Clopen set - Clopen set

Graf s několika clopen sad. Každá ze tří velkých částí (tj. Komponent ) je zavírací sadou, stejně jako sjednocení dvou nebo všech tří.

V topologii je clopen set ( portmanteau of closed-open set ) v topologickém prostoru sada, která je otevřená i uzavřená . To, že je to možné, se může zdát protiintuitivní, protože běžné významy otevřeného a uzavřeného jsou antonyma, ale jejich matematické definice se vzájemně nevylučují . Sada je uzavřena, pokud je její doplněk otevřený, což ponechává možnost otevřené sady, jejíž doplněk je také otevřený, takže obě sady jsou otevřené i uzavřené, a proto se otevírají. Jak popsal topolog James Munkres , na rozdíl od dveří „sada může být otevřená nebo zavřená, nebo obojí, nebo ani jedna!“ zdůraznění, že význam „otevřených“ / „zavřených“ pro dveře nesouvisí s jejich významem pro soubory (a tak se dichotomie otevřených / zavřených dveří nepřenáší na otevřené / uzavřené sady). Tento kontrast ke dveřím dal třídě topologických prostorů známých jako „ dveřní prostory “ svůj název.

Příklady

V jakémkoli topologickém prostoru je prázdná množina i celý prostor uzavřené. ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$

Nyní uvažujme prostor , který se skládá ze spojení dvou otevřených intervalech a z topologie na se dědí jako topologie subprostorového z běžného topologii na reálné ose V sadě je clopen, jako je sada Jedná se o zcela typický příklad: kdykoli je tímto způsobem vytvořen prostor z konečného počtu disjunktních připojených komponent , budou komponenty uzavřeny. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle (2,3)}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle (2,3).}$

Pojďme nyní být nekonečnou množinou pod diskrétní metrikou - to znamená, že dva body mají vzdálenost 1, pokud nejsou stejným bodem, a 0 jinak. Pod výsledným metrickým prostorem je otevřena libovolná sada singletonů; tedy jakákoli množina, která je spojením jednotlivých bodů, je otevřená. Vzhledem k tomu, že doplněk libovolné množiny je proto uzavřen, jsou všechny množiny v metrickém prostoru zavřené. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p, q \ v X}$

Jako méně triviální příklad zvažte prostor všech racionálních čísel s jejich obyčejnou topologií a množinu všech kladných racionálních čísel, jejichž čtverec je větší než 2. Použití skutečnosti, že není v jednom, může docela snadno ukázat, že jde o podmnožinu z ( je není clopen podmnožina reálné osy , to je ani otevřít ani uzavřena v ) ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Vlastnosti

• Topologický prostor je spojen tehdy a jen tehdy, jsou-li jedinou clopenovou sadou prázdná množina a${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$
• Sada je clopen právě tehdy, když je její hranice prázdná.
• Jakákoli clopenová sada je sjednocení (možná nekonečně mnoho) připojených komponent .
• Jsou-li všechny připojená zařízení z otevřené (například pokud má jen konečně mnoho prvků, nebo pokud je připojen lokálně ), pak množina je clopen v tehdy a jen tehdy, pokud se jedná o sjednocení připojených zařízení.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Topologický prostor je diskrétní, právě když jsou všechny jeho podmnožiny uzavřené.${\ displaystyle X}$
• Použití sjednocení a průnik jako operací, clopen podmnožiny dané topologického prostoru tvoří Boolean algebra . Každou booleovskou algebru lze získat tímto způsobem z vhodného topologického prostoru: viz Stoneova věta o reprezentaci booleovských algeber .${\ displaystyle X}$

Viz také

• Dveřní prostor

Poznámky

Reference

• Munkres, James R. (2000). Topologie (druhé vydání). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .
• Morris, Sidney A. „Topologie bez slz“ . Archivovány od originálu dne 19. dubna 2013.