Multinomiální probit - Multinomial probit

Část série na
Regresní analýza
Modely
Lineární regrese Jednoduchá regrese Polynomiální regrese Obecný lineární model
Zobecněný lineární model Diskrétní volba Binomická regrese Binární regrese Logistická regrese Multinomiální logit Smíšený logit Probit Multinomiální probit Objednaný logit Objednaný probit jed
Víceúrovňový model Opravené efekty Náhodné efekty Lineární model se smíšenými efekty Nelineární model smíšených efektů
Nelineární regrese Neparametrické Semiparametrické Robustní Kvantilní Izotonický Hlavní součásti Nejméně úhel Místní Segmentované
Chyby v proměnných
Odhad
Nejmenší čtverce Lineární Nelineární
Obyčejný Vážený Zobecněný
Částečný Celkový Nezáporné Ridgeova regrese Regularizováno
Nejméně absolutní odchylky Opakovaně váhovaný Bayesian Bayesovský multivariační
Pozadí
Ověření regrese Střední a předpokládaná odpověď Chyby a zbytky Dobře padne Studentizovaný zbytek Gauss – Markovova věta
Matematický portál
proti t E

Ve statistice a ekonometrii je multinomiální probitový model zobecněním použitého probitového modelu, když existuje několik možných kategorií, do kterých může závislá proměnná spadat. Jako takový je alternativou k modelu multinomiální logit jako jedné metodě klasifikace více tříd . Nesmí být zaměňována s vícerozměrným probitovým modelem , který se používá k modelování korelovaných binárních výsledků pro více než jednu nezávislou proměnnou.

Obecná specifikace

Předpokládá se, že máme řadu pozorování Y _i , pro i = 1 ... n , výsledků vícecestných voleb z kategorického rozdělení velikosti m (existuje m možných voleb). Spolu s každým pozorováním Y _i je množina k pozorovaných hodnot x _{1, i} , ..., x _{k, i} vysvětlujících proměnných (také známých jako nezávislé proměnné , predikční proměnné, vlastnosti atd.). Nějaké příklady:

• Pozorované výsledky mohou být „má nemoc A, má nemoc B, má nemoc C, nemá žádnou z nemocí“ pro soubor vzácných onemocnění s podobnými příznaky a vysvětlující proměnné mohou být charakteristikami pacientů považovaných za relevantní (pohlaví rasa, věk, krevní tlak , index tělesné hmotnosti , přítomnost nebo nepřítomnost různých příznaků atd.).
• Zjištěnými výsledky jsou hlasy lidí pro danou stranu nebo kandidáta v mnohostranných volbách a vysvětlujícími proměnnými jsou demografické charakteristiky každé osoby (např. Pohlaví, rasa, věk, příjem atd.).

Model multinomiální probit je statistický model, který lze použít k předpovědi pravděpodobného výsledku nepozorovaného vícecestného pokusu s ohledem na související vysvětlující proměnné. V tomto procesu se model pokouší vysvětlit relativní účinek různých vysvětlujících proměnných na různé výsledky.

Formálně jsou výsledky Y _i popsány jako kategoricky distribuovaná data, kde každá výsledná hodnota h pro pozorování i nastává s nepozorovanou pravděpodobností p _{i, h,} která je specifická pro pozorování i po ruce, protože je určena hodnotami vysvětlující proměnné spojené s tímto pozorováním. To je:

${\ displaystyle Y_ {i} | x_ {1, i}, \ ldots, x_ {k, i} \ \ sim \ operatorname {kategoricky} (p_ {i, 1}, \ ldots, p_ {i, m}) , {\ text {for}} i = 1, \ tečky, n}$

nebo ekvivalentně

${\ displaystyle \ Pr [Y_ {i} = h | x_ {1, i}, \ ldots, x_ {k, i}] = p_ {i, h}, {\ text {pro}} i = 1, \ tečky, n,}$

pro každou z m možných hodnot h .

Latentní variabilní model

Multinomiální probit je často psán v podmínkách modelu latentní proměnné :

${\ displaystyle {\ begin {aligned} Y_ {i} ^ {1 \ ast} & = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} \ cdot \ mathbf {X} _ {i} + \ varepsilon _ {1 } \, \\ Y_ {i} ^ {2 \ ast} & = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2} \ cdot \ mathbf {X} _ {i} + \ varepsilon _ {2} \, \ \\ ldots & \ ldots \\ Y_ {i} ^ {m \ ast} & = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {m} \ cdot \ mathbf {X} _ {i} + \ varepsilon _ {m} \, \\\ konec {zarovnáno}}}$

kde

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ sim {\ mathcal {N}} (0, {\ boldsymbol {\ Sigma}})}$

Pak

${\ displaystyle Y_ {i} = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} Y_ {i} ^ {1 \ ast}> Y_ {i} ^ {2 \ ast}, \ ldots, Y_ {i } ^ {m \ ast} \\ 2 & {\ text {if}} Y_ {i} ^ {2 \ ast}> Y_ {i} ^ {1 \ ast}, Y_ {i} ^ {3 \ ast}, \ ldots, Y_ {i} ^ {m \ ast} \\\ ldots & \ ldots \\ m & {\ text {jinak.}} \ end {případy}}}$

To znamená

${\ displaystyle Y_ {i} = \ arg \ max _ {h = 1} ^ {m} Y_ {i} ^ {h \ ast}}$

Všimněte si, že tento model umožňuje libovolnou korelaci mezi chybovými proměnnými , takže nemusí nutně respektovat nezávislost irelevantních alternativ .

Když je matice identity (tak, že neexistuje žádná korelace nebo heteroscedasticita ), model se nazývá nezávislý probit . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}}$

Odhad

Podrobnosti o tom, jak se rovnice odhadují, najdete v článku Probitův model .

Reference

• Greene, William H. (2012). Ekonometrická analýza (sedmé vydání). Boston: Pearson Education. 810–811. ISBN   978-0-273-75356-8 .