Interval jednotek - Unit interval

Jednotka interval jako podmnožina z reálné osy

V matematiky je interval jednotka je uzavřený interval [0,1] , to znamená, že množina všech reálných čísel , které jsou větší než nebo rovno 0 a menší nebo roven 1. To je často označován I (velké písmeno I ). Kromě své role v reálné analýze se jednotkový interval používá ke studiu teorie homotopie v oblasti topologie .

V literatuře je termín „jednotkový interval“ někdy aplikován na další tvary, které by mohl mít interval od 0 do 1: (0,1] , [0,1) a (0,1) . Zápis I je však nejčastěji vyhrazen pro uzavřený interval [0,1] .

Vlastnosti

Jednotkový interval je úplný metrický prostor , homeomorfní k rozšířené reálné číselné ose . Jako topologický prostor je kompaktní , stahovatelný , propojený s cestou a místně propojený s cestou . Hilbertův krychle se získá tím, že topologické produkt countably mnoha kopiemi jednotky intervalu.

V matematické analýze je jednotkový interval jednorozměrné analytické potrubí, jehož hranice se skládá ze dvou bodů 0 a 1. Jeho standardní orientace se pohybuje od 0 do 1.

Jednotkový interval je zcela uspořádaná množina a úplná mřížka (každá podmnožina jednotkového intervalu má supremum a infimum ).

Mohutnost

Velikost nebo mohutnost sady je počet prvků, které obsahuje.

Interval jednotka je podmnožina z reálných čísel . Má však stejnou velikost jako celá sada: mohutnost kontinua . Protože reálná čísla lze použít k reprezentaci bodů podél nekonečně dlouhé čáry , znamená to, že úsečka o délce 1, která je součástí této přímky, má stejný počet bodů jako celá čára. Kromě toho, že má stejný počet bodů jako čtverce o ploše 1, jako krychle o objemu 1, a to i jako neomezené n rozměrné euklidovském prostoru (viz křivka vyplňující prostor ). ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Počet prvků (reálných čísel nebo bodů) ve všech výše uvedených sadách je nepočítatelný , protože je přísně větší než počet přirozených čísel .

Zobecnění

Interval [-1,1] , s délkou dva, vyznačeny pozitivních a negativních jednotek, se často vyskytuje, jako je například v rozsahu od trigonometrických funkcí sinus a kosinus a hyperbolická funkce tanh. Tento interval se může použít pro doménu z inverzní funkce . Pokud je například 𝜃 omezeno na [−π/2, π/2], pak je v tomto intervalu a je tam definován arcsine. ${\ Displaystyle \ sin \ theta}$

Někdy se termín „jednotkový interval“ používá k označení objektů, které hrají roli v různých oblastech matematiky, analogicky s rolí, kterou hraje [0,1] v teorii homotopy. Například v teorii toulců je (analogem) jednotkového intervalu graf, jehož sada vrcholů je a který obsahuje jedinou hranu e, jejíž zdroj je 0 a jehož cíl je 1. Lze pak definovat pojem homotopy mezi toul homomorfismy analogické pojmu homotopy mezi souvislými mapami. ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$

Fuzzy logika

V logice , jednotka interval [0,1] může být interpretována jako zobecnění booleovské domény {0,1}, přičemž v tomto případě spíše než pouze při hodnoty 0 nebo 1, hodnota mezi a včetně 0 a 1 lze předpokládat . Algebraicky je negace (NOT) nahrazena 1 - x ; spojka (AND) je nahrazena násobením ( xy ); a disjunkce (OR) je podle De Morganových zákonů definována jako 1 - (1 - x ) (1 - y ) .

Interpretace těchto hodnot jako logických pravdivostních hodnot poskytuje logiku s více hodnotami , která tvoří základ pro fuzzy logiku a pravděpodobnostní logiku . V těchto interpretacích je hodnota interpretována jako „stupeň“ pravdy - do jaké míry je tvrzení pravdivé, nebo pravděpodobnost, že tvrzení je pravdivé.

Viz také

• Intervalový zápis
• Jednotkový čtverec , krychle , kruh , hyperbola a koule
• Jednotkový impuls
• Jednotkový vektor

Reference

• Robert G. Bartle, 1964, The Elements of Real Analysis , John Wiley & Sons.