Ribetova věta - Ribet's theorem

V matematice je Ribetova věta (dříve nazývaná epsilonská domněnka nebo e-domněnka ) tvrzení v teorii čísel týkající se vlastností Galoisových reprezentací spojených s modulárními formami . To bylo navržené Jean-Pierre Serre a osvědčil tím Ken Ribet . Důkaz domněnky o epsilonu byl významným krokem k důkazu Fermatovy poslední věty . Jak ukazují Serre a Ribet, domněnka Taniyama – Shimura (jejíž stav v té době nebyl vyřešen) a dohad epsilon společně naznačují, že Fermatova poslední věta je pravdivá.

Z matematického hlediska Ribetova věta ukazuje, že pokud Galoisova reprezentace spojená s eliptickou křivkou má určité vlastnosti, pak tato křivka nemůže být modulární (v tom smyslu, že nemůže existovat modulární forma, která vede ke stejné Galoisově reprezentaci).

Prohlášení

Nechť f je nový tvar váhy 2 na Γ ₀ ( qN ) –ie úrovně qN, kde q nerozděluje N –s absolutně neredukovatelným 2-dimenzionálním modem p Galoisova reprezentace ρ _{f, p} unramified na q if q ≠ p a konečná plochá na q = p . Pak existuje váha 2 newform g úrovně N taková, že

${\ Displaystyle \ rho _ {f, p} \ simeq \ rho _ {g, p}.}$

Zejména, jestliže E je eliptická křivka nad s vodičem Qn , pak modularita věta zaručuje, že existuje hmotnost 2 newform f úrovně qN tak, že se 2-rozměrné mod p Galois reprezentace ρ _{f, p} o f je izomorfní k 2-dimenzionální mod p Galois reprezentace ρ _{E, p} o e . K aplikaci Ribetovy věty na ρ _{E , p} stačí zkontrolovat neredukovatelnost a rozvětvení ρ _{E, s} . Použití teorii křivky Tate , lze dokázat, že p _{E, p} je unramified na q ≠ p a konečných bytu při q = p , pokud p rozděluje výkon, na které q se objeví v minimálním diskriminační Δ _E . Potom Ribetova věta naznačuje, že existuje váha 2 newform g úrovně N taková, že ρ _{g , p} ≈ ρ _{E , p} . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Výsledek snížení úrovně

Všimněte si, že Ribetova věta nezaručuje, že pokud začíná eliptickou křivkou E vodiče qN , existuje eliptická křivka E ' úrovně N taková, že ρ _{E, p} ≈ ρ _{E ′, p} . Nový tvar g úrovně N nemusí mít racionální Fourierovy koeficienty, a proto může být spojen s vyšší dimenzionální abelianovou odrůdou , nikoli s eliptickou křivkou. Například eliptická křivka 4171a1 v databázi Cremona daná rovnicí

${\ Displaystyle E: y^{2}+xy+y = x^{3} -663204x+206441595}$

s vodičem 43 × 97 a diskriminačním 43 ⁷  × 97 ³ nesnižuje úroveň mod 7 na eliptickou křivku vodiče 97. Reprezentace mod p Galois je spíše izomorfní s mod p Galoisova reprezentace iracionálního nového tvaru g úrovně 97 .

Avšak pro p dostatečně velký ve srovnání s úrovní N nové formy snížené o úroveň musí racionální nová forma (např. Eliptická křivka) snížit úroveň na jinou racionální novou formu (např. Eliptická křivka). Zejména pro p » N ^{N 1+ e} , mod p Galois reprezentace racionální newform nemůže být izomorfní k tomu iracionální newform hladinového N .

Podobně Frey- Mazur hypotéza předpokládá, že pro p dostatečně velké (nezávisle na vodiče N ), eliptické křivky s isomorphic mod p Galois reprezentací jsou ve skutečnosti isogenous , a tudíž mají stejný vodič. Proto se nepředpokládá, že by u velkého p (zejména p > 17) došlo k netriviálnímu snižování úrovně mezi racionálními novými formami .

Dějiny

Yves Hellegouarch  [ fr ] ve své práci přišel s nápadem spojit řešení ( a , b , c ) Fermatovy rovnice se zcela jiným matematickým objektem: eliptickou křivkou. Pokud p je liché prvočíslo a a , b , a c jsou kladná celá čísla taková, že

${\ Displaystyle a^{p}+b^{p} = c^{p},}$

pak odpovídající Freyova křivka je algebraická křivka daná rovnicí

${\ Displaystyle y^{2} = x (xa^{p}) (x+b^{p}).}$

Jedná se o nesingulární algebraickou křivku rodu definovanou nad a její projektivní dokončení je eliptická křivka . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

V roce 1982 Gerhard Frey upozornil na neobvyklé vlastnosti stejné křivky jako Hellegouarch, nyní nazývané Freyova křivka . To poskytlo most mezi Fermatem a Taniyamou tím, že se ukázalo, že protipříklad k Fermatově poslední větě by vytvořil takovou křivku, která by nebyla modulární. Tato domněnka vzbudila značný zájem, když Frey (1986) navrhl, že domněnka Taniyama – Shimura – Weil implikuje Fermatovu poslední větu. Jeho argument však nebyl úplný. V roce 1985 Jean-Pierre Serre navrhl, aby Freyova křivka nemohla být modulární, a poskytl o tom částečný důkaz. To ukázalo, že důkaz semistabilního případu domněnky Taniyama – Shimura by znamenal Fermatovu poslední větu. Serre neposkytl úplný důkaz a to, co chybělo, se stalo známým jako epsilonský dohad nebo e-dohad. V létě 1986 Kenneth Alan Ribet prokázal epsilonskou domněnku, čímž dokázal, že domněnka Taniyama – Shimura – Weil implikovala Fermatovu poslední větu.

Důsledky pro Fermatovu poslední větu

Předpokládejme, že Fermatova rovnice s exponentem p ≥ 5 měla řešení v nenulových celých číslech a , b , c . Vytvořme odpovídající Freyovu křivku E _{a ^p , b ^p , c ^p} . Jedná se o eliptické křivky a lze prokázat, že její minimální diskriminační Δ je rovno 2, ^-8 ( ABC ), ^{2, p} a jeho vodič N je zbytek z ABC , tj produktu všech různých prvočísel dělících abc . Podle elementární zohlednění rovnice ^p + b ^p = c ^p , je zřejmé, že jedna z a , b , c je i, a proto, aby se N . Podle dohadů Taniyama – Shimura je E modulární eliptická křivka. Protože všechny liché prvočísla dělící a , b , c v N se zdají být p -tou silou v minimálním diskriminátoru Δ, podle Ribetovy věty lze opakovaně provádět modulo p sestupu úrovně p, aby se odstranily všechny liché prvočísla z vodiče. Neexistují však žádné nové tvary úrovně 2, protože rod modulární křivky X ₀ (2) je nulový (a nové formy úrovně N jsou diferenciály na X ₀ ( N )).

Viz také

• abc dohady
• Wilesův důkaz Fermatovy poslední věty

Poznámky

1. ^ „Důkaz Fermatovy poslední věty“ . 10.12.2008 Archivovány od originálu na 2008-12-10.
2. ^ Silliman, Jesse; Vogt, Isabel (2015). „Pravomoci v Lucasových sekvencích prostřednictvím zastoupení Galois“. Proceedings of the American Mathematical Society . 143 (3): 1027–1041. arXiv : 1307,5078 . CiteSeerX  10.1.1.742.7591 . doi : 10,1090/S0002-9939-2014-12316-1 . MR  3293720 .
3. ^ Hellegouarch, Yves (1972). „Courbes elliptiques et equation de Fermat“. Disertační práce . BNF  359121326 .
4. ^ Frey, Gerhard (1982), „Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven“ [Rational points on Fermat curves and twisted modular curves], J. Reine Angew. Matematika. (v němčině), 331 (331): 185–191, doi : 10,1515/crll.1982.331.185 , MR  0647382
5. ^ Frey, Gerhard (1986), „Vazby mezi stabilními eliptickými křivkami a určitými diofantickými rovnicemi“, Annales Universitatis Saraviensis. Řada Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN  0933-8268 , MR  0853387
6. ^ Serre, J.-P. (1987), "Lettre à J.-F. Mestre [Dopis J.-F. Mestre]", Aktuální trendy v aritmetické algebraické geometrii (Arcata, Kalifornie, 1985) , Současná matematika (ve francouzštině), 67 , Providence , RI: American Mathematical Society, s. 263–268, doi : 10,1090/conm/067/902597 , ISBN 9780821850749, MR  0902597
7. ^ Serre, Jean-Pierre (1987), „Sur les representations modulaires de degré 2 de Gal ( Q / Q )“, Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179–230, doi : 10,1215 / S0012-7094-87- 05413-5 , ISSN  0012-7094 , MR  0885783
8. ^ ^{a b} Ribet, Ken (1990). „O modulárních reprezentacích Gal ( Q / Q ) vyplývajících z modulárních forem“ (PDF) . Vynález Mathematicae . 100 (2): 431–476. Bibcode : 1990InMat.100..431R . doi : 10,1007/BF01231195 . MR  1047143 .

Reference

• Kenneth Ribet, Od domněnky Taniyama-Shimura k Fermatově poslední větě . Annales de la faculté des sciences de Toulouse Sér. 5, 11 č. 1 (1990), s. 116–139.
• Andrew Wiles (květen 1995). „Modulární eliptické křivky a Fermatova poslední věta“ (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 443–551. CiteSeerX  10.1.1.169.9076 . doi : 10,2307/2118559 . JSTOR  2118559 .
• Richard Taylor a Andrew Wiles (květen 1995). „Ring-teoretické vlastnosti některých Heckeových algeber“ (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 553–572. CiteSeerX  10.1.1.128.531 . doi : 10,2307/2118560 . ISSN  0003-486X . JSTOR  2118560 . OCLC  37032255 . Zbl  0823.11030 .
• Freyova křivka a Ribetova věta

externí odkazy

• Ken Ribet a Fermatova poslední věta od Kevina Buzzarda, 28. června 2008