Cantorův prostor - Cantor space

V matematice je Cantorův prostor , pojmenovaný pro Georga Cantora , topologickou abstrakcí klasické Cantorovy množiny : topologický prostor je Cantorův prostor, pokud je homeomorfní vůči Cantorově množině . V teorii množin se topologický prostor 2 ^ω nazývá „Cantorův prostor.

Příklady

Samotná sada Cantor je prostorem Cantor. Ale kanonický příklad Cantor prostoru je countably nekonečný topologické produkt z diskrétní 2-bod prostoru {0, 1}. Toto se obvykle píše jako nebo 2 ^ω (kde 2 označuje množinu 2 prvků {0,1} s diskrétní topologií). Bod ve 2 ^ω je nekonečná binární posloupnost, tj. Posloupnost, která předpokládá pouze hodnoty 0 nebo 1. Vzhledem k takové posloupnosti a ₀ , a ₁ , a ₂ , ... lze ji namapovat na skutečné číslo ${\ displaystyle 2 ^ {\ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2a_ {n}} {3 ^ {n + 1}}}.}$

Toto mapování dává homeomorfismus od 2 ^ω do Cantorovy sady , což ukazuje, že 2 ^ω je skutečně Cantorův prostor.

Cantorovy prostory se ve skutečné analýze vyskytují hojně . Například existují jako podprostory v každém dokonalém a úplném metrickém prostoru . (Chcete-li to vidět, všimněte si, že v takovém prostoru obsahuje každá neprázdná dokonalá množina dvě disjunktní neprázdné dokonalé podmnožiny libovolně malého průměru, takže lze napodobit konstrukci obvyklé Cantorovy množiny .) Také každý nespočet, oddělitelný , zcela metrizovatelný prostor obsahuje Cantorovy prostory jako podprostory. To zahrnuje většinu běžných typů prostorů ve skutečné analýze.

Charakterizace

Topologická charakterizace Cantorových prostorů je dána Brouwerovou větou:

Topologická vlastnost mít základnu sestávající z clopenových sad je někdy známá jako „nulová dimenze“. Brouwerovu větu lze přepsat jako:

Tato věta je také ekvivalentní (prostřednictvím Stoneovy věty o reprezentaci pro booleovské algebry ) skutečnosti, že jakékoli dvě spočítatelné bezolovnaté booleovské algebry jsou izomorfní.

Vlastnosti

Jak lze očekávat od Brouwerovy věty, Cantorovy prostory se objevují v několika formách. Ale mnoho vlastností Cantorových prostorů může být stanoveno pomocí 2 ^ω , protože jeho konstrukce jako produktu umožňuje přístup k analýze.

Cantorovy prostory mají následující vlastnosti:

• Mohutnost jakéhokoliv Cantor prostoru , to znamená, že mohutnost kontinua .${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$
• Součin dvou (nebo dokonce jakéhokoli konečného nebo spočetného počtu) Cantorových prostorů je Cantorův prostor. Spolu s funkcí Cantor lze tuto skutečnost použít ke konstrukci křivek vyplňujících prostor .
• (Neprázdný) Hausdorffův topologický prostor je kompaktní měřitelný právě tehdy, pokud se jedná o spojitý obraz Cantorova prostoru.

Nechť C ( X ) značí prostor všech skutečný-cenil, ohraničených spojitých funkcí na prostoru topological X. . Nechť K značí kompaktní metrický prostor a Δ značí Cantorovu množinu. Pak má sada Cantor následující vlastnost:

• C ( K ) je izometrický k uzavřenému podprostoru C (Δ).

Obecně tato izometrie není jedinečná, a tedy není řádně univerzální vlastností v kategorickém smyslu.

• Skupina všech homeomorfismů Cantorova prostoru je jednoduchá .

Viz také

• Prostor (matematika)
• Cantor set
• Cantorova kostka

Reference

• Kechris, A. (1995). Klasická deskriptivní teorie množin ( Postgraduální texty v matematice 156 ed.). Springer. ISBN 0-387-94374-9.