Diskrétní volba - Discrete choice

Část série na
Regresní analýza
Modely
Lineární regrese Jednoduchá regrese Polynomiální regrese Obecný lineární model
Zobecněný lineární model Diskrétní volba Binomická regrese Binární regrese Logistická regrese Multinomiální logit Smíšený logit Probit Multinomiální probit Objednaný logit Objednaný probit jed
Víceúrovňový model Opravené efekty Náhodné efekty Lineární model se smíšenými efekty Nelineární model smíšených efektů
Nelineární regrese Neparametrické Semiparametrické Robustní Kvantilní Izotonický Hlavní součásti Nejméně úhel Místní Segmentované
Chyby v proměnných
Odhad
Nejmenší čtverce Lineární Nelineární
Obyčejný Vážený Zobecněný
Částečný Celkový Nezáporné Ridgeova regrese Regularizováno
Nejméně absolutní odchylky Opakovaně váhovaný Bayesian Bayesovský multivariační
Pozadí
Ověření regrese Střední a předpokládaná odpověď Chyby a zbytky Dobře padne Studentizovaný zbytek Gauss – Markovova věta
Matematický portál
proti t E

V ekonomii , diskrétní volby modelů či kvalitativních modelů volby , popsat, vysvětlit a předvídat volby mezi dvěma nebo více diskrétními alternativami, jako například zadávání nebo ne vstupu na trh práce , nebo zvolit mezi různými druhy dopravy . Takové volby kontrastují se standardními modely spotřeby, u nichž se předpokládá, že množství každého spotřebovaného zboží je spojitá proměnná . V kontinuálním případě lze k určení zvoleného optimálního množství použít metody kalkulu (např. Podmínky prvního řádu) a poptávku lze modelovat empiricky pomocí regresní analýzy . Na druhou stranu analýza diskrétní volby zkoumá situace, ve kterých jsou potenciální výsledky diskrétní, takže optimum není charakterizováno standardními podmínkami prvního řádu. Namísto zkoumání „kolik“, jako v případě problémů s proměnnými s kontinuální volbou, tedy analýza diskrétní volby zkoumá „kterou“. Diskrétní výběrová analýza však může být také použita ke zkoumání zvoleného množství, když je třeba vybrat pouze několik odlišných množství, jako je počet vozidel, které se domácnost rozhodne vlastnit, a počet minut telekomunikačních služeb, které se zákazník rozhodne koupit. Pro empirickou analýzu diskrétní volby lze použít techniky, jako je logistická regrese a pravděpodobnostní regrese .

Modely diskrétní volby teoreticky nebo empiricky modelují volby provedené lidmi v rámci konečné sady alternativ. Tyto modely byly použity k prozkoumání např. Výběru, které auto si koupit, kam jít na vysokou školu, jaký způsob dopravy (auto, autobus, železnice) je třeba použít pro práci mezi mnoha dalšími aplikacemi. Modely diskrétního výběru se také používají k prozkoumání možností organizací, jako jsou firmy nebo vládní agentury. V diskusi níže se předpokládá, že rozhodovací jednotkou je osoba, i když koncepty jsou použitelnější obecněji. Daniel McFadden získal v roce 2000 Nobelovu cenu za průkopnickou práci při vývoji teoretického základu pro diskrétní výběr.

Diskrétní modely výběru statisticky vztahují výběr provedený každou osobou k atributům osoby a atributům alternativ, které má osoba k dispozici. Například výběr automobilu, který si člověk koupí, statisticky souvisí s příjmem a věkem osoby, jakož i s cenou, palivovou úsporností, velikostí a dalšími atributy každého dostupného automobilu. Modely odhadují pravděpodobnost, že si osoba vybere konkrétní alternativu. Tyto modely se často používají k předpovědi toho, jak se volby lidí změní při změnách demografických údajů nebo atributů alternativ.

Modely diskrétní volby určují pravděpodobnost, že si jednotlivec vybere možnost ze sady alternativ. Pravděpodobnostní popis chování diskrétní volby se používá k tomu, aby neodráželo individuální chování, které je považováno za skutečně pravděpodobné. Je to spíše nedostatek informací, který nás vede k pravděpodobnému popisu volby. V praxi nemůžeme znát všechny faktory ovlivňující rozhodování jednotlivců, protože jejich determinanty jsou částečně pozorovány nebo nedokonale měřeny. Modely diskrétní volby se proto opírají o stochastické předpoklady a specifikace, aby zohlednily nepozorované faktory související s a) alternativami volby, b) chuťovými variacemi nad lidmi (interpersonální heterogenita) a v čase (dynamika volby mezi jednotlivci), ac) heterogenními sadami voleb . Různé formulace byly shrnuty a rozděleny do skupin modelů.

Aplikace

• Marketingoví výzkumníci používají diskrétní modely výběru ke studiu poptávky spotřebitelů a k předpovědi konkurenceschopných obchodních reakcí, což modelářům výběru umožňuje řešit řadu obchodních problémů, jako jsou ceny , vývoj produktů a problémy s odhadem poptávky . V průzkumu trhu se tomu běžně říká společná analýza .
• Plánovači dopravy používají modely diskrétní volby k předpovídání poptávky po plánovaných dopravních systémech, jako je například to, jakou cestou se řidič vydá a zda někdo vezme systémy rychlé dopravy . První aplikace modelů s diskrétní volbou byly v plánování dopravy a většina nejpokročilejšího výzkumu v modelech s diskrétní volbou je prováděna výzkumnými pracovníky v oblasti dopravy.
• Energetičtí prognostici a tvůrci politik používají pro výběr topného systému pro domácnosti a firmy, úrovně účinnosti zařízení a úrovně palivové účinnosti vozidel diskrétní modely.
• Studie o životním prostředí využívají diskrétní modely výběru, aby prozkoumaly výběr rektorů, např. Rybaření nebo lyžování, a vyvodili hodnotu vybavení, jako jsou kempy, rybí populace a oteplovací chaty, a odhadli hodnotu zlepšení kvality vody.
• Ekonomové práce používají modely diskrétního výběru k posouzení účasti na pracovní síle, výběru povolání a výběru vysoké školy a vzdělávacích programů.
• Ekologické studie využívají diskrétní modely výběru ke zkoumání parametrů, které řídí výběr stanovišť u zvířat.

Společné vlastnosti diskrétních modelů

Modely s diskrétní volbou mají mnoho podob, včetně: Binary Logit, Binary Probit, Multinomial Logit, Conditional Logit, Multinomial Probit, Nested Logit, Generalized Extreme Value Models, Mixed Logit a Exploded Logit. Všechny tyto modely mají společné níže popsané funkce.

Sada možností

Sada voleb je sada alternativ, které jsou dané osobě k dispozici. U modelu s diskrétní volbou musí výběrová sada splňovat tři požadavky:

1. Sada alternativ musí být kolektivně vyčerpávající , což znamená, že sada obsahuje všechny možné alternativy. Tento požadavek znamená, že daná osoba si ze sady nutně vybere alternativu.
2. Alternativy se musí vzájemně vylučovat , což znamená, že výběr jedné alternativy znamená nevybírání jiných alternativ. Tento požadavek znamená, že osoba si ze sady vybere pouze jednu alternativu.
3. Sada musí obsahovat konečný počet alternativ. Tento třetí požadavek odlišuje analýzu diskrétní volby od forem regresní analýzy, ve kterých může závislá proměnná (teoreticky) nabrat nekonečný počet hodnot.

Jako příklad lze uvést, že výběrová sada pro osobu, která se rozhoduje, který způsob dopravy si vezme do práce, zahrnuje samostatnou jízdu, spolujízdu, autobus, atd. Výběrová sada je komplikována skutečností, že osoba může pro danou cestu použít více režimů, jako je jízda autem na vlakové nádraží a poté vlakem do práce. V tomto případě může sada voleb obsahovat každou možnou kombinaci režimů. Alternativně lze výběr definovat jako volbu „primárního“ režimu, přičemž sada se skládá z automobilu, autobusu, železnice a dalších (např. Chůze, jízdních kol atd.). Všimněte si, že je zahrnuta alternativa „other“, aby byl výběr vyčerpávající.

Různí lidé mohou mít různé sady voleb, v závislosti na jejich podmínkách. Například automobil Scion se v Kanadě od roku 2009 neprodával, takže kupci nových automobilů v Kanadě čelili různým sadám výběru od amerických spotřebitelů. Tyto úvahy jsou brány v úvahu při formulaci modelů diskrétní volby.

Definování pravděpodobností volby

Model diskrétní volby určuje pravděpodobnost, že si osoba vybere konkrétní alternativu, přičemž pravděpodobnost je vyjádřena jako funkce pozorovaných proměnných, které se vztahují k alternativám a osobě. V obecné podobě je pravděpodobnost, že osoba n zvolí alternativu i, vyjádřena jako:

${\ displaystyle P_ {ni} \ equiv \ Pr ({\ text {Osoba}} n {\ text {zvolí alternativu}} i) = G (x_ {ni}, \; x_ {nj, j \ neq i}, \; s_ {n}, \; \ beta),}$

kde

${\ displaystyle x_ {ni}}$ je vektor atributů alternativy i, kterým čelí osoba n ,

${\ displaystyle x_ {nj, j \ neq i}}$ je vektor atributů jiných alternativ (jiných než i ), kterým čelí osoba n ,

${\ displaystyle s_ {n}}$ je vektor charakteristik osoby n a

${\ displaystyle \ beta}$ je sada parametrů udávající vliv proměnných na pravděpodobnosti, které se odhadují statisticky.

Ve výše uvedeném příkladu způsobu dopravy lze k výpočtu volby použít atributy druhů ( x _ni ), jako je doba cesty a náklady, a charakteristiky spotřebitele ( s _n ), jako je roční příjem, věk a pohlaví. pravděpodobnosti. Atributy alternativ se mohou u lidí lišit; např. náklady a čas na cestu do práce autem, autobusem a železnicí se u každé osoby liší v závislosti na místě bydliště a práci dané osoby.

Vlastnosti:

• P _ni je mezi 0 a 1
• ${\ displaystyle \ forall n: \; \ součet _ {j = 1} ^ {J} P_ {nj} = 1,}$ kde J je celkový počet alternativ.
• (Očekávaný zlomek lidí, kteří si vyberou i ), kde N je počet lidí, kteří se rozhodli. ${\ displaystyle = {1 \ nad N} {\ součet _ {n = 1} ^ {N} P_ {ni}},}$

Různé modely (tj. Modely používající jinou funkci G) mají různé vlastnosti. Níže jsou uvedeny prominentní modely.

Nástroj pro spotřebitele

Modely diskrétní volby lze odvodit z teorie užitečnosti . Toto odvození je užitečné ze tří důvodů:

1. Dává přesný význam pravděpodobnostem P _ni
2. Motivuje a rozlišuje alternativní specifikace modelu, například výběr funkční formy pro G .
3. Poskytuje teoretický základ pro výpočet změn přebytku spotřebitele (kompenzační odchylka) ze změn atributů alternativ.

U _ni je užitek (nebo čistý přínos nebo blahobyt), který osoba n získá výběrem alternativy i . Chování osoby maximalizuje užitečnost: osoba n si vybere alternativu, která poskytuje nejvyšší užitek. Volba osoby je dána fiktivními proměnnými, y _ni , pro každou alternativu:

${\ displaystyle y_ {ni} = {\ begin {cases} 1 & U_ {ni}> U_ {nj} \ quad \ forall j \ neq i \\ 0 & {\ text {jinak}} \ end {případy}}}$

Zvažte nyní výzkumníka, který zkoumá volbu. Volba osoby závisí na mnoha faktorech, z nichž některé výzkumník sleduje a některé ne. Nástroj, který osoba získá výběrem alternativy, se rozloží na část, která závisí na proměnných, které badatel sleduje, a část, která závisí na proměnných, které badatel nedodrží. V lineární formě je tento rozklad vyjádřen jako

${\ displaystyle U_ {ni} = \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni}}$

kde

• ${\ displaystyle z_ {ni}}$ je vektor pozorovaných proměnných vztahujících se k alternativě i pro osobu n, který závisí na atributech alternativy, x _ni , interagoval snad s atributy osoby, s _n , takže jej lze vyjádřit jako pro nějakou numerickou funkci z , ${\ displaystyle z_ {ni} = z (x_ {ni}, s_ {n})}$
• ${\ displaystyle \ beta}$ je odpovídající vektor koeficientů pozorovaných proměnných a
• ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ni}}$ zachycuje dopad všech nepozorovaných faktorů, které ovlivňují volbu dané osoby.

Pravděpodobnost volby je tedy

${\ displaystyle {\ begin {aligned} P_ {ni} & = \ Pr (y_ {ni} = 1) \\ & = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} U_ {ni}> U_ { nj}, \ right) \\ & = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni}> \ beta z_ {nj} + \ varepsilon _ {nj }, \ right) \\ & = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} \ varepsilon _ {nj} - \ varepsilon _ {ni} <\ beta z_ {ni} - \ beta z_ {nj} , \ right) \ end {aligned}}}$

Vzhledem k β je pravděpodobnost volby pravděpodobností, že náhodné členy, ε _nj - ε _ni (které jsou z pohledu výzkumníka náhodné, protože je výzkumník nedodržuje) jsou pod příslušnými veličinami Různé modely výběru (tj. Různé specifikace G ) vznikají z různých distribucí ε _ni pro všechna i a různých zacházení s β . ${\ displaystyle \ forall j \ neq i: \ beta z_ {ni} - \ beta z_ {nj}.}$

Vlastnosti modelů diskrétní volby implikovaných teorií užitku

Pouze na rozdílech záleží

Pravděpodobnost, že si osoba vybere konkrétní alternativu, je určena porovnáním užitečnosti výběru této alternativy s užitečností výběru jiných alternativ:

${\ displaystyle P_ {ni} = \ Pr (y_ {ni} = 1) = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} U_ {ni}> U_ {nj} \ right) = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} U_ {ni} -U_ {nj}> 0 \ vpravo)}$

Jak naznačuje poslední člen, pravděpodobnost výběru závisí pouze na rozdílu v pomůckách mezi alternativami, nikoli na absolutní úrovni pomůcek. Ekvivalentně přidání konstanty k nástrojům všech alternativ nezmění pravděpodobnosti výběru.

Měřítko musí být normalizováno

Protože obslužný program nemá žádné jednotky, je nutné normalizovat rozsah obslužných programů. Rozsah užitečnosti je často definován rozptylem chybového termínu v modelech s diskrétní volbou. Tato odchylka se může lišit v závislosti na vlastnostech datové sady, například kdy a kde jsou data shromažďována. Normalizace rozptylu proto ovlivňuje interpretaci parametrů odhadovaných napříč různými datovými soubory.

Prominentní typy diskrétních modelů

Modely s diskrétní volbou lze nejprve klasifikovat podle počtu dostupných alternativ.

* Binomické modely výběru (dichotomické): 2 dostupné alternativy

* Multinomiální výběrové modely ( polytomous ): 3 nebo více dostupných alternativ

Modely s vícekomorovou volbou lze dále klasifikovat podle specifikace modelu:

* Modely, jako například standardní logit, které nepředpokládají žádnou korelaci v nepozorovaných faktorech s alternativami

* Modely, které umožňují korelaci nezjištěných faktorů mezi alternativami

Kromě toho jsou k dispozici konkrétní formy modelů pro zkoumání žebříčku alternativ (tj. První volba, druhá volba, třetí volba atd.) A pro údaje o hodnocení.

Podrobnosti o jednotlivých modelech jsou uvedeny v následujících částech.

Binární volba

A. Logit s atributy osoby, ale bez atributů alternativ

U _n je užitek (nebo čistá výhoda), kterou osoba n získá z provedení akce (na rozdíl od nečinnosti). Užitečnost, kterou osoba získá přijetím opatření, závisí na vlastnostech osoby, z nichž některé jsou badatelem sledovány a jiné nikoli. Osoba provede akci, y _n = 1 , pokud U _n > 0. Předpokládá se, že nezjištěný člen , ε _n , má logistické rozdělení . Specifikace je stručně napsána jako:

${\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {n} = \ beta s_ {n} + \ varepsilon _ {n} \\ y_ {n} = {\ begin {cases} 1 & U_ {n}> 0 \\ 0 & U_ { n} \ leqslant 0 \ end {cases}} \\\ varepsilon \ sim {\ text {Logistic}} \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {n1} = {\ frac {1} {1+ \ exp (- \ beta s_ {n})}}}$

B. Probit s atributy osoby, ale bez atributů alternativ

Popis modelu je stejný jako model A , kromě toho, že nepozorované výrazy jsou namísto logistiky distribuovány standardně normálně .

${\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {n} = \ beta s_ {n} + \ varepsilon _ {n} \\ y_ {n} = {\ begin {cases} 1 & U_ {n}> 0 \\ 0 & U_ { n} \ leqslant 0 \ end {cases}} \\\ varepsilon \ sim {\ text {Standard normal}} \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {n1} = \ Phi (\ beta s_ {n }),}$

kde je kumulativní distribuční funkce standardního normálu . ${\ displaystyle \ Phi}$

C. Logit s proměnnými, které se u alternativ liší

U _ni je nástroj osoba n získává z výběru jiného i . Užitečnost každé alternativy závisí na atributech alternativ ovlivňovaných možná s atributy osoby. Nepozorované výrazy se považují za extrémně rozložené hodnoty .

${\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {n1} = \ beta z_ {n1} + \ varepsilon _ {n1} \\ U_ {n2} = \ beta z_ {n2} + \ varepsilon _ {n2} \\\ varepsilon _ {n1}, \ varepsilon _ {n2} \ sim {\ text {iid extrémní hodnota}} \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {n1} = {\ frac {\ exp (\ beta z_ {n1})} {\ exp (\ beta z_ {n1}) + \ exp (\ beta z_ {n2})}}}$

Tuto specifikaci můžeme přenést na model A výše, který je také binární logit. Zejména, P _{n 1} může být rovněž vyjádřena jako

${\ displaystyle P_ {n1} = {\ frac {1} {1+ \ exp (- \ beta (z_ {n1} -z_ {n2}))}}}$

Všimněte si, že pokud dvě chybové podmínky jsou iid extrémní hodnota , jejich rozdíl je distribuován logistická , která je základem pro rovnocennosti obou specifikací.

D. Probit s proměnnými, které se u alternativ liší

Popis modelu je stejný jako model C , až na to, že rozdíl mezi dvěma nezjištěnými výrazy je namísto logistiky distribuován standardně normálně .

Pak je pravděpodobnost přijetí opatření

${\ displaystyle P_ {n1} = \ Phi (\ beta (z_ {n1} -z_ {n2})),}$

kde Φ je kumulativní distribuční funkce standardního normálu .

Multinomiální volba bez korelace mezi alternativami

E. Logit s atributy osoby, ale bez atributů alternativ

Nástroj pro všechny alternativy závisí na stejných proměnných, s _n , ale koeficienty se liší pro různé alternativy:

• U _ni = β _i s _n + ε _ni ,
• Protože pouze rozdíly v užitné hmotě, je nutné normalizovat pro jednu alternativu. Za předpokladu , ${\ displaystyle \ beta _ {i} = 0}$${\ displaystyle \ beta _ {1} = 0}$
• ε _ni jsou iid extrémní hodnota

Pravděpodobnost volby má formu

${\ displaystyle P_ {ni} = {\ exp (\ beta _ {i} s_ {n}) \ nad \ součet _ {j = 1} ^ {J} \ exp (\ beta _ {j} s_ {n} )},}$

kde J je celkový počet alternativ.

F. Logit s proměnnými, které se u alternativ liší (také se nazývá podmíněný logit)

Obslužnost pro každou alternativu závisí na atributech této alternativy, případně ve interakci s atributy osoby:

${\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {ni} = \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni} \\\ varepsilon _ {ni} \ sim {\ text {iid extrémní hodnota}} \ end {případy }} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {ni} = {\ exp (\ beta z_ {ni}) \ over \ sum _ {j = 1} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})}, }$

kde J je celkový počet alternativ.

Všimněte si, že model E lze vyjádřit ve stejné formě jako model F příslušnou respecifikací proměnných. Definovat kde je Kroneckerovo delta a to _n jsou z modelu E . Poté se model F získá pomocí ${\ displaystyle w_ {nj} ^ {k} = s_ {n} \ delta _ {jk}}$${\ displaystyle \ delta _ {jk}}$

${\ displaystyle z_ {nj} = \ left \ {w_ {nj} ^ {1}, \ cdots, w_ {nj} ^ {J} \ right \} \ quad {\ text {and}} \ quad \ beta = \ left \ {\ beta _ {1}, \ cdots, \ beta _ {J} \ right \},}$

kde J je celkový počet alternativ.

Multinomiální volba s korelací mezi alternativami

Standardní model logit není vždy vhodný, protože předpokládá, že v korelaci nepozorovaných faktorů s alternativami neexistuje žádná korelace. Tento nedostatek korelace se promítá do zvláštního vzorce substituce mezi alternativami, které nemusí být v dané situaci vždy realistické. Tento model substituce se často nazývá vlastnost nezávislosti irelevantních alternativ (IIA) standardních logitových modelů. Podívejte se na příklad červené sběrnice / modré sběrnice, ve kterém tento vzor neplatí, nebo příklad volby cesty. Byla navržena řada modelů, které umožňují korelaci s alternativami a obecnějšími substitučními vzory:

• Vnořený model Logit - Zachytává korelace mezi alternativami rozdělením sady voleb do „hnízd“
  • Cross-nested Logit model (CNL) - Alternatives may belong to more than one nest
  • Model C-logit - zachycuje korelace mezi alternativami pomocí „faktoru shodnosti“
  • Spárovaný kombinatorický model Logit - vhodný pro problémy s výběrem trasy.
• Zobecněný model extrémní hodnoty - obecná třída modelu odvozená od náhodného užitného modelu, ke kterému patří multinomiální logit a vnořený logit
• Podmíněný probit - Umožňuje plnou kovarianci mezi alternativami pomocí společného normálního rozdělení.
• Mixed logit - Umožňuje jakoukoli formu korelačních a substitučních vzorů. Pokud je smíšený logit se společně běžnými náhodnými termíny, modelům se někdy říká „multinomiální probitový model s logitovým jádrem“. Lze použít na výběr trasy.

Následující části podrobně popisují modely Nested Logit, GEV, Probit a Mixed Logit.

G. Vnořené modely Logit a Generalized Extreme Value (GEV)

Model je stejný jako model F, kromě toho, že nepozorovaná složka užitečnosti koreluje s alternativami, spíše než aby byla nezávislá na alternativách.

• U _ni = βz _ni + ε _ni ,
• Mezní rozdělení každého ε _ni je extrémní hodnota , ale jejich společné rozdělení umožňuje vzájemnou korelaci.
• Pravděpodobnost má mnoho podob v závislosti na zadaném vzoru korelace. Viz Zobecněná extrémní hodnota .

H. Multinomiální probit

Model je stejný jako model G, kromě toho, že nepozorované výrazy jsou distribuovány společně normálně , což umožňuje jakýkoli vzorec korelace a heteroscedasticity :

${\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {ni} = \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni} \\\ varepsilon _ {n} \ equiv (\ varepsilon _ {n1}, \ cdots, \ varepsilon _ {nJ}) \ sim N (0, \ Omega) \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {ni} = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} \ beta z_ {ni } + \ varepsilon _ {ni}> \ beta z_ {nj} + \ varepsilon _ {nj} \ right) = \ int I \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni}> \ beta z_ {nj} + \ varepsilon _ {nj} \ right) \ phi (\ varepsilon _ {n} | \ Omega) \; d \ varepsilon _ {n},}$

kde je společná normální hustota se střední nulou a kovariancí . ${\ displaystyle \ phi (\ varepsilon _ {n} | \ Omega)}$${\ displaystyle \ Omega}$

Integrál pro tuto volbu pravděpodobnosti nemá uzavřený tvar, a proto je pravděpodobnost aproximována kvadraturou nebo simulací .

Když je matice identity (tak, že neexistuje žádná korelace nebo heteroscedasticita ), model se nazývá nezávislý probit. ${\ displaystyle \ Omega}$

I. Smíšený logit

Smíšené modely Logit jsou v posledních letech stále populárnější z několika důvodů. Za prvé, model umožňuje být náhodný kromě . Náhodnost přizpůsobuje náhodné variace chuti nad lidmi a korelaci mezi alternativami, které generují flexibilní vzory substituce. Za druhé, pokrok v simulaci učinil aproximaci modelu poměrně snadnou. Kromě toho, McFadden a vlakové ukázaly, že jakýkoliv pravda modelu volba může být aproximována, s dostatečnou přesností smíšené logit s příslušnou specifikací vysvětlujících proměnných a distribuce koeficientů. ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ beta}$

• U _ni = βz _ni + ε _ni ,
• ${\ displaystyle \ beta \ sim f (\ beta | \ theta)}$ pro libovolnou distribuci , kde lze odhadnout množinu distribučních parametrů (např. průměr a rozptyl), ${\ displaystyle {\ it {f}}}$${\ displaystyle \ theta}$
• ε _ni ∼ iid extrémní hodnotu ,

Pravděpodobnost volby je

${\ displaystyle P_ {ni} = \ int _ {\ beta} L_ {ni} (\ beta) f (\ beta | \ theta) \, d \ beta,}$

kde

${\ displaystyle L_ {ni} (\ beta) = {\ exp (\ beta z_ {ni}) \ nad {\ součet _ {j = 1} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})}} }$

je logitová pravděpodobnost hodnocena na s celkovým počtem alternativ. ${\ displaystyle \ beta,}$${\ displaystyle J}$

Integrál pro tuto volbu pravděpodobnosti nemá uzavřený tvar, takže je pravděpodobnost aproximována simulací.

Odhad z možností

Modely diskrétní volby se často odhadují pomocí odhadu maximální pravděpodobnosti . Logitové modely lze odhadnout pomocí logistické regrese a modely probit lze odhadnout pomocí regrese probit . Byly navrženy neparametrické metody, jako je například odhad maximálního skóre . Odhad takových modelů se obvykle provádí pomocí parametrických, semiparametrických a neparametrických metod maximální věrohodnosti, ale lze jej provést také pomocí přístupu modelování cesty Částečné rozdělení nejmenších čtverců .

Odhad z žebříčku

V mnoha situacích je pozorováno pořadí alternativ člověka, nikoli jen jeho zvolená alternativa. Například osoba, která si koupila nové auto, může být dotázána, co by si koupila, pokud by mu toto auto nebylo nabídnuto, což poskytuje informace o druhé volbě dané osoby kromě její první volby. Nebo v průzkumu může být respondent požádán:

Příklad : Pořadí následujících tarifů volání z vašeho nejpreferovanějšího do nejméně preferovaného.

* 60 $ měsíčně po neomezenou dobu kdykoli, dvouletá smlouva s poplatkem za předčasné ukončení 100 $

* 30 $ měsíčně za 400 minut kdykoli, 3 centy za minutu po 400 minutách, roční smlouva s poplatkem za předčasné ukončení 125 $

* 35 $ měsíčně za 500 minut kdykoli, 3 centy za minutu po 500 minutách, žádná smlouva ani poplatek za předčasné ukončení

* 50 $ měsíčně za 1 000 minut kdykoli, 5 centů za minutu po 1 000 minutách, dvouletá smlouva s poplatkem za předčasné ukončení 75 $

Výše popsané modely lze přizpůsobit tak, aby zohledňovaly hodnocení nad rámec první volby. Nejvýznamnějším modelem pro hodnocení dat je rozložený logit a jeho smíšená verze.

J. Explodovaný logit

Za stejných předpokladů jako pro standardní logit ( model F ) je pravděpodobnost pořadí alternativ produktem standardních logitů. Model se nazývá „explodovaný logit“, protože situace volby, která je obvykle představována jako jeden logitový vzorec pro vybranou alternativu, je rozšířena („explodována“) tak, aby měl samostatný logitový vzorec pro každou hodnocenou alternativu. Explodovaný logitový model je produktem standardních logitových modelů, přičemž výběrová sestava klesá s hodnocením každé alternativy a ponechává sadu dostupných možností v následné volbě.

Bez ztráty obecnosti lze alternativy označit tak, aby představovaly hodnocení dané osoby, takže alternativa 1 je první volbou, 2 druhou volbou atd. Pravděpodobnost volby zařazení alternativ J jako 1, 2, ..., J je pak

${\ displaystyle \ Pr ({\ text {hodnocení}} 1,2, \ ldots, J) = {\ exp (\ beta z_ {1}) \ nad \ součet _ {j = 1} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})} {\ exp (\ beta z_ {2}) \ nad \ sum _ {j = 2} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})} \ ldots {\ exp (\ beta z_ {J-1}) \ přes \ součet _ {j = J-1} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})}}$

Stejně jako u standardního logitu model explodovaného logitu nepředpokládá žádnou korelaci nezjištěných faktorů s alternativami. Explodovaný logit lze zobecnit stejným způsobem jako generalizovaný standardní logit, aby se přizpůsobily korelace mezi alternativami a náhodnými variacemi chuti. Model „smíšeného explodovaného logitu“ se získá pravděpodobností výše uvedeného pořadí pro L _ni ve smíšeném logitovém modelu ( model I ).

Tento model je v ekonometrii také známý jako řadový logitový model a v této oblasti ho představili Beggs, Cardell a Hausman v roce 1981. Jednou z aplikací je Combes et al. příspěvek vysvětlující pořadí kandidátů, kteří se mají stát profesorem. V biomedicínské literatuře je také znám jako Plackett – Luceův model .

Objednané modely

V průzkumech jsou respondenti často žádáni, aby uvedli hodnocení, například:

Příklad : Uveďte prosím hodnocení toho, jak se prezidentovi daří.

1: Velmi špatně

2: Špatně

3: Dobře

4: No

5: Velmi dobře

Nebo,

Příklad : Na stupnici 1–5, kde 1 znamená zcela nesouhlas a 5 znamená úplný souhlas, nakolik souhlasíte s následujícím tvrzením. „Federální vláda by měla udělat více, aby pomohla lidem, kteří čelí uzavření jejich domovů.“

Multinomický model s diskrétní volbou může zkoumat odpovědi na tyto otázky ( model G , model H , model I ). Tyto modely jsou však odvozeny z konceptu, že respondent získává pro každou možnou odpověď určitou užitečnost a dává odpověď, která poskytuje největší užitek. Mohlo by být přirozenější myslet si, že respondent má nějakou latentní míru nebo index spojený s otázkou a odpověďmi v reakci na to, jak vysoká je tato míra. Na základě tohoto konceptu jsou odvozeny objednané modely logitu a objednané probity.

K. Objednaný logit

Nechť U _n představují sílu průzkumu respondenta n ‚s pocity nebo mínění na toto téma průzkum. Předpokládejme, že při výběru konkrétní odpovědi existují mezní úrovně názoru. Například v příkladu pomoci lidem, kteří čelí uzavření trhu, si osoba vybere

• 1, pokud U _n <a
• 2, pokud a < U _n <b
• 3, pokud b < U _n <c
• 4, pokud c < U _n <d
• 5, pokud U _n > d,

pro některá reálná čísla a , b , c , d .

Při definování logistiky je pravděpodobnost každé možné odpovědi: ${\ displaystyle U_ {n} = \ beta z_ {n} + \ varepsilon, \; \ varepsilon \ sim}$

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ Pr ({\ text {výběru}} 1) & = \ Pr (U_ {n} <a) = \ Pr (\ varepsilon <a- \ beta z_ {n}) = {1 \ nad 1+ \ exp (- (a- \ beta z_ {n}))} \\\ Pr ({\ text {výběr}} 2) & = \ Pr (a <U_ {n} <b) = \ Pr (a- \ beta z_ {n} <\ varepsilon <b- \ beta z_ {n}) = {1 \ nad 1+ \ exp (- (b- \ beta z_ {n}))}} { 1 \ nad 1+ \ exp (- (a- \ beta z_ {n}))} \\ & \ cdots \\\ Pr ({\ text {výběru}} 5) & = \ Pr (U_ {n}> d) = \ Pr (\ varepsilon> d- \ beta z_ {n}) = 1- {1 \ nad 1+ \ exp (- (d- \ beta z_ {n}))} \ end {zarovnáno}}}$

Parametry modelu jsou koeficienty β a mezní body a - d , z nichž jeden musí být pro identifikaci normalizován. Pokud existují pouze dvě možné odpovědi, je uspořádaný logit stejný jako binární logit ( model A ) s jedním mezním bodem normalizovaným na nulu.

L. Objednaný probit

Popis modelu je stejný jako model K , kromě toho, že nepozorované výrazy mají místo logistiky normální rozdělení .

Pravděpodobnosti volby jsou ( je kumulativní distribuční funkcí standardního normálního rozdělení): ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ displaystyle {\ začátek {zarovnáno} \ Pr ({\ text {výběr}} 1) & = \ Phi (a- \ beta z_ {n}) \\\ Pr ({\ text {výběr}} 2) & = \ Phi (b- \ beta z_ {n}) - \ Phi (a- \ beta z_ {n}) \\ & \ cdots \ end {zarovnáno}}}$

Viz také

• Binární regrese
• Dynamická diskrétní volba

Poznámky

Reference

Další čtení

• Anderson, S., A. de Palma a J.-F. Thisse (1992), Diskrétní volba teorie diferenciace produktů , MIT Press,
• Ben-Akiva, M .; Lerman, S. (1985). Analýza diskrétní volby: Teorie a aplikace na poptávku po cestování . MIT Stiskněte.
• Greene, William H. (2012). Ekonometrická analýza (sedmé vydání). Horní sedlo: Pearson Prentice-Hall. str.  770 –862. ISBN   978-0-13-600383-0 .
• Hensher, D .; Rose, J .; Greene, W. (2005). Analýza aplikované volby: Primer . Cambridge University Press.
• Maddala, G. (1983). Závislé a kvalitativní proměnné v ekonometrii . Cambridge University Press.
• McFadden, Daniel L. (1984). Ekonometrická analýza kvalitativních modelů odezvy . Příručka ekonometrie, svazek II. Kapitola 24. Elsevier Science Publishers BV.
• Train, K. (2009) [2003]. Metody diskrétní volby se simulací . Cambridge University Press.