Cabibbo – Kobayashi – Maskawa matrix - Cabibbo–Kobayashi–Maskawa matrix

Ve standardním modelu z částicové fyziky , v Cabibbův-Kobayashi-Maskawa matrici , CKM matice , smícháním tvarohu matrice nebo KM matice je jednotková matice , která obsahuje informace o síle příchuti -changing slabé interakce . Technicky to určuje nesoulad kvantových stavů z kvarků , když se šíří volně a když se zúčastnit slabých interakcí . Je to důležité pro pochopení porušení CP . Tato matice byla zavedena pro tři generace kvarků Makoto Kobayashi a Toshihide Maskawa , čímž byla přidána jedna generace k matici, kterou dříve představil Nicola Cabibbo . Tato matice je také rozšířením mechanismu GIM , který zahrnuje pouze dvě ze tří současných rodin kvarků.

Matice

Předchůdce - Cabibbo matrix

Cabibboův úhel představuje rotaci hmotného vlastního vektorového prostoru tvořeného hmotnými vlastními státy do slabého vektorového prostoru vlastních, tvořeného slabými vlastními čísly θ _c = 13,02 °.${\ Displaystyle | d \ rangle, \, | s \ rangle}$${\ Displaystyle | d '\ rangle \ ,, ~ | \, s' \ rangle ~.}$

V roce 1963 Nicola Cabibbo představil Cabibboův úhel ( θ _c ), aby byla zachována univerzálnost slabé interakce . Cabibbo se inspiroval předchozí prací Murraye Gell-Manna a Maurice Lévyho na efektivně rotovaných nestranných a podivných vektorových a axiálních slabých proudech, na které odkazuje.

Ve světle současných konceptů (kvarky ještě nebyly navrženy), Cabibboův úhel souvisí s relativní pravděpodobností, že se dolní a podivné kvarky rozpadnou na vzestupné kvarky (| V _ud | ²   a | V _us | ²  , v daném pořadí). V žargonu částicové fyziky je objekt, který se páruje s kvarkem up prostřednictvím slabé interakce nabitého proudu, superpozicí kvarků down-type, zde označených d ' . Matematicky to je:

${\ Displaystyle d '= V _ {\ mathrm {ud}} \; d ~~+~~ V _ {\ mathrm {us}} \; s ~,}$

nebo pomocí Cabibbo úhlu:

${\ Displaystyle d '= \ cos \ theta _ {\ mathrm {c}} \; d ~~+~~ \ sin \ theta _ {\ mathrm {c}} \; s ~.}$

Použití aktuálně přijatých hodnot pro | V _ud | a | V _nás | (viz níže), úhel Cabibbo lze vypočítat pomocí

${\ Displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {\, | V _ {\ mathrm {us}} | \,} {| V _ {\ mathrm {ud}} |}} = { \ frac {0,22534} {0,97427}} \ quad \ Rightarrow \ quad \ theta _ {\ mathrm {c}} = ~ 13,02^{\ circ} ~.}$

Když byl kvark kouzla objeven v roce 1974, bylo si všimnuto, že dolů a podivný kvark se může rozpadnout na kvark nahoru nebo kouzlo, což vede ke dvěma sadám rovnic:

${\ Displaystyle d '= V _ {\ mathrm {ud}} \; d ~~+~~ V _ {\ mathrm {us}} \; s ~,}$

${\ Displaystyle s '= V _ {\ mathrm {cd}} \; d ~~+~~ V _ {\ mathrm {cs}} \; s ~;}$

nebo pomocí Cabibbo úhlu:

${\ Displaystyle d '= ~~~ \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \; d ~~+~~ \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \; s ~, }$

${\ Displaystyle s '=-\ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \; d ~~+~~ \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \; s ~.}$

To lze také zapsat do maticového zápisu jako:

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} d '\\ s' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} V _ {\ mathrm {ud}} & V _ {\ mathrm {us}} \\ V_ {cd} & V_ {cs} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} d \\ s \ end {bmatrix}} ~,}$

nebo pomocí Cabibbo úhlu

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} d '\\ s' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} ~~ \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} & \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \\-\ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} & \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \\\ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} d \\ s \ end {bmatrix}} ~,}$

kde různé | V _ij | ² představují pravděpodobnost, že se kvark chuti j rozpadne na kvark chuti i . Tato matice rotace 2 × 2  se nazývá „Cabibbo matice“ a následně byla rozšířena na matici CKM 3 × 3.

Obrazová reprezentace režimů rozpadu šesti kvarků, přičemž hmotnost se zvyšuje zleva doprava.

CKM matice

Diagram znázorňující cesty rozpadu v důsledku nabité slabé interakce a určité indikace jejich pravděpodobnosti. Intenzita čar je dána parametry CKM

V roce 1973 Kobayashi a Maskawa , pozorující, že porušení CP nelze vysvětlit na čtyřkvarkovém modelu, zobecnili Cabibboovu matici na Cabibbo – Kobayashi – Maskawa matici (nebo CKM matici), aby sledovali slabé rozpady tří generací kvarky:

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} d '\\ s' \\ b '\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} V _ {\ mathrm {ud}} & V _ {\ mathrm {us}} & V_ { \ mathrm {ub}} \\ V _ {\ mathrm {cd}} & V _ {\ mathrm {cs}} & V _ {\ mathrm {cb}} \\ V _ {\ mathrm {td}} & V _ {\ mathrm {ts}} & V _ {\ mathrm {tb}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} d \\ s \\ b \ end {bmatrix}} ~.}$

Vlevo jsou slabí interakční dubletoví partneři kvarků down-type a vpravo je matice CKM spolu s vektorem hmotnostních vlastních čísel kvarků down-type. Matice CKM popisuje pravděpodobnost přechodu z jednoho kvarku chuti j do jiného kvarku chuti i . Tyto přechody jsou úměrné | V _ij | ² .

V roce 2020 bylo nejlepším určením velikostí prvků matice CKM:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} | V_ {ud} | & | V_ {us} | & | V_ {ub} | \\ | V_ {cd} | & | V_ {cs} | & | V_ {cb} | \\ | V_ {td} | & | V_ {ts} | & | V_ {tb} | \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0,97370 \ pm 0,00014 & 0,2245 \ pm 0,0008 & 0,00382 \ pm 0,00024 \\ 0,221 \ pm 0,004 & 0,987 \ pm 0,011 & 0,0410 \ pm 0,0014 \\ 0,0080 \ pm 0,0003 & 0,0388 \ pm 0,0011 & 1,013 \ pm 0,030 \ end {bmatrix}}.}$

Pomocí těchto hodnot lze zkontrolovat unitaritu CKM matice. Zejména jsme zjistili, že maticové prvky první řady poskytují:${\ Displaystyle | V _ {\ mathrm {ud}} |^{2}+| V _ {\ mathrm {us}} |^{2}+| V _ {\ mathrm {ub}} |^{2} = 0,9985 \ pm 0,0005 ~;}$

Přestože se hodnota zdá velmi téměř 1, její nesrovnalost je 0,0015; se standardní chybou 0,0005 jsou to 3  standardní odchylky od očekávané hodnoty 1, ve zjevném porušení podmínky unitarity. Toto je zajímavý náznak fyziky nad rámec standardního modelu.

Volba použití kvarků down-type v definici je konvencí a nepředstavuje fyzicky preferovanou asymetrii mezi kvarky typu up a down. Ostatní konvence jsou stejně platné: Hmotnostní vlastní čísla u , c , a t vzestupných kvarků mohou ekvivalentně definovat matici z hlediska jejich slabých interakčních partnerů u ' , c' a t ' . Protože matice CKM je unitární, její inverze je stejná jako její konjugovaná transpozice , kterou alternativní volby používají; jeví se jako stejná matice, v mírně pozměněné formě.

Obecná konstrukce pouzdra

Pro zobecnění matice spočítejte počet fyzicky důležitých parametrů v této matici, V, které se objevují v experimentech. Pokud existuje N generací kvarků (2 N příchutí ), pak

• N  x  N unitární matice (to znamená, že matice V tak, že V ^† V = I , kde V ^† je konjugovat přemístit z V a I je matice identity) vyžaduje, N ² , které mají být uvedené skutečné parametry.
• 2 N  - 1 z těchto parametrů nejsou fyzicky významné, protože jedna fáze může být absorbována do každého kvarkového pole (hmotnostních vlastních i slabých vlastních), ale matice je nezávislá na společné fázi. Celkový počet volných proměnných nezávislých na volbě fází základních vektorů je tedy N ²  - (2 N  - 1) = ( N  - 1) ² .
  • Z nich, 1/2N ( N  - 1) jsou úhly otáčení nazývanéúhly míchání kvarku.
  • Zbývající 1/2( N  - 1) ( N  - 2) jsou složité fáze, které způsobují narušení CP .

N = 2

Pro případ N  = 2 existuje pouze jeden parametr, což je směšovací úhel mezi dvěma generacemi kvarků. Historicky to byla první verze CKM matice, když byly známy pouze dvě generace. Říká se mu Cabibboův úhel podle jeho vynálezce Nicoly Cabibba .

N = 3

Pro případ standardního modelu ( N  = 3) existují tři směšovací úhly a jedna komplexní fáze narušující CP.

Pozorování a předpovědi

Cabibboova myšlenka pocházela z potřeby vysvětlit dva pozorované jevy:

1. přechody u ↔ d , e ↔ ν _e , a u Stabilizátory ↔ ν _{u Stabilizátory} mají podobné amplitudy.
2. přechody se změnou neobvyklosti ? S = 1 měl amplitudy rovná 1 / 4 těch, s ? S = 0 .

Cabibboovo řešení spočívalo v postulování slabé univerzálnosti k vyřešení prvního problému spolu s mísícím úhlem θ _c , nyní nazývaným Cabibboův úhel , mezi kvarky d a s k vyřešení druhého.

U dvou generací kvarků neexistují žádné fáze narušující CP, jak ukazuje počítání v předchozí části. Vzhledem k tomu, porušení CP byl již byl viděn v roce 1964, v neutrálních Kaon rozpadů je standardní model , který se objevil krátce po jasně naznačuje existenci třetí generace kvarků, as Kobayashi a Maskawa poukázal na to v roce 1973. Tento objev kvarku u Fermilab (skupina Leona Ledermana ) v roce 1976 proto okamžitě zahájilo hledání nejvyššího kvarku , chybějícího kvarku třetí generace.

Všimněte si však, že konkrétní hodnoty, které úhly nabývají, nejsou předpovědí standardního modelu: Jsou to volné parametry . V současné době neexistuje obecně uznávaná teorie, která by vysvětlovala, proč by úhly měly mít hodnoty měřené v experimentech.

Slabá univerzálnost

Omezení unitarity CKM matice na diagonálních podmínkách lze zapsat jako

${\ Displaystyle \ sum _ {k} | V_ {ik} |^{2} = \ sum _ {k} | V_ {ki} |^{2} = 1}$

pro všechny generace i . To znamená, že součet všech spojek jakéhokoliv jednoho z up typu kvarků do všech kvarků v dole typu je stejná pro všechny generace. Tento vztah se nazývá slabá univerzálnost a poprvé na něj poukázal Nicola Cabibbo v roce 1967. Teoreticky je to důsledek skutečnosti, že všechny dublety SU (2) se spojují se stejnou silou s vektorovými bosony slabých interakcí. Byl podroben pokračujícím experimentálním testům.

Unitářské trojúhelníky

Zbývající omezení jednotnosti matice CKM lze zapsat do formuláře

${\ Displaystyle \ sum _ {k} V_ {ik} V_ {jk}^{*} = 0 ~.}$

Pro libovolná pevná a různá i a j je to omezení na tři komplexní čísla, jedno pro každé k , které říká, že tato čísla tvoří strany trojúhelníku v komplexní rovině . Existuje šest možností i a j (tři nezávislé), a proto šest takových trojúhelníků, z nichž každý se nazývá unitární trojúhelník . Jejich tvary mohou být velmi odlišné, ale všechny mají stejnou oblast, což může souviset s fází narušování CP . Oblast zmizí pro specifické parametry ve standardním modelu, u kterých by nedošlo k porušení CP . Orientace trojúhelníků závisí na fázích kvarkových polí.

Populární veličina dosahující dvojnásobku plochy jednotkového trojúhelníku je Jarlskogův invariant ,

${\ Displaystyle J = c_ {12} c_ {13}^{2} c_ {23} s_ {12} s_ {13} s_ {23} \ sin \ delta \ cca 3 \ cdot 10^{-5}.}$

Pro řecké indexy označující kvarky nahoru a latinské down kvarky je 4-tenzor dvojnásobně antisymetrický, ${\ Displaystyle (\ alpha, \ beta; i, j) \ equiv \ operatorname {Im} (V _ {\ alpha i} V _ {\ beta j} V _ {\ alpha j}^{*} V _ {\ beta i} ^{*})}$

${\ Displaystyle (\ beta, \ alpha; i, j) =-(\ alpha, \ beta; i, j) = (\ alpha, \ beta; j, i).}$

Až do antisymetrie má pouze 9 = 3 × 3 nemizející složky, které lze pozoruhodně z jednotnosti V prokázat, že jsou všechny co do velikosti identické , tj.

${\ Displaystyle (\ alpha, \ beta; i, j) = J ~ {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & -1 \\-1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \ end {bmatrix}} _ {\ alpha \ beta} \ otimes {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & -1 \\-1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \ end {bmatrix}} _ {ij},}$

aby

${\ Displaystyle J = (u, c; s, b) = (u, c; d, s) = (u, c; b, d) = (c, t; s, b) = (c, t; d, s) = (c, t; b, d) = (t, u; s, b) = (t, u; b, d) = (t, u; d, s).}$

Protože tři strany trojúhelníků jsou otevřené přímému experimentu, stejně jako tři úhly, je třídou testů standardního modelu zkontrolováno, zda se trojúhelník zavírá. K tomu slouží moderní série experimentů, které probíhají v japonských experimentech BELLE a American BaBar , stejně jako v LHCb ve švýcarském CERNu.

Parametrizace

K úplné definici matice CKM jsou zapotřebí čtyři nezávislé parametry. Bylo navrženo mnoho parametrizací a tři z nejběžnějších jsou uvedeny níže.

Parametry KM

Původní parametrizace Kobayashi a Maskawa používala tři úhly ( θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) a fázový úhel narušující CP ( δ ). θ ₁ je Cabibboův úhel. Kosiny a sinusy úhlů θ _k jsou označeny c _k a s _k , pro k = 1, 2, 3 .       

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} c_ {1} &-s_ {1} c_ {3} &-s_ {1} s_ {3} \\ s_ {1} c_ {2} & c_ {1} c_ {2 } c_ {3} -s_ {2} s_ {3} e^{i \ delta} & c_ {1} c_ {2} s_ {3}+s_ {2} c_ {3} e^{i \ delta} \ \ s_ {1} s_ {2} & c_ {1} s_ {2} c_ {3}+c_ {2} s_ {3} e^{i \ delta} & c_ {1} s_ {2} s_ {3}- c_ {2} c_ {3} e^{i \ delta} \ end {bmatrix}}.}$

„Standardní“ parametry

„Standardní“ parametrizace matice CKM používá tři Eulerovy úhly ( θ ₁₂ , θ ₂₃ , θ ₁₃ ) a jednu fázi narušující CP ( δ ₁₃ ). θ ₁₂ je Cabibboův úhel. Spojky mezi generacemi kvarků j a k zmizí, pokud θ _jk = 0 . Kosiny a sinusy úhlů jsou označeny c _jk a s _jk .     

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_ {23} & s_ {23} \\ 0 & -s_ {23} & c_ {23} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } c_ {13} & 0 & s_ {13} e^{-i \ delta _ {13}} \\ 0 & 1 & 0 \\-s_ {13} e^{i \ delta _ {13}} & 0 & c_ {13} \ end {bmatrix }} {\ begin {bmatrix} c_ {12} & s_ {12} & 0 \\-s_ {12} & c_ {12} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} c_ { 12} c_ {13} & s_ {12} c_ {13} & s_ {13} e^{-i \ delta _ {13}} \\-s_ {12} c_ {23} -c_ {12} s_ {23} s_ {13} e^{i \ delta _ {13}} & c_ {12} c_ {23} -s_ {12} s_ {23} s_ {13} e^{i \ delta _ {13}} & s_ {23 } c_ {13} \\ s_ {12} s_ {23} -c_ {12} c_ {23} s_ {13} e^{i \ delta _ {13}} &-c_ {12} s_ {23}- s_ {12} c_ {23} s_ {13} e^{i \ delta _ {13}} & c_ {23} c_ {13} \ end {bmatrix}}. \ end {aligned}}}$

Hodnoty standardních parametrů z roku 2008 byly:

θ ₁₂ =13,04 ± 0,05 °, θ ₁₃ =0,201 ± 0,011 °, θ ₂₃ =2,38 ± 0,06 °

a

δ ₁₃ =1,20 ± 0,08  radiánů =68,8 ± 4,5 °.

Wolfensteinovy ​​parametry

Třetí parametrizaci CKM matice zavedl Lincoln Wolfenstein se čtyřmi parametry λ , A , ρ a η , které by všechny 'zmizely' (byly by nulové), pokud by nedošlo ke spojení. Čtyři Wolfensteinovy ​​parametry mají tu vlastnost, že všechny jsou řádu 1 a souvisejí se 'standardní' parametrizací:

λ = s ₁₂

A λ ² = s ₂₃

A λ ³ ( ρ - i η ) = s ₁₃ e ^{- i δ}

Wolfensteinova parametrizace matice CKM je aproximací standardní parametrizace. Chcete -li objednat λ ³ , je to:

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 1-{\ tfrac {1} {2}} \ lambda ^{2} & \ lambda & A \ lambda ^{3} (\ rho -i \ eta) \\-\ lambda & 1-{\ tfrac {1} {2}} \ lambda ^{2} & A \ lambda ^{2} \\ A \ lambda ^{3} (1- \ rho -i \ eta) &-A \ lambda ^ {2} & 1 \ end {bmatrix}}+O (\ lambda ^{4}).}$

Porušení CP lze určit měřením ρ - i η .

Pomocí hodnot předchozí sekce pro matici CKM je nejlepším určením Wolfensteinových parametrů:

λ =0,2257+0,0009
−0,0010,     A =0,814+0,021
-0,022,     Ρ =0,1350,031
-0,016, a   η =0,349+0,015
--0,017.

Nobelova cena

V roce 2008 sdíleli Kobayashi a Maskawa jednu polovinu Nobelovy ceny za fyziku „za objev původu porušené symetrie, který předpovídá existenci nejméně tří rodin kvarků v přírodě“. Někteří fyzikové měli údajně hořké pocity ze skutečnosti, že výbor pro Nobelovu cenu nedokázal ocenit práci Cabibba , jehož předchozí práce úzce souvisela s prací Kobayashiho a Maskawy. Cabibbo byl požádán o reakci na cenu a raději se nevyjádřil.

Viz také

• Formulace standardního modelu a porušení CP
• Kvantová chromodynamika , chuť a silný problém CP
• Weinbergův úhel , podobný úhel pro míchání Z a fotonů
• Matice Pontecorvo – Maki – Nakagawa – Sakata , ekvivalentní směšovací matice pro neutrina
• Koideův vzorec

Reference

Další čtení a externí odkazy

• DJ Griffiths (2008). Úvod do elementárních částic (2. vyd.). John Wiley & Sons . ISBN 978-3-527-40601-2.

• B. Povh; a kol. (1995). Částice a jádra: Úvod do fyzikálních pojmů . Springer . ISBN 978-3-540-20168-7.

• II Bigi, AI Sanda (2000). Porušení CP . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-44349-4.

• „Particle Data Group: The CKM quark-mix matrix“ (PDF) .
• „Skupina dat částic: Porušení CP v mezonových rozpadech“ (PDF) .
• „Babarský experiment“ .ve společnosti SLAC v Kalifornii a „experimentu BELLE“ .v japonském KEK .