Vývoj času - Time evolution

Časová evoluce je změna stavu způsobená plynutím času , použitelná na systémy s vnitřním stavem (nazývané také stavové systémy ). V této formulaci, čas nemusí být kontinuální parametr, ale může být diskrétní nebo dokonce konečný . V klasické fyzice se časový vývoj souboru tuhých těles řídí principy klasické mechaniky . Ve své nejzákladnější podobě tyto principy vyjadřují vztah mezi silami působícími na tělesa a jejich zrychlením daným Newtonovými pohybovými zákony . Tyto principy mohou být také ekvivalentně abstraktněji vyjádřeny hamiltonovskou mechanikou nebo Lagrangianovou mechanikou .

Koncept evoluce času může být použitelný i pro jiné stavové systémy. Například provoz Turingova stroje lze považovat za časový vývoj řídicího stavu stroje společně se stavem pásky (nebo případně více pásek) včetně polohy čtecí a zapisovací hlavy (nebo hlav) stroje. V tomto případě je čas diskrétní.

Stavové systémy mají často dvojí popis z hlediska stavů nebo z hlediska pozorovatelných hodnot. V takových systémech může vývoj času také odkazovat na změnu pozorovatelných hodnot. To je zvláště důležité v kvantové mechanice, kde Schrödingerův obraz a Heisenbergův obraz jsou (většinou) ekvivalentními popisy evoluce času.

Operátoři evoluce času

Uvažujme systém se stavovým prostorem X, pro který je evoluce deterministická a reverzibilní . U nás konkrétnost nechat také předpokládám čas je parametr, který se pohybuje nad souborem reálných čísel R . Časová evoluce je pak dána rodinou transformací bijektivního stavu

{\ displaystyle \ operatorname {F} _ {t, s}: X \ rightarrow X \ quad \ forall t, s \ in \ mathbb {R}}

F _{t , s} ( x ) je stav systému v čase t , jehož stav v čase s je x . Platí následující identita

{\ displaystyle \ operatorname {F} _ {u, t} (\ operatorname {F} _ {t, s} (x)) = \ operatorname {F} _ {u, s} (x).}

Chcete -li zjistit, proč je to pravda, předpokládejme, že x ∈ X je stav v čase s . Pak podle definice F, F _{t , s} ( x ) je stav systému v čase t a v důsledku toho použití definice ještě jednou, F _{u , t} (F _{t , s} ( x )) je stav v čase u . Ale toto je také F _{u , s} ( x ).

V některých kontextech v matematické fyzice se zobrazení F _{t , s} nazývají „operátory propagace“ nebo jednoduše propagátory . V klasické mechanice jsou propagátory funkce, které fungují ve fázovém prostoru fyzického systému. V kvantové mechanice jsou propagátory obvykle unitární operátoři v Hilbertově prostoru . Propagátory lze vyjádřit jako časově uspořádané exponenciály integrovaného hamiltoniánu. Asyptotické vlastnosti evoluce času jsou dány rozptylovou maticí .

Stavový prostor s význačným propagátorem se také nazývá dynamický systém .

Říct, že vývoj času je homogenní, to znamená

{\ displaystyle \ operatorname {F} _ {u, t} = \ operatorname {F} _ {ut, 0} \ quad \ forall u, t \ in \ mathbb {R}.}

V případě homogenního systému tvoří mapování G _t = F _{t , 0} jednoparametrickou skupinu transformací X , tj.

{\ displaystyle \ operatorname {G} _ {t+s} = \ operatorname {G} _ {t} \ operatorname {G} _ {s}.}

U nereverzibilních systémů jsou operátory šíření F _{t , s} definovány vždy, když t ≥ s, a splňují identitu šíření

{\ displaystyle \ operatorname {F} _ {u, t} (\ operatorname {F} _ {t, s} (x)) = \ operatorname {F} _ {u, s} (x). \ quad u \ geq t \ geq s.}

V homogenním případě jsou propagátory exponenciály hamiltoniánu.

V kvantové mechanice

V Schrödinger obrázku je Hamiltonian operátor vytváří časový vývoj kvantových stavů. Pokud je stav systému v čase , pak ${\ Displaystyle \ left | \ psi (t) \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle t}$

{\ Displaystyle H \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle.}

Toto je Schrödingerova rovnice . Vzhledem ke stavu v určitém počátečním čase ( ), pokud je nezávislý na čase, pak operátor unitárního časového vývoje je exponenciální operátor, jak je uvedeno v rovnici ${\ displaystyle t = 0}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ Displaystyle U (t)}$

{\ Displaystyle \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = U (t) \ left | \ psi (0) \ right \ rangle = e^{-iHt/\ hbar} \ left | \ psi (0) \ right \ rangle.}

Viz také

Reference

Obecné reference

Amann, H .; Arendt, W .; Neubrander, F .; Nicaise, S .; von Below, J. (2008), Amann, Herbert; Arendt, Wolfgang; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank M; Nicaise, Serge; von Below, Joachim (eds.), Functional Analysis and Evolution Equations: The Günter Lumer Volume , Basel: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-7643-7794-6 , ISBN 978-3-7643-7793-9, MR 2402015.
Jerome, JW; Polizzi, E. (2014), „Diskretizace časově závislých kvantových systémů: šíření operátoru evoluce v reálném čase“, Applicable Analysis , 93 (12): 2574–2597, arXiv : 1309,3587 , doi : 10,1080/00036811.2013.878863 , S2CID 17905545.
Lanford, OE (1975), „Časový vývoj velkých klasických systémů“, in Moser J. (ed.), Dynamické systémy, teorie a aplikace , Přednášky z fyziky, 38 , Berlín, Heidelberg: Springer, s. 1–111 , doi : 10.1007/3-540-07171-7_1 , ISBN 978-3-540-37505-0.
Lanford, OE; Lebowitz, JL (1975), „Časová evoluce a ergodické vlastnosti harmonických systémů“, in Moser J. (ed.), Dynamical Systems, Theory and Applications , Lecture Notes in Physics, 38 , Berlin, Heidelberg: Springer, pp. 144 –177, doi : 10.1007/3-540-07171-7_3 , ISBN 978-3-540-37505-0.

Lumer, Günter (1994), "Evoluční rovnice. Řešení problémů s nepravidelnou evolucí prostřednictvím zobecněných řešení a zobecněných počátečních hodnot. Aplikace na modely periodických šoků" , Annales Universitatis Saraviensis , Series Mathematicae, 5 (1), MR 1286099.

Languages

In other projects