Homogenní prostor - Homogeneous space

Torus . Standardní torus je homogenní podle skupin diffeomorphism a homeomorphism a plochý torus je homogenní podle skupin diffeomorphism, homeomorphism a izometry .

V matematiky , zejména teorie Lež skupin , algebraické skupiny a topologické skupin , je homogenní prostor pro skupinu G je neprázdná potrubí nebo topologický prostor X , na kterém G působí přechodně . Prvky G se nazývají symetrie z X . Zvláštním případem je to, když skupina G je v pořadí automorphism skupina vesmírné X - zde „automorphism skupina“ může znamenat isometry skupinu , difeomorfismus skupinu nebo homeomorphism skupinu . V tomto případě je X homogenní, pokud intuitivně vypadá X lokálně stejně v každém bodě, buď ve smyslu izometrie (rigidní geometrie), diffeomorfismu (diferenciální geometrie) nebo homeomorfismu (topologie). Někteří autoři trvají na tom, aby působení G bylo věrné (prvky bez identity působí netriviálně), ačkoli tento článek ne. Existuje tedy skupina akce z G na X , která může být považována za zachování jakéhosi „geometrické struktury“ na X , a aby X do jednoho G -orbit .

Formální definice

Nechť X je neprázdná množina a G skupina. Pak X se nazývá G kosmická pokud je vybaveno působením G na X . Všimněte si, že G automaticky působí automorfismem (bijekcí) na sadu. Pokud X navíc patří do nějaké kategorie , pak se předpokládá , že prvky G působí jako automorfismy ve stejné kategorii. To znamená, že mapy na X pocházející z prvků G zachovávají strukturu přidruženou ke kategorii (například pokud X je objekt v Diffu, pak musí akci provést diffeomorfismy ). Homogenní prostor je prostor G, na který G působí přechodně.

Stručně řečeno, pokud X je objekt kategorie C , pak struktura G -prostoru je homomorfismus :

{\ Displaystyle \ rho: G \ to \ mathrm {Aut} _ {\ mathbf {C}} (X)}

do skupiny automorphisms objektu X v kategorii C . Dvojice ( X , ρ ) definuje homogenní prostor určený ρ ( G ) je přechodný skupina symetrií základní sady X .

Příklady

Například pokud X je topologický prostor , pak skupina prvky Předpokládá se, že působí jako homeomorphisms na X . Struktura G kosmická je skupina homomorphism ρ : G → Homeo ( X ) do homeomorphism skupiny z X .

Podobně, pokud X je diferencovatelný mnohočetný , pak prvky skupiny jsou diffeomorfismy . Struktura G kosmická je skupina homomorphism ρ : G → Diffeo ( X ) do difeomorfismus skupiny X .

Riemannovy symetrické prostory jsou důležitou třídou homogenních prostorů a zahrnují mnoho níže uvedených příkladů.

Mezi konkrétní příklady patří:

Izometrické skupiny

Pozitivní zakřivení:

Sphere ( ortogonální skupina ) . To je pravda, protože následující pozorování: Za prvé, je to sada vektorů s normou . Pokud jeden z těchto vektorů považujeme za základní vektor, pak lze jakýkoli jiný vektor sestrojit pomocí ortogonální transformace. Pokud vezmeme v úvahu rozpětí tohoto vektoru jako jednorozměrný podprostor , pak je komplementem -dimenzionální vektorový prostor, který je invariantní při ortogonální transformaci z . To nám ukazuje, proč můžeme konstruovat jako homogenní prostor. ${\ Displaystyle S^{n-1} \ cong \ mathrm {O} (n)/\ mathrm {O} (n-1)}$ ${\ Displaystyle S^{n-1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ Displaystyle (n-1)}$ ${\ displaystyle {\ text {O}} (n-1)}$ ${\ Displaystyle S^{n-1}}$
Orientovaná sféra ( speciální ortogonální skupina ): ${\ Displaystyle S^{n-1} \ cong \ mathrm {SO} (n)/\ mathrm {SO} (n-1)}$
Projektivní prostor ( projektivní ortogonální skupina ): ${\ Displaystyle \ mathrm {P} ^{n-1} \ cong \ mathrm {PO} (n)/\ mathrm {PO} (n-1)}$

Ploché (nulové zakřivení):

Euklidovský prostor ( euklidovská skupina , bodový stabilizátor je ortogonální skupina): A ⁿ ≅ E ( n )/O ( n )

Negativní zakřivení:

Hyperbolický prostor ( ortochronní Lorentzova skupina , ortogonální skupina bodového stabilizátoru, odpovídající hyperboloidnímu modelu ): H ⁿ ≅ O ⁺ (1, n )/O ( n )
Orientovaný hyperbolický prostor: SO ⁺ (1, n )/SO ( n )
Prostor proti dezerci : AdS _{n +1} = O (2, n )/O (1, n )

Ostatní

Afinní prostor (pro afinní skupinu , obecná lineární skupina stabilizátoru bodů ): A ⁿ = Aff ( n , K )/GL ( n , k ).
Grassmannian : ${\ Displaystyle \ mathrm {Gr} (r, n) = \ mathrm {O} (n)/(\ mathrm {O} (r) \ times \ mathrm {O} (nr))}$
Topologické vektorové prostory (ve smyslu topologie)

Geometrie

Z hlediska tohoto programu Erlangen , kdo může pochopit, že „všechny body jsou stejné“, v geometrii z X . To platilo v podstatě o všech geometriích navrhovaných před riemannovskou geometrií , v polovině devatenáctého století.

Například například euklidovský prostor , afinní prostor a projektivní prostor jsou přirozeně homogenní prostory pro příslušné skupiny symetrií . Totéž platí pro nalezené modely neeuklidovské geometrie s konstantním zakřivením , jako je hyperbolický prostor .

Dalším klasickým příkladem je prostor čar v projektivním prostoru tří dimenzí (ekvivalentně prostor dvourozměrných podprostorů čtyřrozměrného vektorového prostoru ). Je to jednoduchá lineární algebra, která ukazuje, že GL ₄ na ně působí přechodně. Můžeme je parametrizovat liniovými souřadnicemi : jedná se o 2 × 2 menší hodnoty matice 4 × 2 se sloupci, dvěma základními vektory pro podprostor. Geometrie výsledné homogenní prostor je geometrie linie z Julius Plucker .

Homogenní prostory jako cosetové prostory

Obecně platí, že pokud X je homogenní prostor G a H _o je stabilizátor nějakého označeného bodu o v X (volba původu ), body X odpovídají levým kosetům G / H _o a označenému bodu o odpovídá sadě identit. Naopak, vzhledem k cosetovému prostoru G / H , je to homogenní prostor pro G s rozlišovacím bodem, a to cosetem identity. Homogenní prostor lze tedy považovat za prostor cosetu bez volby původu.

Obecně platí, že jiná volba původu O povede k kvocient G odlišnou podskupinu H _{o '} , která je v souvislosti s H _o o o vnitřním automorfismus z G . Konkrétně

{\ Displaystyle H_ {o '} = gH_ {o} g^{-1} \ qquad \ qquad (1)}

kde g je jakýkoli prvek G, pro který go = o ′. Všimněte si, že vnitřní automorfismus (1) nezávisí na tom, které takové g je vybráno; záleží jen na g modulo H _o .

V případě, že působení G na X je spojitá a X je Hausdorff, pak H je uzavřená podskupina z G . Zejména pokud G je Lieova skupina , pak H je Lieova podskupina podle Cartanovy věty . Proto G / H je hladký potrubí a tak X nese unikátní hladkou strukturu kompatibilní s akční skupina.

Pokud H je podskupina identity { e }, pak X je hlavní homogenní prostor .

Lze přejít dále do prostorů dvojitých coetů , zejména Clifford – Klein tvoří Γ \ G / H , kde Γ je diskrétní podskupina ( G ), která působí správně nespojitě .

Příklad

Například v případě geometrie čar můžeme identifikovat H jako 12-dimenzionální podskupinu 16-dimenzionální obecné lineární skupiny , GL (4), definovanou podmínkami na vstupech matice

h ₁₃ = h ₁₄ = h ₂₃ = h ₂₄ = 0,

hledáním stabilizátoru podprostoru překlenutého prvními dvěma standardními základními vektory. To ukazuje, že X má rozměr 4.

Protože homogenních souřadnic udávaných nezletilými je 6, znamená to, že tyto souřadnice nejsou navzájem nezávislé. Jak bylo známo geometrům devatenáctého století, ve skutečnosti mezi šesti nezletilými existuje jeden kvadratický vztah.

Tento příklad byl prvním známým příkladem Grassmannova , jiného než projektivního prostoru. V matematice existuje mnoho dalších homogenních prostorů klasických lineárních skupin.

Prehomogenní vektorové prostory

Myšlenku prehomogenního vektorového prostoru představil Mikio Sato .

Je to konečný-rozměrný vektorový prostor V s působením skupiny o o algebraické skupiny G tak, že tam je oběžná dráha G , která je otevřená na topologii Zariski (a tak, hustá). Příkladem je GL (1) působící na jednorozměrný prostor.

Definice je restriktivnější, než se na první pohled zdá: takové prostory mají pozoruhodné vlastnosti a existuje klasifikace neredukovatelných prehomogenních vektorových prostor až do transformace známé jako „rošáda“.

Homogenní prostory ve fyzice

Fyzikální kosmologie využívající obecnou teorii relativity využívá Bianchiho klasifikační systém. Homogenní prostory v relativitě představují prostorovou část metrik pozadí pro některé kosmologické modely ; například tři případy metriky Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker mohou být reprezentovány podmnožinami typů Bianchi I (plochý), V (otevřený), VII (plochý nebo otevřený) a IX (uzavřený), zatímco Mixmaster vesmír představuje anizotropní příklad kosmologie Bianchi IX.

Homogenní prostor N rozměrů připouští sadu zabíjecích vektorů . Pro tři dimenze to dává celkem šest lineárně nezávislých Killingových vektorových polí; homogenní 3 mezery mají tu vlastnost, že je možné použít jejich lineární kombinace k nalezení tří všude nezanikajících zabíjecích vektorových polí , ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} N (N+1)}$ ${\ displaystyle \ xi _ {i}^{(a)}}$

{\ Displaystyle \ xi _ {[i; k]}^{(a)} = C _ {\ bc}^{a} \ xi _ {i}^{(b)} \ xi _ {k}^{( C)}}

kde objekt , „strukturní konstanty“, tvoří ve svých dolních dvou indexech konstantní tenzorovou tenzorovou antisymetrii (na levé straně závorky označují antisymetrizaci a „;“ představuje kovarianční diferenciální operátor ). V případě plochého izotropního vesmíru je jednou z možností (typ I), ale v případě uzavřeného vesmíru FLRW, kde je symbol Levi-Civita . ${\ displaystyle C _ {\ bc}^{a}}$ ${\ displaystyle C _ {\ bc}^{a} = 0}$ ${\ Displaystyle C _ {\ bc}^{a} = \ varepsilon _ {\ bc}^{a}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ bc}^{a}}$