Sféra homologie - Homology sphere

V algebraické topologii , je homologie koule je n - potrubí X , která má homologii skupiny o o n - koule pro některé celé číslo . To znamená, ${\ Displaystyle n \ geq 1}$

{\ Displaystyle H_ {0} (X, \ mathbb {Z}) = H_ {n} (X, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z}}

a

{\ displaystyle H_ {i} (X, \ mathbb {Z}) = \ {0 \}}

pro všechny ostatní i .

Proto X je souvislý prostor , s jedním nenulovým vyšší Betti čísla , a to, . Z toho nevyplývá, že X je jednoduše spojeno , pouze že jeho základní skupina je dokonalá (viz Hurewiczova věta ). ${\ displaystyle b_ {n} = 1}$

Racionální homologie koule je definován podobně, ale za použití homologii s racionálními koeficienty.

Poincaré homologická sféra

Poincaré homologická sféra (také známá jako Poincaré dodekahedrální prostor) je konkrétním příkladem homologické sféry, kterou poprvé postavil Henri Poincaré . Jelikož je sférický 3-varietní , je jedinou homologní 3-sférou (kromě samotné 3-sféry ) s konečnou základní skupinou . Jeho základní skupina je známá jako binární ikosaedrická skupina a má řád 120. Protože základní skupina 3 sféry je triviální, ukazuje to, že existují 3 variet se stejnými homologickými skupinami jako 3 sféry, které nejsou homeomorfní pro to.

Konstrukce

Jednoduchá stavba tohoto prostoru začíná dvanáctistěnem . Každá tvář dodecahedronu je identifikována se svou protilehlou tváří pomocí minimálního kroucení ve směru hodinových ručiček k zarovnání obličejů. Slepením každého páru protilehlých ploch dohromady pomocí této identifikace vznikne uzavřené 3-potrubí. (Viz Seifert – Weberův prostor pro podobnou konstrukci, používající více „kroucení“, což vede k hyperbolickému 3-potrubí .)

Alternativně lze homologickou sféru Poincaré zkonstruovat jako kvocient prostoru SO (3) /I, kde I je ikosahedrická skupina (tj. Skupina rotační symetrie pravidelného ikosahedronu a dodekaedru, izomorfní ke střídající se skupině ). Intuitivněji to znamená, že homologická sféra Poincaré je prostorem všech geometricky rozlišitelných poloh icosahedronu (s pevným středem a průměrem) v euklidovském 3-prostoru. Místo toho lze také přejít k univerzálnímu krytu SO (3), který může být realizován jako skupina jednotkových kvaternionů a je homeomorfní pro 3 sféru. V tomto případě je homologická sféra Poincaré izomorfní k místu, kde je binární ikosaedrická skupina , dokonalý dvojitý kryt I vložený do . ${\ displaystyle A_ {5}}$ ${\ displaystyle S^{3}/{\ widetilde {I}}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {I}}}$ ${\ displaystyle S^{3}}$

Dalším přístupem je Dehnova operace . Homologická sféra Poincaré je výsledkem chirurgického zákroku +1 na pravotočivém uzlu trojlístku .

Kosmologie

V roce 2003 vedl nedostatek struktury v největších stupnicích (nad 60 stupňů) v kosmickém mikrovlnném pozadí, jak jej po dobu jednoho roku pozorovala kosmická loď WMAP, k názoru Jean-Pierra Lumineta z Observatoire de Paris a jeho kolegů, že tvar vesmíru je Poincaréova koule. V roce 2008 astronomové našli pro model nejlepší orientaci na obloze a pomocí tříletého pozorování kosmické lodi WMAP potvrdili některé z předpovědí modelu. Jak 2016, zveřejnění analýzy dat z kosmické lodi Planck naznačuje, že neexistuje žádná pozorovatelná netriviální topologie vesmíru.

Konstrukce a příklady

Chirurgie na uzlu v 3-sféře S ³ s rámováním +1 nebo -1 dává homologickou sféru.
Obecněji řečeno, operace na odkazu dává sféru homologie, kdykoli matice daná průsečíkovými čísly (mimo diagonálu) a rámečky (na diagonále) má determinant +1 nebo -1.
Pokud p , q a r jsou párové relativně primární kladná celá čísla, pak je vazba singularity x ^p + y ^q + z ^r = 0 (jinými slovy, průnik malé 5-koule kolem 0 s tímto komplexním povrchem) je Brieskorn potrubí , která je homologie 3-koule, nazvaný Brieskorn 3-koule å ( p , q , r ). Je standardní pro standardní 3 sféry, pokud jedna z p , q a r je 1 a Σ (2, 3, 5) je Poincaréova koule.
Připojený součet dvou orientovaných homologie 3 sfér je homologie 3-koule. Homologická 3 sféra, kterou nelze zapsat jako součet dvou homologních 3 sférických oblastí, se nazývá neredukovatelná nebo primární a každá homologická 3 sférická sféra může být zapsána jako propojený součet hlavních 3 homogenních sférických v podstatě jedinečným způsobem. (Viz Prime rozklad (3-potrubí) .)
Předpokládejme, že jsou všechna čísla alespoň 2, takže jakákoli dvě jsou coprime. Pak vláknový prostor Seifert ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {r}}$

{\ Displaystyle \ {b, (o_ {1}, 0); (a_ {1}, b_ {1}), \ tečky, (a_ {r}, b_ {r}) \} \,}

nad sférou s výjimečnými vlákny stupňů a ₁ , ..., a _r je homologická sféra, kde b jsou vybrána tak, že

{\ Displaystyle b+b_ {1}/a_ {1}+\ cdots+b_ {r}/a_ {r} = 1/(a_ {1} \ cdots a_ {r}).}

(Vždy existuje způsob, jak zvolit b 's, a sféra homologie nezávisí (až na izomorfismus) na výběru b ' s.) Pokud r je nejvýše 2, je to jen obvyklá 3 sféra; jinak jsou to odlišné netriviální sféry homologie. V případě, že 's jsou 2, 3, a 5 to dává Poincaré koule. Pokud existují alespoň 3 a 's, ne 2, 3, 5, pak se jedná o 3-sférickou acyklickou homologii s nekonečnou základní skupinou, která má Thurstonovu geometrii modelovanou na univerzálním krytu SL ₂ ( R ) .

Invariants

Rokhlin invariantní je cenil neměnný homologie 3 sfér. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
Casson invariantní je celé číslo váženým invariantní homologie 3-kuliček, jejichž snížení mod 2 je Rokhlin neměnný.

Aplikace

Pokud je homologie 3-koule nejsou homeomorfní standardní 3-koule, potom se suspenze z A je příkladem 4-rozměrný homologie potrubí , které není topologické potrubí . Dvojitá suspenze A je homeomorfní ke standardní 5-sféře, ale její triangulace (indukovaná nějakou triangulací A ) není PL rozmanitá . Jinými slovy, to dává příklad konečného zjednodušeného komplexu, který je topologickým varietem, ale nikoli PL manifestem. (Není to rozdělovač PL, protože spojení bodu není vždy 4 koule.)

Galewski a Stern ukázali, že všechny kompaktní topologické potrubí (bez hranice) o rozměrech alespoň 5 jsou homeomorfní až zjednodušující komplexy právě tehdy, existuje -li sféra homologie 3 Σ s Rokhlinovým invariantem 1 tak, že spojený součet Σ#Σ of Σ se sebou samým ohraničuje hladké acyklické 4-potrubí. V roce 2013 byla existence takové homologie 3-sféry nevyřešeným problémem. 11. března 2013 zveřejnil Ciprian Manolescu předtisk na ArXiv, který tvrdil, že ukazuje, že s danou vlastností neexistuje žádná taková homologická sféra, a proto existuje 5 variet, které nejsou homeomorfní až zjednodušující komplexy. Zejména příklad původně uvedený Galewskim a Sternem (viz Galewski a Stern, univerzální 5-varietní program s ohledem na zjednodušující triangulace, v Geometric Topology (Proceedings Georgia Topology Conference, Athens Georgia, 1977, Academic Press, New York, str. 345) –350)) není trojúhelníkový.

Viz také

Reference

Vybrané čtení

Dror, Emmanuel (1973). „Sféry homologie“ . Israel Journal of Mathematics . 15 : 115–129. doi : 10,1007/BF02764597 . MR 0328926 .
David Galewski, Ronald Stern Klasifikace zjednodušovacích triangulací topologických variet , Annals of Mathematics 111 (1980), no. 1, s. 1–34.
Robion Kirby , Martin Scharlemann, Osm tváří 3-sféry homologie Poincaré . Geometrická topologie (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), s. 113–146, Academic Press , New York-Londýn, 1979.
Kervaire, Michel (1969). „Hladké sféry homologie a jejich základní skupiny“. Transakce Americké matematické společnosti . 144 : 67–72. JSTOR 1995269 . MR 0253347 .
Nikolai Saveliev, Invariants of Homology 3-Spheres , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, sv. 140. Low-Dimensional Topology, I. Springer-Verlag, Berlin, 2002. MR 1941324 ISBN 3-540-43796-7

externí odkazy

A 16-Vertex triangulace podle Poincaré Homology 3-Sphere a Non-PL koule s málo vrcholů od Anders Björner a Frank H. Lutz
Přednáška Davida Gillmana na téma Nejlepší obraz homologické sféry Poincare

Languages

In other projects