {c}} \ mathbf {v} ^{\ mathrm {T}} \\-{\ dfrac {\ gamma _ { \ mathbf {v}}} {c}} \ mathbf {v} & \ mathbf {I} +{\ dfrac {\ gamma _ {\ mathbf {v}}^{2}} {\ gamma _ {\ mathbf { v}} +1}} {\ dfrac {\ mathbf {vv} ^{\ mathrm {T}}} {c ^{2}}} \\\ end {bmatrix}} \ quad X = {\ begin {bmatrix } ct \\\ mathbf {r} \ end {bmatrix}}}$

a zase r , r ', v jsou sloupcové vektory ( maticová transpozice z nich jsou řádkové vektory) a γ _v je Lorentzův faktor rychlosti v . Boost matice je symetrická matice . Inverzní transformace je dána vztahem

${\ Displaystyle B (\ mathbf {v})^{-1} = B (-\ mathbf {v}) \ quad \ Rightarrow \ quad X = B (-\ mathbf {v}) X '}$

Je jasné, že každé přípustné rychlosti v odpovídá čistá Lorentzova vzpruha,

${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ leftrightarrow B (\ mathbf {v}).}$

Přidání rychlosti u ⊕ v odpovídá složení boostů B ( v ) B ( u ) v uvedeném pořadí. B ( u ) působí na X , poté B ( v ) působí na B ( u ) X . Všimněte si následných operátorů, které působí vlevo v libovolném složení operátorů, takže B ( v ) B ( u ) by mělo být interpretováno jako zesílení s rychlostmi u pak v , ne v pak u . Provádění Lorentzových transformací násobením blokové matice,

${\ Displaystyle X '' = B (\ mathbf {v}) X '\ ,, \ quad X' = B (\ mathbf {u}) X \ quad \ Rightarrow \ quad X '' = \ Lambda X}$

složená transformační matice je

${\ Displaystyle \ Lambda = B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma &-\ mathbf {a} ^{\ mathrm {T}} \\-\ mathbf {b} & \ mathbf {M} \ end {bmatrix}}}$

a na oplátku

${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma _ {\ mathbf {v}} \ gamma _ {\ mathbf {u}} \ left (1+{\ frac {\ mathbf {v} ^{\ mathrm {T}} \ mathbf {u}} {c^{2}}} \ right)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ gamma} {c}} \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} \ ,, \ quad \ mathbf {b} = {\ frac {\ gamma} {c}} \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ gamma _ {\ mathbf {u}} \ gamma _ {\ mathbf {v}} {\ frac {\ mathbf {vu} ^{\ mathrm {T}}} {c ^ {2}}}+\ left (\ mathbf {I}+{\ dfrac {\ gamma _ {\ mathbf {v}}^{2}} {\ gamma _ {\ mathbf {v}} +1}} { \ frac {\ mathbf {vv} ^{\ mathrm {T}}} {c ^{2}}} \ right) \ left (\ mathbf {I} +{\ dfrac {\ gamma _ {\ mathbf {u} }^{2}} {\ gamma _ {\ mathbf {u}} +1}} {\ frac {\ mathbf {uu}^{\ mathrm {T}}} {c^{2}}} \ right) }$

Zde γ je složený Lorentzův faktor a a a b jsou sloupcové vektory 3 × 1 úměrné složeným rychlostem. Ukázalo se, že matice 3 × 3 M má geometrický význam.

Inverzní transformace jsou

${\ Displaystyle X = B (-\ mathbf {u}) X '\ ,, \ quad X' = B (-\ mathbf {v}) X '' \ quad \ Rightarrow \ quad X = \ Lambda ^{-1 }X''}$

a složení odpovídá negaci a výměně rychlostí,

${\ Displaystyle \ Lambda ^{-1} = B (-\ mathbf {u}) B (-\ mathbf {v}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ mathbf {b} ^{\ mathrm {T }} \\\ mathbf {a} & \ mathbf {M} ^{\ mathrm {T}} \ end {bmatrix}}}$

Jsou-li k výměně relativní rychlosti, při pohledu na bloky lambda , je možno pozorovat kompozitní transformaci být transpozice matice z lambda . To není totéž jako původní matice, takže složená Lorentzova transformační matice není symetrická, a tedy ani jediné zesílení. To se následně promítá do neúplnosti složení rychlosti z výsledku dvou boostů, symbolicky;

${\ Displaystyle B (\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v}) \ neq B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) \ ,.}$

Aby byl popis úplný, je nutné zavést rotaci před nebo po boostu. Tato rotace je Thomasova rotace . Rotace je dána vztahem

${\ displaystyle X '= R ({\ boldsymbol {\ theta}}) X}$

kde je matice rotace 4 × 4

${\ displaystyle R ({\ boldsymbol {\ theta}}) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \ mathbf {R} ({\ boldsymbol {\ theta}}) \ end {bmatrix}}}$

a R je matice rotace 3 × 3 . V tomto článku je použita reprezentace úhlu osy a θ = θ e je „vektor úhlu osy“, úhel θ vynásobený jednotkovým vektorem e rovnoběžným s osou. Rovněž se používá konvence prostorových souřadnic pro praváky (viz orientace (vektorový prostor) ), takže rotace jsou kladné ve smyslu proti směru hodinových ručiček podle pravidla pravé ruky a záporné ve směru hodinových ručiček. S těmito konvencemi; rotační matice otáčí jakýkoli 3d vektor kolem osy e úhlem θ proti směru hodinových ručiček ( aktivní transformace ), což má ekvivalentní účinek otáčení souřadnicového rámečku ve směru hodinových ručiček kolem stejné osy stejným úhlem (pasivní transformace).

Rotační matice je ortogonální matice , její transpozice se rovná její inverzní a negace buď úhlu nebo osy v rotační matici odpovídá rotaci v opačném smyslu, takže inverzní transformace je snadno získána

${\ Displaystyle R ({\ boldsymbol {\ theta}})^{-1} = R ({\ boldsymbol {\ theta}})^{\ mathrm {T}} = R (-{\ boldsymbol {\ theta} }) \ quad \ Rightarrow \ quad X = R (-{\ boldsymbol {\ theta}}) X '\ ,.}$

Boost, kterému následuje nebo kterému předchází rotace, je také Lorentzovou transformací, protože tyto operace ponechávají časový interval neměnný. Stejná Lorentzova transformace má dva dekompozice pro vhodně zvolené vektory rychlosti a úhlu osy;

${\ Displaystyle \ Lambda ({\ boldsymbol {\ theta}}, \ mathbf {u}) = R ({\ boldsymbol {\ theta}}) B (\ mathbf {u})}$

${\ Displaystyle \ Lambda (\ mathbf {v}, {\ boldsymbol {\ theta}}) = B (\ mathbf {v}) R ({\ boldsymbol {\ theta}})}$

a pokud se jedná o dva dekompozice jsou stejné, obě zesílení souvisí o

${\ Displaystyle B (\ mathbf {u}) = R (-{\ boldsymbol {\ theta}}) B (\ mathbf {v}) R ({\ boldsymbol {\ theta}})}}$

takže zesílení souvisí s transformací podobnosti matice .

Ukazuje se, že rovnost mezi dvěma zesíleními a rotací následovanou nebo předcházenou jediným zesílením je správná: rotace rámců odpovídá úhlovému oddělení složených rychlostí a vysvětluje, jak se jedna složená rychlost vztahuje na jeden snímek, zatímco druhá platí pro otočený rám. Rotace také narušuje symetrii v celkové Lorentzově transformaci, takže je nesymetrická. Pro toto konkrétní otočení nechť je úhel ε a osa je definována jednotkovým vektorem e , takže vektor úhlového osy je ε = ε e .

Dohromady dvě různá uspořádání dvou boostů znamenají dvě nerovnoměrné transformace. Každý z nich lze rozdělit na boost a pak na rotaci, nebo na rotaci a pak boost, čímž se zdvojnásobí počet nerovnocenných transformací na čtyři. Inverzní transformace jsou stejně důležité; poskytují informace o tom, co vnímá druhý pozorovatel. Celkově je třeba zvážit osm transformací, jen pro problém dvou Lorentzových boostů. Stručně řečeno, s následnými operacemi působícími vlevo jsou

Dvě posily ...	... rozdělit na posílení a poté na rotaci ...	... nebo rozdělit na rotaci a poté zvýšit.
${\ Displaystyle \ Lambda = B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma &-\ mathbf {a} ^{\ mathrm {T}} \\-\ mathbf {b} & \ mathbf {M} \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle \ Lambda = R ({\ boldsymbol {\ epsilon}}) B (c \ mathbf {a} /\ gamma)}$	${\ Displaystyle \ Lambda = B (c \ mathbf {b} /\ gamma) R ({\ boldsymbol {\ epsilon}})}}$
${\ Displaystyle \ Lambda ^{-1} = B (-\ mathbf {u}) B (-\ mathbf {v}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ mathbf {b} ^{\ mathrm {T }} \\\ mathbf {a} & \ mathbf {M} ^{\ mathrm {T}} \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle \ Lambda ^{-1} = B (-c \ mathbf {a} /\ gamma) R (-{\ boldsymbol {\ epsilon}}))}$	${\ Displaystyle \ Lambda ^{-1} = R (-{\ boldsymbol {\ epsilon}}) B (-c \ mathbf {b} /\ gamma)}$
${\ Displaystyle \ Lambda ^{\ mathrm {T}} = B (\ mathbf {u}) B (\ mathbf {v}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma &-\ mathbf {b} ^{\ mathrm {T}} \\-\ mathbf {a} & \ mathbf {M} ^{\ mathrm {T}} \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle \ Lambda ^{\ mathrm {T}} = B (c \ mathbf {a} /\ gamma) R (-{\ boldsymbol {\ epsilon}})}}$	${\ Displaystyle \ Lambda ^{\ mathrm {T}} = R (-{\ boldsymbol {\ epsilon}}) B (c \ mathbf {b} /\ gamma)}$
${\ Displaystyle (\ Lambda ^{\ mathrm {T}}) ^{-1} = B (-\ mathbf {v}) B (-\ mathbf {u}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ mathbf {a} ^{\ mathrm {T}} \\\ mathbf {b} & \ mathbf {M} \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle (\ Lambda ^{\ mathrm {T}}) ^{-1} = R ({\ boldsymbol {\ epsilon}}) B (-c \ mathbf {a} /\ gamma)}$	${\ Displaystyle (\ Lambda ^{\ mathrm {T}}) ^{-1} = B (-c \ mathbf {b} /\ gamma) R ({\ boldsymbol {\ epsilon}})}}$

Srovnáním boostů následovaných rotacemi, v původním nastavení, pozorovatel v Σ oznámení Σ ′ ′ se pohybuje rychlostí u ⊕ v, poté se otáčí ve směru hodinových ručiček (první diagram), a kvůli rotaci pozorovatel v Σ ′ ′ oznámení Σ na pohybujte se rychlostí - v ⊕ u a poté otáčejte proti směru hodinových ručiček (druhý diagram). Pokud jsou rychlosti vyměněny, pozorovatel v Σ oznámeních Σ ′ ′ se pohybuje rychlostí v ⊕ u, pak se otáčí proti směru hodinových ručiček (třetí diagram) a kvůli otáčení se pozorovatel v Σ ′ ′ oznámení Σ pohybuje rychlostí - u ⊕ v pak otočit ve směru hodinových ručiček (čtvrtý diagram).

Případy rotací a pak zesílení jsou podobné (nejsou zobrazeny žádné diagramy). Srovnáním rotací a následným zesílením se v původním nastavení pozorovatel v Σ oznámeních Σ ′ ′ otáčí ve směru hodinových ručiček, poté se pohybuje rychlostí v ⊕ u a kvůli otáčení se pozorovatel v Σ ′ ′ oznámení Σ otáčí proti směru hodinových ručiček a poté se pohybuje s rychlostí - u ⊕ v . Pokud jsou rychlosti vyměňovány, pozorovatel v Σ oznámeních Σ ′ ′ se otáčí proti směru hodinových ručiček, pak se pohybuje rychlostí u ⊕ v a kvůli otáčení se pozorovatel v Σ ′ ′ oznámení Σ otáčí ve směru hodinových ručiček, pak se pohybuje rychlostí - u ⊕ v .

Nalezení osy a úhlu Thomasovy rotace

Výše uvedené vzorce představují sčítání relativistické rychlosti a Thomasovu rotaci výslovně v obecných Lorentzových transformacích. Po celou dobu, v každé kompozici boostů a rozkladu na boost a rotaci, důležitý vzorec

${\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {R} +{\ frac {1} {\ gamma +1}} \ mathbf {ba} ^{\ mathrm {T}}}$

platí, což umožňuje úplnou definici matice otáčení z hlediska relativních rychlostí u a v . Úhel rotační matice v zobrazení osa – úhel lze zjistit ze stopy matice rotace , obecný výsledek pro jakoukoli osu je tr ( R ) = 1 + 2 cos ε . Když vezmeme stopu rovnice, dáme

${\ Displaystyle \ cos \ epsilon = {\ frac {(1+ \ gamma+\ gamma _ {\ mathbf {u}}+\ gamma _ {\ mathbf {v}})^{2}} {(1+ \ gamma) (1+ \ gamma _ {\ mathbf {u}}) (1+ \ gamma _ {\ mathbf {v}})}}-1}$

Úhel ε mezi a b je ne stejný jako úhel alfa mezi U a V .

V obou rámcích Σ a Σ ′ ′ je pro každou kompozici a rozklad další důležitý vzorec

${\ Displaystyle \ mathbf {b} = \ mathbf {Ra}}$

drží. Vektory a a b jsou ve skutečnosti příbuzné rotací, ve skutečnosti stejnou rotační maticí R, která otáčí souřadnicové rámce. Počínaje a , matice R to otáčí do b proti směru hodinových ručiček, sleduje jejich křížový součin (v konvenci vpravo)

${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {u}} \ gamma _ {\ mathbf {v}} (\ gamma ^{2} -1) (\ gamma+\ gamma _ {\ mathbf {v}}+\ gamma _ {\ mathbf {u}} +1)} {c^{2} (\ gamma _ {\ mathbf {v}} +1) ( \ gamma _ {\ mathbf {u}} +1) (\ gamma +1)}} \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}}$

definuje osu správně, proto je osa rovnoběžná s u × v . Velikost tohoto pseudovektoru není ani zajímavá, ani důležitá, pouze směr je, takže jej lze normalizovat do jednotkového vektoru

${\ Displaystyle \ mathbf {e} = {\ frac {\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}} {| \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} |}}}$

který stále zcela definuje směr osy bez ztráty informací.

Rotace je jednoduše „statická“ rotace a mezi snímky neexistuje relativní rotační pohyb , v boostu je relativní translační pohyb. Pokud se však rámy zrychlují, otáčený rám se otáčí úhlovou rychlostí. Tento efekt je známý jako Thomasova precese a vychází čistě z kinematiky následných Lorentzových boostů.

Nalezení Thomasovy rotace

Proces rozkladu popsaný (níže) lze provádět součinem dvou čistých Lorentzových transformací, aby se výslovně dosáhlo rotace souřadnicových os vyplývajících ze dvou po sobě jdoucích "zesílení". Obecně platí, že zahrnutá algebra je docela zakazující, více než dost, obvykle, aby odrazovala od jakéhokoli skutečného předvádění matice rotace

-  Goldstein (1980 , s. 286)

V zásadě je to docela snadné. Jelikož každá Lorentzova transformace je produktem boostu a rotace, následná aplikace dvou čistých boostů je čistým boostem, po kterém buď následuje nebo jemu předchází čistá rotace. Předpokládejme tedy

${\ Displaystyle \ Lambda = B (\ mathbf {w}) R.}$

Úkolem je z této rovnice shromáždit rychlost posílení w a rotaci R ze vstupů matice Λ . Souřadnice událostí souvisejí s

${\ Displaystyle x '^{\ mu} = {\ Lambda^{\ mu}} _ {\ nu} x^{\ nu}.}$

Invertováním tohoto vztahu se získá

${\ Displaystyle {(\ Lambda ^{-1}) ^{\ nu}} _ {\ mu} {\ Lambda ^{\ mu}} _ {\ rho} x ^{\ rho} = {(\ Lambda ^ {-1})^{\ nu}} _ {\ mu} x '^{\ mu},}$

nebo

${\ Displaystyle x^{\ nu} = {\ Lambda _ {\ mu}}^{\ nu} x '^{\ mu}.}$

Nastavte x ′ = ( ct ′, 0, 0, 0). Potom x ^ν zaznamená časoprostorovou polohu počátku primárního systému,

${\ Displaystyle x^{\ nu} = {\ Lambda _ {0}}^{\ nu} x '^{0},}$

nebo

${\ Displaystyle x = {\ begin {pmatrix} ct \\ x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ Lambda _ {0} }^{0} ct '\\ {\ Lambda _ {0}}^{1} ct' \\ {\ Lambda _ {0}}^{2} ct '\\ {\ Lambda _ {0}}^ {3} ct '\ end {pmatrix}}}$

Ale

${\ Displaystyle \ Lambda^{-1} = (B (\ mathbf {w}) R)^{-1} = R^{-1} B (-\ mathbf {w}),}$

Vynásobení této matice čistým otočením neovlivní nulové sloupce a řádky a

${\ Displaystyle x = {\ begin {pmatrix} ct \\ x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma ct '\\\ gamma \ beta _ {x} ct '\\\ gamma \ beta _ {y} ct' \\\ gamma \ beta _ {z} ct '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma ct' \\\ gamma w_ {x} t '\\\ gamma w_ {y} t' \\\ gamma w_ {z} t '\ end {pmatrix}} = \ gamma {\ begin {pmatrix} ct' \\ w_ {x} t '\\ w_ {y} t' \\ w_ {z} t '\ end {pmatrix}},}$

které bylo možné očekávat ze vzorce pro jednoduché zesílení ve směru x a pro vektor relativní rychlosti

${\ displaystyle {\ frac {1} {ct}} \ mathbf {x} = {\ frac {\ mathbf {w}} {c}} = {\ boldsymbol {\ beta}} = {\ begin {pmatrix} { \ frac {x_ {1}} {ct}} \\ {\ frac {x_ {2}} {ct}} \\ {\ frac {x_ {3}} {ct}} \ end {pmatrix}} = { \ begin {pmatrix} \ beta _ {x} \\\ beta _ {y} \\\ beta _ {z} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ Lambda _ {0}}^{ 1}/{\ Lambda _ {0}}^{0} \\ {\ Lambda _ {0}}^{2}/{\ Lambda _ {0}}^{0} \\ {\ Lambda _ {0 }}^{3}/{\ Lambda _ {0}}^{0} \ end {pmatrix}}.}$

Tak dané s Λ , jeden získá β a w o něco více než inspekce Λ ⁻¹ . (Samozřejmě lze w najít také pomocí přidání rychlosti podle výše.) Z w sestrojte B ( - w ) . Řešení pro R je pak

${\ Displaystyle R = B (-\ mathbf {w}) \ Lambda.}$

S odpovědí

${\ Displaystyle \ Lambda = RB (\ mathbf {w}),}$

člověk najde stejným způsobem

${\ Displaystyle R = \ Lambda B (-\ mathbf {w}).}$

Nalezení formálního řešení z hlediska parametrů rychlosti u a v zahrnuje nejprve formální vynásobení B ( v ) B ( u ) , formální převrácení, poté odečtení β _w z výsledku, formální vytvoření B ( - w ) z výsledku a, konečně formální vynásobení B ( - w ) B ( v ) B ( u ) . Mělo by být jasné, že se jedná o skličující úkol, a je obtížné interpretovat/identifikovat výsledek jako rotaci, i když je a priori jasné, že ano. Právě na tyto potíže odkazuje Goldsteinův citát nahoře. Problém byl v průběhu let důkladně studován za zjednodušujících předpokladů.

Skupinový teoretický původ

Další způsob, jak vysvětlit původ rotace, je podívat se na generátory skupiny Lorentz .

Zvýšení z rychlostí

Přechod z rychlosti do boostu se získá následujícím způsobem. Libovolné zvýšení je dáno pomocí

${\ Displaystyle e^{-{\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K}},}$

kde ζ je trojnásobek skutečných čísel sloužících jako souřadnice na podprostorovém podprostoru Lieovy algebry, takže (3, 1) překlenuté maticemi

${\ Displaystyle (K_ {1}, K_ {2}, K_ {3}) = \ left (\ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right ], \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right], \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \ end {smallmatrix}} \ right] \ right).}$

Vektor

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ zeta}} = {\ frac {\ boldsymbol {\ beta}} {\ beta}} \ tanh ^{-1} \ beta}$

se nazývá parametr zesílení nebo vektor zesílení , zatímco jeho normou je rychlost . Zde β je parametr rychlosti , velikost vektoru β = u / c .

Zatímco pro ζ má jeden 0 ≤ ζ <∞ , parametr β je omezen na 0 ≤ β <1 , a tedy 0 ≤ u < c . Tím pádem

${\ Displaystyle e^{-(\ tanh^{-1} \ beta) {\ frac {\ boldsymbol {\ beta}} {\ beta}} \ cdot \ mathbf {K}} = e^{-{\ tanh ^{-1} \ beta \ přes c \ beta} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {K}} \ equiv B (\ mathbf {u}) ~.}$

Množina rychlostí splňujících 0 ≤ u < c je otevřená koule v ℝ ³ a v literatuře se nazývá prostor přípustných rychlostí . Je vybaven hyperbolickou geometrií popsanou v propojeném článku.

Komutátory

Tyto generátory posilovači dávky, K ₁ , K ₂ , K ₃ , v různých směrech nejsou dojíždí. To má za následek, že dvě po sobě jdoucí boosty obecně nejsou čistým boostem, ale rotací předcházející boostu.

Zvažte posloupnost boostů ve směru x, pak ve směru y, rozbalte každé boost do prvního řádu

${\ Displaystyle e^{\ zeta _ {y} K_ {y}} e^{\ zeta _ {x} K_ {x}} = (I- \ zeta _ {y} K_ {y}+\ cdots) ( I- \ zeta _ {x} K_ {x}+\ cdots) = I- \ zeta _ {x} K_ {x}-\ zeta _ {y} K_ {y}+\ zeta _ {x} \ zeta _ {y} K_ {y} K_ {x}+\ cdots}$

pak

${\ Displaystyle e^{-\ zeta _ {y} K_ {y}} e^{-\ zeta _ {x} K_ {x}} = I+\ zeta _ {x} K_ {x}+\ zeta _ { y} K_ {y}+\ zeta _ {x} \ zeta _ {y} K_ {y} K_ {x}+\ cdots}$

a skupinový komutátor je

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} e^{-\ zeta _ {y} K_ {y}} e^{-\ zeta _ {x} K_ {x}} e^{\ zeta _ {y} K_ { y}} e^{\ zeta _ {x} K_ {x}} = I &+\ zeta _ {x} \ zeta _ {y} [K_ {y}, K_ {x}]-(\ zeta _ {x } K_ {x})^{2}-(\ zeta _ {y} K_ {y})^{2} \\ &+\ zeta _ {x}^{2} \ zeta _ {y} [K_ { x}, K_ {y}] K_ {x}+\ zeta _ {x} \ zeta _ {y}^{2} K_ {y} [K_ {y}, K_ {x}] \\ &+(\ zeta _ {x} \ zeta _ {y})^{2} K_ {y} K_ {x} K_ {y} K_ {x}+\ cdots \ end {zarovnaný}}}$

Tři z komutačních vztahů generátorů Lorentz jsou

${\ displaystyle [J_ {x}, J_ {y}] = J_ {z}}$

${\ displaystyle [K_ {x}, K_ {y}] =-J_ {z}}$

${\ displaystyle [J_ {x}, K_ {y}] = K_ {z}}$

kde závorka [ A , B ] = AB - BA je binární operace známá jako komutátor a ostatní vztahy lze nalézt tak, že vezmeme cyklické permutace složek x, y, z (tj. změníme x na y, y na z, az z x, opakujte).

Když se vrátíme ke skupinovému komutátoru, komutační vztahy generátorů boostu znamenají pro zesílení ve směru x pak y, dojde k rotaci kolem osy z. Pokud jde o rychlosti, úhel otáčení θ je dán vztahem

${\ Displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = \ tanh {\ frac {\ zeta _ {x}} {2}} \ tanh {\ frac {\ zeta _ {y}} {2} },}$

ekvivalentně vyjádřitelný jako

${\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sinh {\ zeta _ {x}} ~ \ sinh \ zeta _ {y}} {\ cosh \ zeta _ {x}+\ cosh \ zeta _ {y} }} ~.}$

Časoprostorové diagramy pro nekolineární zesílení

Známý pojem přidání vektoru pro rychlosti v euklidovské rovině lze provést v trojúhelníkovém útvaru, nebo protože je sčítání vektorů komutativní, vektory v obou uspořádáních geometricky tvoří rovnoběžník (viz „ paralelogramový zákon “). To neplatí pro sčítání relativistické rychlosti; místo toho vzniká hyperbolický trojúhelník , jehož hrany souvisejí s rychlostí posilování. Při změně pořadí rychlostí zesílení není možné, aby se výsledné rychlosti zesílení shodovaly.

Viz také

• Bargmann-Michel-Telegdiho rovnice
• Pauli – Lubanski pseudovector
• Vzorec pro přidání rychlosti#Hyperbolická geometrie

Poznámky pod čarou

Reference

• Macfarlane, AJ (1962). „O omezené Lorentzově skupině a skupinách s ní homomorfně souvisejících“. Journal of Mathematical Physics . 3 (6): 1116–1129. Bibcode : 1962JMP ..... 3.1116M . doi : 10,1063/1,1703854 . hdl : 2027/mdp.39015095220474 .
• Sexl Urbantke zmínka na str. 39 Lobachevského geometrii je třeba zavést do obvyklých Minkowského časoprostorových diagramů pro nekolineární rychlosti.
• Wigner, EP (1939), „O unitárních reprezentacích nehomogenní Lorentzovy skupiny“ , Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , doi : 10,2307/1968551 , JSTOR  1968551 , MR  1503456 , S2CID  121773411.
• Ben-Menahem, A. (1985). „Wignerova rotace znovu zvážena“. Dopoledne. J. Phys . 53 (1): 62–66. Bibcode : 1985AmJPh..53 ... 62B . doi : 10,1119/1,13953 .
• Ben-Menahem, S. (1986). „Thomasova precese a zakřivení rychlostního prostoru“. J. Math. Fyz . 27 (5): 1284–1286. Bibcode : 1986JMP .... 27.1284B . doi : 10,1063/1,527132 .
• Cushing, JT (1967). „Vektorové Lorentzovy transformace“. Dopoledne. J. Phys . 35 (9): 858–862. Bibcode : 1967AmJPh..35..858C . doi : 10,1119/1,1974267 .
• Ferraro, R., & Thibeault, M. (1999). „Obecná skladba boostů: elementární odvození Wignerovy rotace“. Evropský žurnál fyziky 20 (3): 143.
• Mocanu, CI (1992). „O paradoxu relativistického složení rychlosti a Thomasově rotaci“. Nalezeno. Fyz. Lett . 5 (5): 443–456. Bibcode : 1992FoPhL ... 5..443M . doi : 10,1007/BF00690425 . ISSN  0894-9875 . S2CID  122472788 .
• Rebilas, K. (2013). „Komentář k elementární analýze speciální relativistické kombinace rychlostí, Wignerovy rotace a Thomasovy precese“. Eur. J. Phys . 34 (3): L55 – L61. Bibcode : 2013EJPh ... 34L..55R . doi : 10,1088/0143-0807/34/3/L55 . (volný přístup)
• Rhodes, JA; Semon, MD (2005). „Relativistický rychlostní prostor, Wignerova rotace a Thomasova precese“. Dopoledne. J. Phys . 72 (7): 943–960. arXiv : gr-qc/0501070v1 . Bibcode : 2005APS..NES..R001S . doi : 10,1119/1,1652040 . S2CID  14764378 .
• Thomas, LH (1926). „Pohyb rotujícího elektronu“ . Příroda . 117 (2945): 514. Bibcode : 1926Natur.117..514T . doi : 10,1038/117514a0 . S2CID  4084303 .
• Ungar, AA (1988). „Thomasova rotace a parametrizace Lorentzovy skupiny“. Základy fyzikálních písmen . 1 (1): 57–81. Bibcode : 1988FoPhL ... 1 ... 57U . doi : 10,1007/BF00661317 . ISSN  0894-9875 . S2CID  121240925 .
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields , 1 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7
• Goldstein, H. (1980) [1950]. „Kapitola 7“. Klasická mechanika (2. vyd.). Čtení MA: Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-02918-5.
• Jackson, JD (1999) [1962]. „Kapitola 11“. Klasická elektrodynamika (3d ed.). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-30932-1.
• Jackson, JD (1975) [1962]. „Kapitola 11“ . Klasická elektrodynamika (2. vyd.). John Wiley & Sons . s.  542–545 . ISBN 978-0-471-43132-9.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939]. Klasická teorie polí . Kurz teoretické fyziky. 2 (4. vyd.). Butterworth – Heinemann . p. 38. ISBN 0-7506-2768-9.
• Ryder, LH (1996) [1985]. Teorie kvantového pole (2. vyd.). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0521478144.
• Sard, RD (1970). Relativistická mechanika - speciální relativita a dynamika klasických částic . New York: WA Benjamin. ISBN 978-0805384918.
• RU Sexl, HK Urbantke (1992). Relativita, částice skupin. Speciální relativita a relativistická symetrie ve fyzice polí a částic . Springer. ISBN 978-3211834435.
• Gourgoulhon, Eric (2013). Zvláštní relativita v obecných rámcích: Od částic k astrofyzice . Springer. p. 213. ISBN 978-3-642-37276-6.
• Varićak, Vladimir (1912). „Překlad: O neeuklidovské interpretaci teorie relativity“ . s. 103–127.
• Thomas LH Kinematika elektronu s osou, Phil. Mag. 7, 1927 http://www.clifford.org/drbill/csueb/4250/topics/thomas_papers/Thomas1927.pdf

Další čtení

• Relativistický prostor rychlosti, Wignerova rotace a Thomasova precese (2004) John A. Rhodes a Mark D. Semon
• Hyperbolická teorie speciální relativity (2006) od JF Barretta