Cantorova kostka - Cantor cube
V matematiky , je Cantor kostka je topologická skupina formy {0, 1} nějakého index set A . Jeho algebraické a topologické struktury jsou přímým produktem skupiny a topologií produktu nad cyklickou skupinou řádu 2 (která je sama dána diskrétní topologií ).
Pokud A je spočetně nekonečná množina , odpovídající Cantorova kostka je Cantorův prostor . Cantorovy kostky jsou mezi kompaktními skupinami speciální, protože každá kompaktní skupina je spojitým obrazem jedné, i když obvykle nejde o homomorfní obraz. (Literatura může být nejasná, takže z důvodu bezpečnosti předpokládejme, že všechny prostory jsou Hausdorff .)
Topologicky je jakákoli kostka Cantor:
- homogenní ;
- kompaktní ;
- nulový rozměr ;
- AE (0), absolutní extensor pro kompaktní nulové rozměry. (Každá mapa z uzavřené podmnožiny takového prostoru do Cantorovy krychle sahá do celého prostoru.)
Podle Schepinovy věty tyto čtyři vlastnosti charakterizují Cantorovy kostky; jakýkoli prostor splňující vlastnosti je homeomorfní s Cantorovou krychlí.
Ve skutečnosti je každý prostor AE (0) spojitým obrazem krychle Cantor a s určitým úsilím lze dokázat, že každá kompaktní skupina je AE (0). Z toho vyplývá, že každá kompaktní skupina s nulovou dimenzí je homeomorfní s Cantorovou krychlí a každá kompaktní skupina je spojitým obrazem Cantorovy krychle.
Reference
- Todorcevic, Stevo (1997). Témata v topologii . ISBN 3-540-62611-5 .
- AA Mal'tsev (2001) [1994], "Colon" , v Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4