Triangulace (průzkum) - Triangulation (surveying)

Triangulace ostrova Kodiak na Aljašce v roce 1929.

V průzkumu je triangulace proces určování polohy bodu měřením pouze úhlů k němu ze známých bodů na obou koncích pevné základní linie, nikoli měřením vzdáleností k bodu přímo jako při trilateraci . Bod pak lze zafixovat jako třetí bod trojúhelníku s jednou známou stranou a dvěma známými úhly.

Triangulace může také odkazovat na přesné průzkumy systémů velmi velkých trojúhelníků, nazývaných triangulační sítě . Vyplývalo to z práce Willebrorda Snella v letech 1615–17, který ukázal, jak lze bod lokalizovat z úhlů kolmých ze tří známých bodů, ale měřeno spíše v novém neznámém bodě než v předchozích pevných bodech, problém zvaný resekce . Chyba průzkumu je minimalizována, pokud je nejprve vytvořena síť trojúhelníků v největším vhodném měřítku. Body uvnitř trojúhelníků lze potom přesně lokalizovat s odkazem na ně. Tyto triangulační metody byly použity pro přesné rozsáhlé pozemní průzkumy až do vzestupu globálních navigačních satelitních systémů v 80. letech minulého století.

Zásada

Triangulaci lze použít k nalezení polohy lodi, pokud jsou známy polohy A a B. Pozorovatel na A měří úhel α , zatímco pozorovatel na B měří β .

Pozici jakéhokoli vrcholu trojúhelníku lze vypočítat, pokud je známa poloha jedné strany a dvou úhlů. Následující vzorce jsou přísně správné pouze pro rovný povrch. Pokud musí být povoleno zakřivení Země, musí být použita sférická trigonometrie .

Výpočet

Protože l je vzdálenost mezi A a B, máme:

${\ Displaystyle \ ell = {\ frac {d} {\ tan \ alpha}}+{\ frac {d} {\ tan \ beta}}}$

Pomocí goniometrických identit tan α = sin α / cos α a sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β je ekvivalentní:

${\ Displaystyle \ ell = d \ left ({\ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}}+{\ frac {\ cos \ beta} {\ sin \ beta}} \ right)}$

${\ Displaystyle \ ell = d \ {\ frac {\ sin (\ alpha +\ beta)} {\ sin \ alpha \ sin \ beta}}}$

proto:

${\ Displaystyle d = \ ell \ {\ frac {\ sin \ alpha \ sin \ beta} {\ sin (\ alpha +\ beta)}}}}$

Z toho je snadné určit vzdálenost neznámého bodu od obou pozorovacích bodů, jeho sever/jih a východ/západ odsazení od pozorovacího bodu a nakonec jeho úplné souřadnice.

Dějiny

Liu Hui (c. 263), Jak změřit výšku mořského ostrova. Ilustrace z vydání z roku 1726

Návrh společnosti Gemma Frisius z roku 1533 na použití triangulace pro tvorbu map

Síť triangulace devatenáctého století pro triangulaci Porýní-Hesenska

Triangulace se dnes používá k mnoha účelům, včetně průzkumu , navigace , metrologie , astrometrie , binokulárního vidění , modelové raketové techniky a směrování zbraní .

V této oblasti římské specializované zeměměři, agrimensores , zjevně nepoužívali triangulační metody ; ale byli zavedeni do středověkého Španělska prostřednictvím arabských pojednání o astrolábu , jako například Ibn al-Saffar ( † 1035). Abu Rayhan Biruni ( † 1048) také představil triangulační techniky k měření velikosti Země a vzdáleností mezi různými místy. Zdá se, že zjednodušené římské techniky koexistovaly se sofistikovanějšími technikami používanými profesionálními geodety. Ale to bylo vzácné, že tyto metody byly přeloženy do latiny (manuál o geometrii, Geomatria incerti auctoris jedenáctého století je vzácná výjimka), a takové techniky vypadaly, že pronikly jen pomalu do zbytku Evropy. Zvýšenou informovanost a používání těchto technik ve Španělsku může dosvědčit středověký Jacobův hůl , používaný konkrétně pro měření úhlů, který pochází asi z roku 1300; a výskyt přesně prozkoumaných pobřežních linií v Portolanských mapách , z nichž nejstarší přežívá, je datováno 1296.

Gemma Frisius

Kartograf Gemma Frisius na souši navrhl pomocí triangulace přesně lokalizovat vzdálená místa pro tvorbu map ve svém pamfletu z roku 1533 Libellus de Locorum descriptionendorum ratione ( Brožura týkající se způsobu popisu míst ), který svázal jako přílohu v novém edice nejprodávanější Cosmographica 1524 Petera Apiana . To se stalo velmi vlivným a tato technika se rozšířila po Německu, Rakousku a Nizozemsku. Astronom Tycho Brahe použil metodu ve Skandinávii a dokončil podrobnou triangulaci v roce 1579 ostrova Hven , kde sídlila jeho observatoř, s odkazem na klíčové orientační body na obou stranách Øresundu , přičemž v roce 1584 vytvořil plán sídla ostrova. v Anglii byl Frisius metoda zahrnuty v rostoucím počtu knih o průzkumu, který vyšel z poloviny století kupředu směřující, včetně William Cuningham ‚s Cosmographical glasse (1559), miláček Leigh pojednání Měření všech druhů zemí (1562), William Bourne 's Pravidla navigace (1571), Thomas Digges ' s Geometrická Practice pojmenovaný Pantometria (1571) a John Norden ‚s Surveyor je dialog (1607). Bylo navrženo, že Christopher Saxton mohl použít hrubou a připravenou triangulaci k umístění prvků do svých krajských map ze 70. let 15. století; jiní se však domnívají, že poté, co získal hrubá orientace na rysy z klíčových výhodných bodů, mohl odhadnout jejich vzdálenosti jednoduše hádáním.

Willebrord Snell

Moderní systematické používání triangulačních sítí vychází z práce nizozemského matematika Willebrorda Snella , který v roce 1615 změřil vzdálenost od Alkmaaru do Bredy , přibližně 72 mil (116 kilometrů), pomocí řetězce čtyřúhelníků obsahujících celkem 33 trojúhelníků. Snell podcenil vzdálenost o 3,5%. Obě města byla na poledníku oddělena o jeden stupeň , takže z jeho měření dokázal vypočítat hodnotu pro obvod Země - čin oslavovaný v názvu jeho knihy Eratosthenes Batavus ( Holandský Eratosthenes ), vydané v roce 1617 Snell vypočítal, jak by bylo možné opravit rovinné vzorce, aby se umožnilo zakřivení Země. Ukázal také, jak resekovat nebo vypočítat polohu bodu uvnitř trojúhelníku pomocí úhlů vrhaných mezi vrcholy v neznámém bodě. Ty mohly být měřeny mnohem přesněji než ložiska vrcholů, která závisela na kompasu. Tím byla stanovena klíčová myšlenka nejprve prozkoumat rozsáhlou primární síť kontrolních bodů a později lokalizovat sekundární vedlejší body v rámci této primární sítě.

Další vývoj

Snellovy metody převzal Jean Picard, který v letech 1669–70 zkoumal jeden stupeň zeměpisné šířky podél pařížského poledníku pomocí řetězce třinácti trojúhelníků táhnoucích se severně od Paříže k hodinové věži Sourdon poblíž Amiens . Díky vylepšení přístrojů a přesnosti je Picard's hodnoceno jako první přiměřeně přesné měření poloměru Země. V průběhu příštího století tuto práci rozšířila především rodina Cassini: mezi lety 1683 a 1718 Jean-Dominique Cassini a jeho syn Jacques Cassini prozkoumali celý pařížský poledník od Dunkerque po Perpignan ; a mezi 1733 a 1740 Jacques a jeho syn César Cassini podnikli první triangulaci celé země, včetně nového průzkumu poledníkového oblouku , což vedlo k vydání první mapy Francie postavené na přísných principech v roce 1745.

Triangulační metody byly pro místní mapování již dobře zavedené, ale teprve koncem 18. století začaly ostatní země zavádět podrobné průzkumy triangulační sítě pro mapování celých zemí. Principal Triangulační Velké Británie byla zahájena v Ordnance Survey v roce 1783, i když není dokončena až do roku 1853; a Velký trigonometrický průzkum Indie, který nakonec pojmenoval a zmapoval Mount Everest a další himálajské vrcholy, byl zahájen v roce 1801. Pro napoleonský francouzský stát byla francouzská triangulace rozšířena Jean-Josephem Tranchotem do německého Porýní od roku 1801, následně dokončil po roce 1815 pruský generál Karl von Müffling . Mezitím byl slavný matematik Carl Friedrich Gauss v letech 1821 až 1825 pověřen triangulací hannoverského království , pro kterou vyvinul metodu nejmenších čtverců, aby našel nejvhodnější řešení pro problémy velkých soustav simultánních rovnic, které dostaly více reálných- světová měření než neznámá.

V současné době jsou rozsáhlé triangulační sítě pro určování polohy do značné míry nahrazeny globálními navigačními satelitními systémy zavedenými od 80. let minulého století, ale mnoho kontrolních bodů dřívějších průzkumů stále přežívá jako cenné historické prvky v krajině, jako jsou konkrétní pilíře triangulace zřízeno pro retriangulaci Velké Británie (1936–1962) nebo triangulační body zřízené pro Struve Geodetic Arc (1816–1855), nyní plánované jako místo světového dědictví UNESCO .

Viz také

• Anglo-francouzský průzkum (1784–1790)
• Bilbyho věž
• Multilaterace , kde je bod vypočítán pomocí časového rozdílu příjezdu mezi jinými známými body
• Paralaxa
• Resekce (orientace)
• SOCETNÍ SADA
• Hvězdná triangulace
• Stereopsis
• Spouštěcí bod

Reference

Další čtení

• Bagrow, L. (1964) Dějiny kartografie ; revidováno a rozšířeno o RA Skelton. Harvard University Press.
• Crone, GR (1978 [1953]) Mapy a jejich tvůrci: Úvod do dějin kartografie (5. vydání).
• Tooley, RV & Bricker, C. (1969) Historie kartografie: 2500 let map a tvůrců map
• Keay, J. (2000) The Great Arc: The Dramatic Tale of How India was Mapped and Everest was Named . Londýn: Harper Collins. ISBN  0-00-257062-9 .
• Murdin, P. (2009) Full Meridian of Glory: Nebezpeční dobrodružství v soutěži o měření Země . Springer. ISBN  978-0-387-75533-5 .