Dělitelná skupina - Divisible group

V matematiky , a to zejména v oblasti teorie skupiny , je dělitelné skupina je skupina abelian , ve které každý prvek může, v určitém smyslu, se vydělí pozitivních celých čísel, nebo přesněji, každý prvek je n tý násobek pro každou pozitivní celé číslo n . Rozdělitelné skupiny jsou důležité pro pochopení struktury abelianských skupin, zejména proto, že se jedná o injektivní abelianské skupiny.

Definice

Abelianova skupina je dělitelná, pokud pro každé kladné celé číslo a každé existuje takové . Ekvivalentní podmínka je: pro každé kladné celé číslo , protože existence pro všechny a to znamená , a v opačném směru platí pro každou skupinu. Třetí rovnocennou podmínkou je, že abelianská skupina je dělitelná právě tehdy, je-li injektivní objekt v kategorii abelianských skupin ; z tohoto důvodu se dělitelná skupina někdy nazývá injekční skupina . ${\ displaystyle (G, +)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle g \ v G}$${\ displaystyle \ v G}$${\ displaystyle ny = g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle nG = G}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle nG \ supset G}$${\ displaystyle nG \ podmnožina G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Abelianská skupina je - dělitelná pro prvočíslo, pokud pro každého existuje taková . Ekvivalentně je abelianská skupina - dělitelná, právě když . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle g \ v G}$${\ displaystyle \ v G}$${\ displaystyle py = g}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle pG = G}$

Příklady

• Tyto racionální čísla tvoří dělitelné skupinu pod navíc.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• Obecněji řečeno, základní přísada skupina jakéhokoli vektorového prostoru nad je dělitelná.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• Každý podíl dělitelné skupiny je dělitelný. Je tedy dělitelný.${\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$
• P - primární složkou z , který je izomorfní s p - quasicyclic skupina je dělitelná.${\ displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p] / \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [p ^ {\ infty}]}$
• Multiplikativní skupina komplexních čísel je dělitelná.${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$
• Každá existenciálně uzavřená abelianská skupina (v teoretickém smyslu modelu ) je dělitelná.

Vlastnosti

• Pokud je dělitelná skupina podskupinou abelianské skupiny, pak jde o přímý součet .
• Každá abelianská skupina může být vložena do dělitelné skupiny.
• Netriviální dělitelné skupiny nejsou definitivně generovány .
• Dále může být každá abelianská skupina jedinečným způsobem začleněna do dělitelné skupiny jako základní podskupiny .
• Abelianova skupina je dělitelná právě tehdy, když je p - dělitelná pro každé prvočíslo p .
• Buď prsten. Pokud je dělitelná skupina, pak je injektivní v kategorii -modulů.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Z}} (A, T)}$${\ displaystyle A}$

Věta o struktuře dělitelných skupin

Nechť G je dělitelná skupina. Pak je torzní podskupina Tor ( G ) z G dělitelná. Vzhledem k tomu, dělitelné skupina je injective modul , Tor ( G ) je přímý sčítanec z G . Tak

${\ displaystyle G = \ mathrm {Tor} (G) \ oplus G / \ mathrm {Tor} (G).}$

Jako podíl dělitelné skupiny je G / Tor ( G ) dělitelný. Navíc není torzní . Jedná se tedy o vektorový prostor nad Q, a tak existuje množina I taková

${\ displaystyle G / \ mathrm {Tor} (G) = \ oplus _ {i \ in I} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} ^ {(I)}.}$

Struktura torzní podskupiny je těžší určit, ale lze ukázat, že pro všechna prvočísla p existuje taková, že ${\ displaystyle I_ {p}}$

${\ displaystyle (\ mathrm {Tor} (G)) _ {p} = \ oplus _ {i \ v I_ {p}} \ mathbb {Z} [p ^ {\ infty}] = \ mathbb {Z} [ p ^ {\ infty}] ^ {(I_ {p})},}$

kde je p- primární složka Tor ( G ). ${\ displaystyle (\ mathrm {Tor} (G)) _ {p}}$

Pokud je tedy P množina prvočísel,

${\ displaystyle G = \ left (\ bigoplus _ {p \ in \ mathbf {P}} \ mathbb {Z} [p ^ {\ infty}] ^ {(I_ {p})} \ right) \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(I)}.}$

K kardinalita setů I a I _p k p ∈ P jsou jednoznačně určeny skupiny G .

Injekční obálka

Jak je uvedeno výše, kteroukoli abelianskou skupinu A lze jednoznačně vložit do dělitelné skupiny D jako základní podskupinu . Tato dělitelný skupina D je injective obálka z A , a tato koncepce je injective trup v kategorii abelian skupin.

Snížené abelianské skupiny

O abelianské skupině se říká, že je redukována, pokud je její jedinou dělitelnou podskupinou {0}. Každá abelianská skupina je přímým součtem dělitelné podskupiny a redukované podskupiny. Ve skutečnosti existuje jedinečná největší dělitelná podskupina jakékoli skupiny a tato dělitelná podskupina je přímým součtem. Toto je speciální vlastnost dědičných prstenů, jako jsou celá čísla Z : přímý součet injektivních modulů je injektivní, protože prsten je Noetherian , a kvocienty injektiv jsou injektivní, protože prsten je dědičný, takže jakýkoli submodul generovaný injektivními moduly je injektivní. Konverzace je výsledkem ( Matlis 1958 ): pokud má každý modul jedinečný maximální injektivní submodul, pak je prsten dědičný.

Kompletní klasifikace počitatelných redukovaných periodických abelianských skupin je dána Ulmovou větou .

Zobecnění

Několik odlišných definic, které zobecňují dělitelné skupiny na dělitelné moduly. Následující definice byly použity v literatuře k definování dělitelného modulu M přes kruh R :

1. rM = M pro všechny nenulové r v R . (Někdy se vyžaduje, aby r nebyl nulovým dělitelem, a někteří autoři vyžadují, aby R byla doména.)
2. Pro každou hlavní levé ideální Ra , jakýkoliv homomorphism z Ra do M se vztahuje na homomorfismu od R do M . (Tento typ dělitelného modulu se také nazývá principivně injektivní modul .)
3. Pro každý konečně generované levé ideální L o R , jakýkoliv homomorphism z L do M se vztahuje na homomorfismu od R do M .

Poslední dvě podmínky jsou „omezené verze“ Baerova kritéria pro injektivní moduly . Vzhledem k tomu, že injekční levé moduly rozšiřují homomorfismy ze všech levých ideálů na R , injekční moduly jsou jasně dělitelné ve smyslu 2 a 3.

Pokud R je navíc doména, shodují se všechny tři definice. Pokud je R hlavní levá ideální doména, pak se dělitelné moduly shodují s injektivními moduly. V případě prstence celých čísel Z , který je hlavní ideální doménou, je tedy Z -modul (což je přesně abeliánská skupina) dělitelný právě tehdy, je-li injektivní.

Pokud R je komutativní doména, pak injektivní R moduly se shodují s dělitelnými R moduly právě tehdy, když R je Dedekindova doména .

Viz také

• Injekční předmět
• Injekční modul

Poznámky

Reference

• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999), Homological algebra , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, str. Xvi + 390, ISBN  0-691-04991-2 , MR  1731415S dodatkem Davida A. Buchsbauma; Dotisk originálu z roku 1956
• Feigelstock, Shalom (2006), „Divisible is injective“, Soochow J. Math. , 32 (2): 241–243 , ISSN  0250-3255 , MR  2238765
• Griffith, Phillip A. (1970). Nekonečná abelianská teorie grup . Chicago přednášky z matematiky. University of Chicago Press. ISBN  0-226-30870-7 .
• Hall, Marshall, ml. (1959). Teorie grup . New York: Macmillan. Kapitola 13.3.
• Kaplansky, Irving (1965). Nekonečné abelianské skupiny . University of Michigan Press.
• Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups Vol 1 . Akademický tisk.
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a prstenech , Postgraduální texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag , doi : 10,1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN  978-0 -387-98428-5 , MR  1653294
• Serge Lang (1984). Algebra, druhé vydání . Menlo Park, Kalifornie: Addison-Wesley.
• Matlis, Eben (1958). Msgstr "Injekční moduly nad noetherskými kroužky" . Pacific Journal of Mathematics . 8 : 511–528. doi : 10,2140 / pjm.1958.8.511 . ISSN  0030-8730 . MR  0099360 .
• Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), Quasi-Frobenius rings , Cambridge Tracts in Mathematics, 158 , Cambridge: Cambridge University Press, str. Xviii + 307, doi : 10,1017 / CBO9780511546525 , ISBN  0-521-81593-2 , MR  2003785