Sférické 3-potrubí - Spherical 3-manifold

V matematiky , je sférická 3-různý M je 3 potrubí ve tvaru

${\ displaystyle M = S ^ {3} / \ Gamma}$

kde je konečný podskupina z SO (4) volně působící rotacemi na 3-koule . Všechna taková potrubí jsou primární , orientovatelná a uzavřená . Sférické 3-potrubí jsou někdy nazývány eliptické 3-potrubí nebo Clifford-Klein potrubí. ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$

Vlastnosti

Sférické 3-potrubí má konečnou základní skupinu izomorfní vůči Γ samotné. Elliptization domněnka , dokazuje Grigorij Perelman , uvádí, že ji naopak všechny 3-variety s konečnou základní skupině jsou kulovité rozdělovače.

Základní skupina je buď cyklická , nebo je centrálním rozšířením dihedrální , čtyřboká , oktaedrická nebo ikosaedrální skupina o cyklickou skupinu sudého řádu. Tím se rozděluje sada takových potrubí do 5 tříd popsaných v následujících částech.

Sférická potrubí jsou přesně potrubí se sférickou geometrií, jednou z 8 geometrií Thurstonova domněnky o geometrizaci .

Cyklické pouzdro (prostory pro čočky)

Rozdělovače s cyklickým are jsou přesně trojrozměrné prostory čoček . Prostor čočky není určen svou základní skupinou (existují nedomorfomické prostory čoček s izomorfními základními skupinami); ale jakékoli jiné sférické potrubí je. ${\ displaystyle S ^ {3} / \ Gamma}$

Trojrozměrné prostory čoček vznikají jako kvocienty činnosti skupiny, která je generována prvky formuláře ${\ displaystyle S ^ {3} \ podmnožina \ mathbb {C} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ omega & 0 \\ 0 & \ omega ^ {q} \ end {pmatrix}}.}$

kde . Takový prostor pro čočky má základní skupinu pro všechny , takže prostory s různými nejsou ekvivalentem homotopy. Dále jsou známy klasifikace až po homeomorfismus a rovnocennost homotopy. Trojrozměrné prostory a jsou: ${\ displaystyle \ omega = e ^ {2 \ pi i / p}}$${\ displaystyle L (p; q)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle L (p; q_ {1})}$${\ displaystyle L (p; q_ {2})}$

1. ekvivalent homotopy, pokud a jen pro některé${\ displaystyle q_ {1} q_ {2} \ equiv \ pm n ^ {2} {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N};}$
2. homeomorfní právě tehdy ${\ displaystyle q_ {1} \ equiv \ pm q_ {2} ^ {\ pm 1} {\ pmod {p}}.}$

Zejména mezery v čočkách L (7,1) a L (7,2) dávají příklady dvou 3-variet, které jsou homotopy ekvivalentní, ale nejsou homeomorfní.

Prostor pro čočky L (1,0) je 3 sféra a prostor pro čočky L (2,1) je trojrozměrný skutečný projektivní prostor.

Objektivové prostory lze mnoha způsoby reprezentovat jako Seifertovy vláknové prostory , obvykle jako vláknité prostory nad 2-koulí s nejvýše dvěma výjimečnými vlákny, ačkoli prostor čočky se základní skupinou řádu 4 má také zastoupení jako Seifertův vláknový prostor nad projektivní rovina bez výjimečných vláken.

Dihedral případ (hranol potrubí)

Hranol potrubí je uzavřený 3-rozměrný různý M , jejíž základní skupina je centrální rozšíření dihedrické skupiny.

Základní skupina π ₁ ( M ) M je produktem cyklické skupiny řádu m se skupinou, která má prezentaci

${\ displaystyle \ langle x, y \ mid xyx ^ {- 1} = y ^ {- 1}, x ^ {2 ^ {k}} = y ^ {n} \ rangle}$

pro celá čísla k , m , n s k ≥ 1, m ≥ 1, n ≥ 2 a m coprime na 2 n .

Alternativně má základní skupina prezentaci

${\ displaystyle \ langle x, y \ mid xyx ^ {- 1} = y ^ {- 1}, x ^ {2m} = y ^ {n} \ rangle}$

pro coprime celá čísla m , n s m ≥ 1, n ≥ 2. ( n zde se rovná předchozímu n a m zde je 2 ^{k -1} krát předchozí m .)

Pokračujeme druhou prezentací. Tato skupina je metacyklická skupina řádu 4 mn s abelianizací řádu 4 m (takže m a n jsou obě určeny touto skupinou). Prvek y generuje cyklickou normální podskupinu řádu 2 n a prvek x má řád 4 m . Centrum je cyklická řádově 2 m a je generován x ² , a kvocient střed je vzepětí skupina řádově 2 n .

Když m = 1, tato skupina je binární dihedrální nebo dicyklická skupina . Nejjednodušší příklad je m = 1, n = 2, když π ₁ ( M ) je čtveřice skupiny řádu 8.

Hranolová potrubí jsou jednoznačně určena jejich základními skupinami: má-li uzavřený 3-potrubí stejnou základní skupinu jako hranolový potrubí M , je pro M homeomorfní .

Hranolová potrubí lze reprezentovat jako vláknité prostory Seifert dvěma způsoby.

Čtyřboký případ

Základní skupina je produktem cyklické skupiny řádu m se skupinou, která má prezentaci

${\ displaystyle \ langle x, y, z \ mid (xy) ^ {2} = x ^ {2} = y ^ {2}, zxz ^ {- 1} = y, zyz ^ {- 1} = xy, z ^ {3 ^ {k}} = 1 \ rangle}$

pro celá čísla k , m s k ≥ 1, m ≥ 1 a m coprime na 6.

Alternativně má základní skupina prezentaci

${\ displaystyle \ langle x, y, z \ mid (xy) ^ {2} = x ^ {2} = y ^ {2}, zxz ^ {- 1} = y, zyz ^ {- 1} = xy, z ^ {3m} = 1 \ rangle}$

pro liché celé číslo m ≥ 1. ( m je zde 3 ^{k -1} krát předchozí m .)

Pokračujeme druhou prezentací. Tato skupina má objednávku 24 m . Prvky x a y generují normální podskupinu izomorfní se čtveřicí skupiny řádu 8. Střed je cyklický řádu 2 m . To je generován prvky Z ³ a x ² = Y ² a kvocient střed je čtyřboká skupina, ekvivalentně střídavý skupina ₄ .

Když m = 1, tato skupina je binární čtyřboká skupina .

Tato potrubí jsou jednoznačně určena jejich základními skupinami. Mohou být všechny reprezentovány v podstatě jedinečným způsobem jako Seifertovy vláknové prostory : kvocientové potrubí je koule a existují 3 výjimečná vlákna řádů 2, 3 a 3.

Oktaedrický případ

Základní skupina je produktem cyklické skupiny řádu m coprime na 6 s binární oktaedrickou skupinou (řádu 48), která má prezentaci

${\ displaystyle \ langle x, y \ mid (xy) ^ {2} = x ^ {3} = y ^ {4} \ rangle.}$

Tato potrubí jsou jednoznačně určena jejich základními skupinami. Mohou být všechny reprezentovány v zásadě jedinečným způsobem jako Seifertovy vláknové prostory : kvocientové potrubí je koule a existují 3 výjimečná vlákna řádů 2, 3 a 4.

Ikosahedrální případ

Základní skupina je produktem cyklické skupiny řádu m coprime do 30 s binární ikosaedrální skupinou (řád 120), která má prezentaci

${\ displaystyle \ langle x, y \ mid (xy) ^ {2} = x ^ {3} = y ^ {5} \ rangle.}$

Když m je 1, potrubí je sféra homologie Poincaré .

Tato potrubí jsou jednoznačně určena jejich základními skupinami. Mohou být všechny reprezentovány v zásadě jedinečným způsobem jako prostory vláken Seifert: kvocient potrubí je koule a existují 3 výjimečná vlákna řádů 2, 3 a 5.

Reference

• Peter Orlik , Seifert manifolds , Lecture Notes in Mathematics, sv. 291, Springer-Verlag (1972). ISBN  0-387-06014-6
• William Jaco , Přednášky o trojnásobné topologii ISBN  0-8218-1693-4
• William Thurston , trojrozměrná geometrie a topologie. Sv. 1 . Upravil Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press , Princeton, New Jersey , 1997. ISBN  0-691-08304-5