Kompaktní skupina - Compact group

V matematiky , je kompaktní ( topologická ) skupina je topologická skupina , jejíž topologie je kompaktní (když prvek skupiny je provozována na, výsledek je také v rámci skupiny). Kompaktní skupiny jsou přirozenou generalizací konečných skupin s diskrétní topologií a mají vlastnosti, které se významným způsobem přenášejí. Kompaktní skupiny mají dobře srozumitelnou teorii ve vztahu ke skupinovým akcím a teorii reprezentace .

V následujícím textu budeme předpokládat, že všechny skupiny jsou Hausdorffovy mezery .

Kompaktní Lieovy skupiny

Skupiny lži tvoří třídu topologických skupin a kompaktní skupiny Lie mají zvláště dobře propracovanou teorii. Mezi základní příklady kompaktních Lieových skupin patří

• kruhu skupiny T a anuloid skupiny T ⁿ ,
• ortogonální skupiny O ( N ), přičemž zvláštní ortogonální skupina SO ( n ) a jeho krytí spin skupina Spin ( n ),
• unitární skupina U ( n ) a speciální unitární skupina SU ( n ),
• symplectic skupina Sp ( n ),
• kompaktní formy výjimečných Lieových skupin : G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ a E ₈ ,

Klasifikace věta kompaktních Lež skupin uvádí, že až do konečných rozšíření a konečných obalů tento výfuky seznam příkladů (která již obsahuje některé propouštění). Tato klasifikace je podrobněji popsána v dalším pododdíle.

Klasifikace

Vzhledem k jakékoli kompaktní Lieově skupině G lze vzít její komponentu identity G ₀ , která je spojena . Skupina kvocientů G / G ₀ je skupina složek π ₀ ( G ), která musí být konečná, protože G je kompaktní. Máme proto konečné rozšíření

${\ Displaystyle 1 \ to G_ {0} \ to G \ to \ pi _ {0} (G) \ to 1.}$

Mezitím pro připojené kompaktní Lieovy skupiny máme následující výsledek:

Věta : Každá spojená kompaktní Lieova skupina je podílem konečné centrální podskupiny součinu jednoduše spojené kompaktní Lieovy skupiny a torusu.

Klasifikaci spojených kompaktních Lieových skupin lze tedy v zásadě omezit na znalost jednoduše spojených kompaktních Lieových skupin spolu s informacemi o jejich centrech. (Informace o středisku najdete v následující části o základní skupině a centru.)

Nakonec každá kompaktní, připojená, jednoduše připojená Lieova skupina K je produktem kompaktních, spojených, jednoduše spojených jednoduchých Lieových skupin K _i, z nichž každá je izomorfní přesně k jedné z následujících:

• Kompaktní symplectic skupina ${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n), \, n \ geq 1}$
• Speciální jednotná skupina ${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n), \, n \ geq 3}$
• Skupina spin ${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (n), \, n \ geq 7}$

nebo jedna z pěti výjimečných skupin G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ a E ₈ . Omezení n má zabránit malým izomorfismům mezi různými rodinami pro malé hodnoty n . Pro každou z těchto skupin je centrum výslovně známé. Klasifikace probíhá prostřednictvím přidruženého kořenového systému (pro pevný maximální torus), které jsou zase klasifikovány podle jejich Dynkinových diagramů .

Klasifikace kompaktních, jednoduše spojených Lieových skupin je stejná jako klasifikace složitých semisimple Lieových algeber . Skutečně, pokud K je jednoduše spojená kompaktní Lieova skupina, pak je komplexace Lieovy algebry K poloviční. Naopak, každá složitá semisimple Lieova algebra má kompaktní skutečnou formu izomorfní s Lieovou algebrou kompaktní, jednoduše spojené Lieovy skupiny.

Maximální tori a kořenové systémy

Klíčovou myšlenkou studiu připojeného kompaktního Lie skupina K je koncept maximální anuloidu , který je podskupinou T z K , která je izomorfní s produktem z několika kopií a který není obsažen v každém větším podskupině tohoto typu . Základním příkladem je případ , kdy můžeme být skupinou diagonálních prvků v . Základním výsledkem je torusova věta, která říká, že každý prvek patří maximálnímu torusu a že všechny maximální tori jsou konjugované. ${\ displaystyle S^{1}}$${\ displaystyle K = \ operatorname {SU} (n)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

Maximální torus v kompaktní skupině hraje roli analogickou s Cartanskou subalgebrou ve složité semisimple Lieovy algebře. Zejména poté, co byl zvolen maximální torus , lze definovat kořenový systém a skupinu Weylu podobnou té, kterou má pro pololehké Lieovy algebry . Tyto struktury pak hrají zásadní roli jak při klasifikaci spojených kompaktních skupin (popsaných výše), tak v teorii reprezentace pevné takové skupiny (popsané níže). ${\ Displaystyle T \ podmnožina K}$

Kořenové systémy spojené s jednoduchými kompaktními skupinami, které se objevují v klasifikaci jednoduše spojených kompaktních skupin, jsou následující:

• Speciální unitární skupiny odpovídají kořenovému systému${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$${\ displaystyle A_ {n-1}}$
• Skupiny lichých spinů odpovídají kořenovému systému${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (2n+1)}$${\ displaystyle B_ {n}}$
• Kompaktní symplektické skupiny odpovídají kořenovému systému${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n)}$${\ displaystyle C_ {n}}$
• Skupiny sudých spinů odpovídají kořenovému systému${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (2n)}$${\ displaystyle D_ {n}}$
• Výjimečné kompaktní skupiny Lie odpovídají pěti výjimečným kořenovým systémům G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ nebo E ₈

Základní skupina a centrum

Je důležité vědět, zda je připojená kompaktní Lieova skupina jednoduše připojena, a pokud ne, určit její základní skupinu . U kompaktních Lieových skupin existují dva základní přístupy k výpočtu základní skupiny. První přístup se vztahuje na klasické kompaktní skupiny , , , i a pokračuje indukcí podle . Druhý přístup využívá kořenový systém a platí pro všechny připojené kompaktní Lieovy skupiny. ${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$${\ displaystyle \ operatorname {U} (n)}$${\ displaystyle \ operatorname {SO} (n)}$${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n)}$${\ displaystyle n}$

Je také důležité znát střed propojené kompaktní Lieovy skupiny. Střed klasické skupiny lze snadno vypočítat „ručně“ a ve většině případů se skládá jednoduše z jakýchkoli kořenů identity . (Skupina SO (2) je výjimkou - středem je celá skupina, přestože většina prvků není kořenem identity.) Například centrum se skládá z n -tých kořenů jednoty a identity, cyklická skupina řádu . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$${\ displaystyle n}$

Střed lze obecně vyjádřit pomocí kořenové mřížky a jádra exponenciální mapy pro maximální torus. Obecná metoda například ukazuje, že jednoduše spojená kompaktní skupina odpovídající výjimečnému kořenovému systému má triviální střed. To znamená, kompaktní skupina je jednou z mála jednoduchých kompaktní skupiny, které jsou současně spojeny jednoduše a centrum zdarma. (Ostatní jsou a .) ${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle F_ {4}}$${\ displaystyle E_ {8}}$

Další příklady

Mezi skupinami, které nejsou lež skupiny, a proto není nositelem strukturu potrubí , příklady jsou aditivní skupina Z _p o p-adic celá čísla , a konstrukce z ní. Ve skutečnosti je každá skupina zisků kompaktní skupinou. To znamená, že Galoisovy skupiny jsou kompaktní skupiny, což je základní fakt pro teorii algebraických rozšíření v případě nekonečného stupně.

Dualita Pontryaginu poskytuje velkou zásobu příkladů kompaktních komutativních skupin. Ty jsou v dualitě s abelianskými diskrétními skupinami .

Haarova míra

Kompaktní skupiny nesou Haarovu míru , která bude invariantní jak pro levý, tak pro pravý překlad ( modulová funkce musí být spojitým homomorfismem s kladnými realitami ( R ⁺ , ×), a tak 1). Jinými slovy, tyto skupiny jsou unimodulární . Haarova míra se snadno normalizuje jako míra pravděpodobnosti , analogická dθ/2π na kružnici.

Takové Haarovo opatření je v mnoha případech snadno vypočítatelné; například pro ortogonální skupiny to bylo známé Adolfu Hurwitzovi a ve skupině Lieových případů mohou být případy vždy dány invariantní diferenciální formou . V případě zisků existuje mnoho podskupin konečného indexu a Haarova míra coetu bude reciproční indexu. Proto jsou integrály často vyčíslitelné přímo, což se v teorii čísel neustále uplatňuje .

Pokud je kompaktní skupina a je přidruženou Haarovou mírou, Peter-Weylova věta poskytuje rozklad jako ortogonální přímý součet konečných dimenzionálních podprostorů maticových záznamů pro neredukovatelné reprezentace . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle L^{2} (K, dm)}$${\ displaystyle K}$

Teorie reprezentace

Teorie reprezentace kompaktních skupin (ne nutně Lieových skupin a ne nutně spojených) byla založena Peter -Weylovou větou . Hermann Weyl pokračoval v podrobné teorii charakteru kompaktních spojených Lieových skupin založených na teorii maximálního torusu . Výsledný Weylův znakový vzorec byl jedním z vlivných výsledků matematiky dvacátého století. Kombinace Peter – Weylovy věty a Weylova znakového vzorce vedla Weyla k úplné klasifikaci reprezentací spojené kompaktní Lieovy skupiny; tato teorie je popsána v další části.

Kombinace Weyl práce a Cartanova věty podává přehled o celé teorie reprezentací kompaktních skupin G . To znamená, že podle Peterovo -Weylovy věty jsou neredukovatelné unitární reprezentace ρ G do jednotné skupiny (konečné dimenze) a obraz bude uzavřenou podskupinou unitární skupiny podle kompaktnosti. Cartanova věta říká, že Im (ρ) musí být sám Lieovou podskupinou v unitární skupině. Pokud G sám není Lieovou skupinou, musí existovat jádro pro ρ. Dále lze vytvořit inverzní systém , pro jádro ρ menší a menší, konečných dimenzionálních unitárních reprezentací, který identifikuje G jako inverzní limit kompaktních Lieových skupin. Zde k tomu, že v ohraničenou věrné zobrazení z G se nachází další důsledek Peter-Weyl teorém.

Neznámá část teorie reprezentace kompaktních skupin je proto, zhruba řečeno, vržena zpět na komplexní reprezentace konečných skupin . Tato teorie je poměrně bohatá na detaily, ale je kvalitativně dobře pochopena.

Teorie reprezentace spojené kompaktní Lieovy skupiny

Některé jednoduché příklady teorie reprezentace kompaktních Lieových skupin lze zpracovat ručně, například reprezentace rotační skupiny SO (3) , speciální unitární skupiny SU (2) a speciální unitární skupiny SU (3) . Zde se zaměřujeme na obecnou teorii. Podívejte se také na paralelní teorii reprezentací semisimple Lieovy algebry .

V celé této části, jsme opravit připojené kompaktní Lie skupiny K a maximal torus T v K .

Teorie reprezentace T

Vzhledem k tomu, T je komutativní, Schurova lemma nám říká, že každý ireducibilní reprezentace of T je jednorozměrný: ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ rho: T \ rightarrow GL (1; \ mathbb {C}) = \ mathbb {C} ^{*}.}$

Vzhledem k tomu, že T je také kompaktní, musí se ve skutečnosti mapovat . ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle S^{1} \ subset \ mathbb {C}}$

Abychom tyto reprezentace popsali konkrétně, nechme být Lieovou algebrou T a body zapisujeme jako ${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$${\ Displaystyle h \ v T}$

${\ Displaystyle h = e^{H}, \ quad H \ in {\ mathfrak {t}}.}$

V takových souřadnicích bude mít formulář ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ rho (e^{H}) = e^{i \ lambda (H)}}$

pro některé lineární funkční na . ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$

Vzhledem k tomu, že exponenciální mapa není injektivní, ne každá taková lineární funkce vede k dobře definované mapě T do . Označme spíše jádro exponenciální mapy: ${\ displaystyle H \ mapsto e^{H}}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle S^{1}}$${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle \ Gamma = \ left \ {H \ in {\ mathfrak {t}} \ mid e^{2 \ pi H} = \ operatorname {Id} \ right \},}$

kde je identita prvkem T . (Exponenciální mapu zde zvětšíme o faktor , abychom se těmto faktorům jinde vyhnuli.) Aby pak dala dobře definovanou mapu , musí splňovat ${\ displaystyle \ operatorname {Id}}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle \ lambda (H) \ in \ mathbb {Z}, \ quad H \ in \ Gamma,}$

kde je množina celých čísel. Lineární funkce splňující tuto podmínku se nazývá analyticky integrální prvek . Tato podmínka integrity souvisí s pojmem integrálního prvku v nastavení semisimple Lieových algeber , ale není s ním totožná . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ lambda}$

Předpokládejme například, že T je jen skupina komplexních čísel absolutní hodnoty 1. Algebra Lie je množina čistě imaginárních čísel a jádro (zmenšené) exponenciální mapy je množina čísel ve tvaru, kde je celé číslo. Lineární funkce přebírá celočíselné hodnoty na všech takových číslech právě tehdy, pokud má formu pro nějaké celé číslo . Neredukovatelné reprezentace T jsou v tomto případě jednorozměrné a mají formu ${\ displaystyle S^{1}}$${\ displaystyle e^{i \ theta}}$${\ Displaystyle H = i \ theta, \, \ theta \ in \ mathbb {R},}$${\ displaystyle in}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda (i \ theta) = k \ theta}$${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle \ rho (e^{i \ theta}) = e^{ik \ theta}, \ quad k \ in \ mathbb {Z}.}$

Teorie reprezentace K

Nyní nechejme označit ireducibilní reprezentaci K (nad ) v konečné dimenzi . Potom vezmeme v úvahu omezení pro T . Toto omezení není neredukovatelné, pokud není jednorozměrné. Nicméně omezení rozkládá jako přímý součet ireducibilních reprezentací T . (Všimněte si, že k dané neredukovatelné reprezentaci T může dojít více než jednou.) Nyní je každá neredukovatelná reprezentace T popsána lineární funkcí jako v předchozím pododdíle. Pokud daný vyskytuje alespoň jednou v rozkladu omezení na T , říkáme si váhu o . Strategie teorie reprezentace K je klasifikovat neredukovatelné reprezentace z hlediska jejich váhy. ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Sigma}$

Nyní stručně popíšeme struktury potřebné k formulaci věty; více podrobností najdete v článku o váhách v teorii reprezentace . Potřebujeme pojem kořenového systému pro K (vzhledem k danému maximálnímu torusu T ). Konstrukce tohoto kořenového systému je velmi podobná konstrukci pro složité semisimple Lieovy algebry . Konkrétně se jedná o hmotnosti jsou nenulové váhy pro adjoint působení T na complexified lži algebry K . Kořenový systém R má všechny obvyklé vlastnosti kořenového systému , kromě toho, že prvky R nesmí překlenovat . Potom vybereme základnu pro R a řekneme, že integrální prvek je dominantní, pokud pro všechny . Nakonec říkáme, že jedna váha je vyšší než druhá, pokud jejich rozdíl lze vyjádřit jako lineární kombinaci prvků s nezápornými koeficienty. ${\ displaystyle R \ subset {\ mathfrak {t}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda (\ alpha) \ geq 0}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta}$

Neredukovatelné konečno-dimenzionální reprezentace K jsou pak klasifikovány větou o nejvyšší hmotnosti , která je úzce spojena s analogickou větou klasifikující reprezentace semisimple Lieovy algebry . Výsledek říká, že:

1. každá neredukovatelná reprezentace má nejvyšší váhu,
2. nejvyšší váha je vždy dominantní, analyticky integrální prvek,
3. dvě neredukovatelné reprezentace se stejnou nejvyšší hmotností jsou izomorfní a
4. každý dominantní, analyticky integrální prvek vzniká jako nejvyšší váha neredukovatelného zobrazení.

Věta o nejvyšší váze pro reprezentace K je pak téměř stejná jako pro semisimple Lieovy algebry, s jednou výraznou výjimkou: Pojem integrálního prvku je odlišný. Váhy reprezentace jsou analyticky integrální ve smyslu popsaném v předchozím pododdíle. Každý analyticky integrální prvek je integrální ve smyslu Lieovy algebry, ale ne naopak. (Tento jev odráží, že obecně ne každá reprezentace Lieovy algebry pochází z reprezentace skupiny K. ) Na druhou stranu, pokud je K jednoduše spojeno, množina možných nejvyšších hmotností ve skupinovém smyslu je stejná jako množina možných nejvyšších hmotností ve smyslu algebry Lie. ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$

Vzorec znaků Weyla

Pokud je reprezentace K definujeme charakter a je třeba je funkce dána ${\ displaystyle \ Pi: K \ to \ operatorname {GL} (V)}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle \ mathrm {X}: K \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ mathrm {X} (x) = \ operatorname {trace} (\ Pi (x)), \ quad x \ in K}$.

Tato funkce je snadno vidět, že funkce třídy, tj, pro všechny, a v K . Tak je určena jeho omezení na T . ${\ Displaystyle \ mathrm {X} (xyx^{-1}) = \ mathrm {X} (y)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ mathrm {X}}$

Studium postav je důležitou součástí teorie reprezentace kompaktních skupin. Jedním z klíčových výsledků, což je důsledkem Peter-Weyl teorém , je skutečnost, že znaky tvoří orthonormal základ pro sadu čtverečních integrovatelných funkcí třídy v K . Druhým klíčovým výsledkem je Weylův znakový vzorec , který dává explicitní vzorec pro znak - nebo spíše omezení znaku na T - z hlediska nejvyšší váhy reprezentace.

V úzce související teorii reprezentace semisimple Lieových algeber je Weylův znakový vzorec dalším výsledkem stanoveným po klasifikaci reprezentací. Ve Weylově analýze případu kompaktních skupin je však Weylův znakový vzorec ve skutečnosti zásadní součástí samotné klasifikace. Konkrétně ve Weylově analýze reprezentací K je nejtěžší část věty - ukazující, že každý dominantní, analyticky integrální prvek má ve skutečnosti nejvyšší váhu nějaké reprezentace - dokázána zcela odlišným způsobem od obvyklé konstrukce Lieovy algebry pomocí Verma moduly . Podle Weylova přístupu je konstrukce založena na Peterově -Weylově větě a analytickém důkazu vzorce Weylova znaku . V konečném důsledku se ireducibilní reprezentace K jsou realizovány uvnitř prostoru spojitých funkcí na K .

Případ SU (2)

Nyní uvažujeme případ kompaktní skupiny SU (2). Reprezentace jsou často zvažovány z pohledu Lieovy algebry , ale my se zde na ně díváme ze skupinového hlediska. Za maximální torus považujeme množinu matic formuláře

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} e^{i \ theta} & 0 \\ 0 & e^{-i \ theta} \ end {pmatrix}}.}$

Podle příkladu diskutovaného výše v části o reprezentacích T jsou analyticky integrální prvky označeny celými čísly, takže dominantní, analyticky integrální prvky jsou nezáporná celá čísla . Obecná teorie nám pak říká, že pro každé existuje jedinečné neredukovatelné zastoupení SU (2) s nejvyšší hmotností . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

Většina informací o reprezentaci odpovídající dané je zakódována v jejím charakteru. Weylův znakový vzorec v tomto případě říká , že znak je dán znakem ${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e^{i \ theta} & 0 \\ 0 & e^{-i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = {\ frac {\ hřích ((m+1) \ theta)} {\ sin (\ theta)}}.}$

Znak můžeme také zapsat jako součet exponenciálů následujícím způsobem:

${\ Displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e^{i \ theta} & 0 \\ 0 & e^{-i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = e^{im \ theta}+e^{i (m-2) \ theta}+\ cdots e^{-i (m-2) \ theta}+e^{-im \ theta}.}$

(Pokud použijeme vzorec pro součet konečných geometrických řad na výše uvedeném výrazu a zjednodušíme, získáme dřívější výraz.)

Z tohoto posledního výrazu a standardního vzorce pro znak z hlediska hmotností reprezentace můžeme vyčíst, že váhy reprezentace jsou

${\ Displaystyle m, m-2, \ ldots,-(m-2),-m,}$

každý s multiplicitou jedna. (Váhy jsou celá čísla objevující se v exponentech exponenciálů a multiplicity jsou koeficienty exponenciálů.) Protože existují váhy, každá s multiplicitou 1, rozměr reprezentace je . Obnovíme tedy většinu informací o reprezentacích, které se obvykle získávají z výpočtu Lieovy algebry. ${\ displaystyle m+1}$${\ displaystyle m+1}$

Nástin důkazu

Nyní nastíníme důkaz věty o nejvyšší hmotnosti podle původního argumentu Hermanna Weyla . Nadále necháváme být spojenou kompaktní Lieovou skupinou a pevným maximálním torusem . Zaměřujeme se na nejtěžší část věty a ukazujeme, že každý dominantní, analyticky integrální prvek má nejvyšší váhu nějaké (konečno-dimenzionální) neredukovatelné reprezentace. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$

Nástroje pro důkaz jsou následující:

• Torus teorém .
• Weyl integrální vzorec .
• Peter-Weyl teorém pro funkce třídy , v němž se uvádí, že charaktery ireducibilních reprezentací tvoří orthonormal základ prostoru čtverečních integrovatelných třídy funkcí na .${\ displaystyle K}$

S těmito nástroji v ruce pokračujeme v dokazování. Prvním zásadním krokem v argumentaci je dokázat Weylův znakový vzorec . Vzorec se uvádí, že v případě, je ireducibilní reprezentace s nejvyšší hmotností , pak se znak z splňuje: ${\ displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ mathrm {X}}$${\ displaystyle \ Pi}$

${\ Displaystyle \ mathrm {X} (e^{H}) = {\ frac {\ sum _ {w \ in W} \ det (w) e^{i \ langle w \ cdot (\ lambda +\ rho) , H \ rangle}} {\ sum _ {w \ in W} \ det (w) e^{i \ langle w \ cdot \ rho, H \ rangle}}}}}$

pro všechny v Lieové algebře z . Zde je polovina součtu kladných kořenů. (Zápis používá konvenci „skutečných vah“; tato konvence vyžaduje explicitní faktor v exponentu.) Weylův důkaz znakového vzorce má analytický charakter a závisí na skutečnosti, že norma znaku je 1. Konkrétně pokud by v čitateli byly nějaké další výrazy, Weylův integrální vzorec by vynutil, aby norma znaku byla větší než 1. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle L^{2}}$

Dále necháme označit funkci na pravé straně znakového vzorce. Ukazujeme, že i když není známo, že má nejvyšší váhu reprezentace , je dobře definovaná funkce Weyl invariantní na , která se proto rozšiřuje na třídní funkci na . Potom pomocí Weylova integrálního vzorce lze ukázat, že jako rozsahy nad sadou dominantních, analyticky integrálních prvků tvoří funkce ortonormální rodinu třídních funkcí. Zdůrazňujeme, že v současné době nevíme, že každý takový má nejvyšší váhu reprezentace; přesto výrazy na pravé straně znakového vzorce poskytují dobře definovanou sadu funkcí a tyto funkce jsou ortonormální. ${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$

Nyní přichází závěr. Sada všech - s rozsahem přes dominantní, analyticky integrální prvky - tvoří ortonormální množinu v prostoru čtvercových integrovatelných třídních funkcí. Ale podle Weylova znakového vzorce tvoří znaky neredukovatelných reprezentací podmnožinu 's'. A podle Peterovo – Weylovy věty tvoří znaky neredukovatelných reprezentací ortonormální základ prostoru čtvercových integrovatelných třídních funkcí. Pokud by existovaly nějaké, které by neměly nejvyšší váhu reprezentace, pak odpovídající by nebyl charakter reprezentace. Znaky by tedy byly řádnou podmnožinou souboru 's'. Ale pak tu máme nemožnou situaci: ortonormální základ (množina znaků neredukovatelných reprezentací) by byl obsažen v přísně větší ortonormální sadě (množina 's). Každý tedy musí mít ve skutečnosti nejvyšší váhu reprezentace. ${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \ lambda}$

Dualita

Téma obnovy kompaktní skupiny z její teorie reprezentace je předmětem duality Tannaka – Kerin , nyní často přepracované z hlediska teorie tannakských kategorií .

Od kompaktních po nekompaktní skupiny

Vliv teorie kompaktních skupin na nekompaktní skupiny formuloval Weyl ve svém unitářském triku . Uvnitř obecné poloprosté Lieovy skupiny existuje maximální kompaktní podskupina a teorie reprezentace těchto skupin, vyvinutá převážně Harishem-Chandrou , intenzivně využívá omezení reprezentace na takovou podskupinu a také model Weylovy teorie znaků.

Viz také

• Peter – Weylova věta
• Maximální torus
• Kořenový systém
• Lokálně kompaktní skupina
• p -kompaktní skupina
• Protorus
• Klasifikace konečných dimenzionálních reprezentací Lieových algeber
• Závaží v reprezentační teorii semisimple Lieových algeber

Reference

Bibliografie

• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representations of Compact Lie Groups , Graduate Texts in Mathematics, 98 , Springer
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras a Representations An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Hofmann, Karl H .; Morris, Sidney A. (1998), Struktura kompaktních skupin , Berlin: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1