Homogenní polynom - Homogeneous polynomial

V matematice je homogenní polynom , někdy nazývaný ve starších textech kvantový , polynom, jehož nenulové termíny mají stejný stupeň . Například je homogenní polynom stupně 5 ve dvou proměnných; součet exponentů v každém členu je vždy 5. Polynom není homogenní, protože součet exponentů se neshoduje od termínu k termínu. Polynom je homogenní právě tehdy, pokud definuje homogenní funkci . ${\ displaystyle x ^ {5} + 2x ^ {3} y ^ {2} + 9xy ^ {4}}$ ${\ displaystyle x ^ {3} + 3x ^ {2} y + z ^ {7}}$

Algebraická forma , nebo prostě forma , je funkce definované homogenní polynomu. Binární forma je forma ve dvou proměnných. Forma je také funkce definovaná na vektorový prostor , který může být vyjádřen jako homogenní funkce souřadnic přes jakoukoliv bázi .

Polynom stupně 0 je vždy homogenní; je to prostě prvek pole nebo prstence koeficientů, obvykle nazývaný konstanta nebo skalár. Forma stupně 1 je lineární forma. Forma stupně 2 je kvadratická forma . V geometrii je euklidovská vzdálenost je druhá odmocnina z kvadratické formy.

Homogenní polynomy jsou v matematice a fyzice všudypřítomné. Hrají zásadní roli v algebraické geometrii, protože projektivní algebraická rozmanitost je definována jako množina běžných nul sady homogenních polynomů.

Vlastnosti

Homogenní polynom definuje homogenní funkci . To znamená, že pokud je vícerozměrný polynom P homogenní se stupněm d , pak

{\ displaystyle P (\ lambda x_ {1}, \ ldots, \ lambda x_ {n}) = \ lambda ^ {d} \, P (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ ,,}

pro každý v každém oboru , který obsahuje koeficienty z P . Naopak, pokud výše uvedený vztah platí pro nekonečně mnoho, pak je polynom homogenní stupně d . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Zejména pokud je P homogenní

{\ displaystyle P (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad P (\ lambda x_ {1}, \ ldots, \ lambda x_ {n}) = 0,}

pro každou Tato vlastnost je zásadní při definici projektivní odrůdy . ${\ displaystyle \ lambda.}$

Libovolný nenulový polynom lze rozložit jedinečným způsobem jako součet homogenních polynomů různých stupňů, které se nazývají homogenní složky polynomu.

Vzhledem k tomu, polynomiální kruh přes pole (nebo, obecněji, je kruh ) K , homogenní polynomy stupně d tvoří vektorový prostor (nebo modul ), obecně označený Výše jedinečných rozkladu znamená, že je přímý součet z (suma přes všechna nezáporná celá čísla ). ${\ displaystyle R = K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle R_ {d}.}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R_ {d}}$

Dimenze vektorového prostoru (nebo volného modulu ) je počet různých monomiálů stupně d v n proměnných (to je maximální počet nenulových výrazů v homogenním polynomu stupně d v n proměnných). Rovná se binomickému koeficientu ${\ displaystyle R_ {d}}$

{\ displaystyle {\ binom {d + n-1} {n-1}} = {\ binom {d + n-1} {d}} = {\ frac {(d + n-1)!} {d ! (n-1)!}}.}

Homogenní polynom uspokojuje Eulerovu identitu pro homogenní funkce . To znamená, že pokud $P$ je homogenní polynom stupně $d$ v neurčitých, které má, podle toho, co je komutativní prsten koeficientů, ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n},}$

{\ displaystyle dP = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} {\ frac {\ částečné P} {\ částečné x_ {i}}},}

kde znamená formální parciální derivace a $P$ , pokud jde o ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ částečné P} {\ částečné x_ {i}}}}$ ${\ displaystyle x_ {i}.}$

Homogenizace

Nehomogenní polynom P ( x ₁ , ..., x _n ) lze homogenizovat zavedením další proměnné x ₀ a definováním homogenního polynomu, který se někdy označuje ^h P :