Doba náběhu - Rise time

V elektronice , když popisuje napětí nebo proudu kroku funkce , doba náběhu je čas, který je signálem pro změnu ze zadané nízké hodnoty na stanovenou vysokou hodnotu. Tyto hodnoty mohou být vyjádřeny jako poměry nebo ekvivalentně jako procenta vzhledem k dané referenční hodnotě. V analogové elektronice a digitální elektronice jsou tato procenta běžně 10% a 90% (nebo ekvivalentně 0,1 a 0,9 ) výšky výstupního kroku: běžně se však používají jiné hodnoty. Pro aplikace v teorii řízení je podle Levina (1996 , s. 158) doba náběhu definována jako „ doba potřebná k tomu, aby reakce vzrostla z x% na y% své konečné hodnoty “, přičemž vzestup je 0% až 100% čas běžný pro podtlumené systémy druhého řádu, 5% až 95% pro kriticky tlumené a 10% až 90% pro přetlumené . Podle Orwilera (1969 , s. 22) se termín „doba náběhu“ vztahuje buď na pozitivní, nebo na negativní krokovou reakci , i když je zobrazená negativní exkurze lidově nazývána dobou pádu .

Přehled

Doba náběhu je analogový parametr zásadního významu ve vysokorychlostní elektronice , protože je měřítkem schopnosti obvodu reagovat na rychlé vstupní signály. Bylo vyvinuto mnoho úsilí o zkrácení doby náběhu obvodů, generátorů a zařízení pro měření a přenos dat. Tato snížení mají tendenci pramenit z výzkumu rychlejších elektronových zařízení a z technik redukce parametrů bloudivých obvodů (hlavně kapacit a indukčností). Pro aplikace mimo oblast vysokorychlostní elektroniky jsou někdy žádoucí dlouhé (ve srovnání s dosažitelným stavem techniky) doby náběhu: příklady jsou stmívání světla, kde delší doba náběhu mimo jiné vede k delšímu životnost žárovky, nebo při ovládání analogových signálů digitálními pomocí analogového přepínače , kde delší doba náběhu znamená nižší kapacitní průchod, a tedy nižší vazebný šum k řízeným analogovým signálovým linkám.

Faktory ovlivňující dobu náběhu

Pro daný systémový výstup závisí jeho doba náběhu jak na době náběhu vstupního signálu, tak na charakteristikách systému .

Například hodnoty doby náběhu v odporovém obvodu jsou primárně způsobeny rozptylovou kapacitou a indukčností . Protože každý obvod má nejen odpor , ale také kapacitu a indukčnost , je zpoždění napětí a/nebo proudu při zátěži zjevné, dokud není dosaženo ustáleného stavu . V čistém RC obvodu je výstupní čas (10% až 90%) přibližně stejný jako 2,2 RC .

Alternativní definice

Příležitostně se používají i jiné definice doby náběhu, kromě té, kterou uvádí federální standard 1037C (1997 , s. R-22) a její mírné zobecnění podle Levina (1996 , s. 158): tyto alternativní definice se liší od standard nejen pro uvažované referenční úrovně. Občas se například občas použije časový interval graficky odpovídající záchytným bodům tečny nakreslené 50% bodem reakce krokové funkce. Další definice, kterou zavedl Elmore (1948 , s. 57), používá pojmy ze statistiky a teorie pravděpodobnosti . S ohledem na krokovou odezvu V ( t ) předefinuje čas zpoždění t _D jako první moment jeho první derivace V ′ ( t ) , tj.

${\ Displaystyle t_ {D} = {\ frac {\ int _ {0}^{+\ infty} tV^{\ prime} (t) \ mathrm {d} t} {\ int _ {0}^{+ \ infty} V^{\ prime} (t) \ mathrm {d} t}}.}$

Nakonec definuje dobu náběhu t _r pomocí druhého momentu

${\ Displaystyle t_ {r}^{2} = {\ frac {\ int _ {0}^{+\ infty} (t-t_ {D})^{2} V^{\ prime} (t) \ mathrm {d} t} {\ int _ {0}^{+\ infty} V^{\ prime} (t) \ mathrm {d} t}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad t_ {r} = {\ sqrt {\ frac {\ int _ {0}^{+\ infty} (t-t_ {D})^{2} V^{\ prime} (t) \ mathrm {d} t} {\ int _ {0 }^{+\ infty} V^{\ prime} (t) \ mathrm {d} t}}}}$

Doba náběhu modelových systémů

Zápis

Zde jsou uvedeny všechny notace a předpoklady požadované pro analýzu.

• Podle Levina ( 1996 , s. 158, 2011 , 9-3 (313)) definujeme x% jako procentní nízkou hodnotu a y% procentní vysokou hodnotu vzhledem k referenční hodnotě signálu, jehož doba náběhu má být odhadnuta .
• t ₁ je čas, ve kterém je výstup analyzovaného systému na x% hodnoty ustáleného stavu, zatímco t ₂ ten, ve kterém je na y% , oba měřené v sekundách .
• t _r je doba náběhu analyzovaného systému měřená v sekundách. Podle definice,
  $${\ displaystyle t_ {r} = t_ {2} -t_ {1}.}$$

  
• f _L je dolní mezní frekvence (-3 dB bod) analyzovaného systému, měřená v hertzech .
• f _H je vyšší mezní frekvence (-3 dB bod) analyzovaného systému, měřená v hertzech.
• h ( t ) je impulzní odezva analyzovaného systému v časové oblasti.
• H ( ω ) je frekvenční odezva analyzovaného systému ve frekvenční oblasti.
• Šířka pásma je definována jako
  $${\ displaystyle BW = f_ {H} -f_ {L}}$$

  
  a protože nižší mezní frekvence f _L je obvykle o několik desetiletí nižší než vyšší mezní frekvence f _H ,
  $${\ displaystyle BW \ cong f_ {H}}$$

  
• Všechny zde analyzované systémy mají frekvenční odezvu, která se rozšiřuje na 0 (nízkoprůchodové systémy)
  $${\ Displaystyle f_ {L} = 0 \, \ Longleftrightarrow \, f_ {H} = BW}$$

  
  přesně.
• Pro jednoduchost, všechny systémy analyzovány v „ jednoduchých příkladů výpočtu náběhu “ části jsou jednota zisku elektrické sítě a všechny signály jsou myšlenka jako napětí : vstup je skoková funkce of V. ₀ voltů , což znamená, že
  $${\ Displaystyle {\ frac {V (t_ {1})} {V_ {0}}} = {\ frac {x \%} {100}} \ qquad {\ frac {V (t_ {2})} { V_ {0}}} = {\ frac {y \%} {100}}}$$

  
• ζ je poměr tlumení a ω ₀ je vlastní frekvence daného systému druhého řádu .

Jednoduché příklady výpočtu doby náběhu

Cílem této části je výpočet doby náběhu krokové odezvy u některých jednoduchých systémů:

Gaussův systém odezvy

Říká se, že systém má Gaussovu odezvu, pokud je charakterizován následující frekvenční charakteristikou

${\ Displaystyle | H (\ omega) | = e ^{-{\ frac {\ omega ^{2}} {\ sigma ^{2}}}}}$

kde σ > 0 je konstanta, vztažená k vysoké mezní frekvenci následujícím vztahem:

${\ Displaystyle f_ {H} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi}} {\ sqrt {{\ frac {3} {20}} \ ln 10}} \ cong 0,0935 \ sigma.}$

I když tento typ frekvenční odezva není realizovatelné pomocí kauzálního filtru , jeho užitečnost spočívá v tom, že chování v souvislosti kaskádového z prvního řádu s nízkou propustí blíží chování tohoto systému těsněji protože počet kaskádových stupňů asymptoticky se zvýší na nekonečno . Odpovídající impulzní odezvu lze vypočítat pomocí inverzní Fourierovy transformace zobrazené frekvenční odezvy

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}^{-1} \ {H \} (t) = h (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int \ limits _ {-\ infty }^{+\ infty} {e^{-{\ frac {\ omega^{2}} {\ sigma^{2}}}} e^{i \ omega t}} d \ omega = {\ frac { \ sigma} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} e^{-{\ frac {1} {4}} \ sigma^{2} t^{2}}}$

Přímá aplikace definice krokové reakce ,

${\ Displaystyle V (t) = V_ {0} {H*h} (t) = {\ frac {V_ {0}} {\ sqrt {\ pi}}} \ int \ limits _ {-\ infty}^ {\ frac {\ sigma t} {2}} e ^{-\ tau ^{2}} d \ tau = {\ frac {V_ {0}} {2}} \ left [1+ \ mathrm {erf} \ left ({\ frac {\ sigma t} {2}} \ right) \ right] \ quad \ Longleftrightarrow \ quad {\ frac {V (t)} {V_ {0}}} = {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ mathrm {erf} \ left ({\ frac {\ sigma t} {2}} \ right) \ right].}$

K určení 10% až 90% doby náběhu systému je nutné pro čas vyřešit dvě následující rovnice:

${\ Displaystyle {\ frac {V (t_ {1})} {V_ {0}}} = 0,1 = {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ mathrm {erf} \ left ({\ frac {\ sigma t_ {1}} {2}} \ right) \ right] \ qquad {\ frac {V (t_ {2})} {V_ {0}}} = 0,9 = {\ frac {1} { 2}} \ left [1+ \ mathrm {erf} \ left ({\ frac {\ sigma t_ {2}} {2}} \ right) \ right],}$

Použitím známých vlastností chybové funkce se zjistí hodnota t = - t ₁ = t ₂ : protože t _r = t ₂ - t ₁ = 2 t ,

${\ displaystyle t_ {r} = {\ frac {4} {\ sigma}} {\ operatorname {erf} ^{-1} (0,8)} \ cong {\ frac {0.3394} {f_ {H}}}, }$

a nakonec

${\ Displaystyle t_ {r} \ cong {\ frac {0.34} {BW}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad BW \ cdot t_ {r} \ cong 0.34.}$

Jednostupňová nízkoprůchodová RC síť

U jednoduché jednostupňové nízkoprůchodové RC sítě je 10% až 90% doba náběhu úměrná časové konstantě sítě τ = RC :

${\ Displaystyle t_ {r} \ cong 2.197 \ tau}$

Konstanta proporcionality může být odvozena ze znalosti skokové odezvy sítě na vstupní signál funkce jednotkového kroku amplitudy V ₀ :

${\ Displaystyle V (t) = V_ {0} \ left (1-e^{-{\ frac {t} {\ tau}}} \ right)}$

Řešení na čas

${\ Displaystyle {\ frac {V (t)} {V_ {0}}} = \ left (1-e^{-{\ frac {t} {\ tau}}} \ right) \ quad \ Longleftrightarrow \ quad {\ frac {V (t)} {V_ {0}}}-1 = -e^{-{\ frac {t} {\ tau}}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad 1-{\ frac {V ( t)} {V_ {0}}} = e^{-{\ frac {t} {\ tau}}},}$

a nakonec,

${\ Displaystyle \ ln \ left (1-{\ frac {V (t)} {V_ {0}}} \ right) =-{\ frac {t} {\ tau}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad t = -\ tau \; \ ln \ vlevo (1-{\ frac {V (t)} {V_ {0}}} \ vpravo)}$

Protože t ₁ a t ₂ jsou takové, že

${\ displaystyle {\ frac {V (t_ {1})} {V_ {0}}} = 0,1 \ qquad {\ frac {V (t_ {2})} {V_ {0}}} = 0,9,}$

při řešení těchto rovnic najdeme analytický výraz pro t ₁ a t ₂ :

${\ Displaystyle t_ {1} =-\ tau \; \ ln \ left (1-0,1 \ right) =-\ tau \; \ ln \ left (0,9 \ right) =-\ tau \; \ ln \ left ( {\ frac {9} {10}} \ right) = \ tau \; \ ln \ left ({\ frac {10} {9}} \ right) = \ tau ({\ ln 10}-{\ ln 9 })}$

${\ displaystyle t_ {2} = \ tau \ ln {10}}$

Doba náběhu je tedy úměrná časové konstantě:

${\ Displaystyle t_ {r} = t_ {2} -t_ {1} = \ tau \ cdot \ ln 9 \ cong \ tau \ cdot 2.197}$

Nyní, když si toho všimnu

${\ displaystyle \ tau = RC = {\ frac {1} {2 \ pi f_ {H}}},}$

pak

${\ Displaystyle t_ {r} = {\ frac {2 \ ln 3} {2 \ pi f_ {H}}} = {\ frac {\ ln 3} {\ pi f_ {H}}} \ cong {\ frac {0,349} {f_ {H}}},}$

a protože mezní frekvence vysokých frekvencí se rovná šířce pásma,

${\ Displaystyle t_ {r} \ cong {\ frac {0,35} {BW}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad BW \ cdot t_ {r} \ cong 0,35.}$

Nakonec si všimněte, že pokud se místo toho uvažuje doba náběhu 20% až 80%, t _{r se} stane:

${\ Displaystyle t_ {r} = \ tau \ cdot \ ln {\ frac {8} {2}} = (2 \ ln 2) \ tau \ cong 1.386 \ tau \ quad \ Longleftrightarrow \ quad t_ {r} = { \ frac {\ ln 2} {\ pi BW}} \ cong {\ frac {0,22} {BW}}}$

Jednostupňová nízkoprůchodová síť LR

Dokonce i pro jednoduché jednostupňové dolní propusti RL síti, 10% až 90%, doba náběhu je úměrná době sítě konstanta τ = L / R . Formální důkaz tohoto tvrzení probíhá přesně tak, jak je uvedeno v předchozí části: jediný rozdíl mezi konečnými výrazy pro dobu náběhu je způsoben rozdílem ve výrazech pro časovou konstantu τ dvou různých obvodů, což v daném případě vede k následujícímu výsledku

${\ Displaystyle t_ {r} = \ tau \ cdot \ ln 9 = {\ frac {L} {R}} \ cdot \ ln 9 \ cong {\ frac {L} {R}} \ cdot 2.197}$

Doba náběhu tlumených systémů druhého řádu

Podle Levina (1996 , s. 158) je pro podtlumené systémy používané v teorii řízení doba náběhu běžně definována jako doba, po kterou se křivka pohybuje od 0% do 100% své konečné hodnoty: podle toho doba náběhu od 0 do 100% podtlumeného systému 2. řádu má následující podobu:

${\ Displaystyle t_ {r} \ cdot \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ zeta ^{2}}}} \ left [\ pi-\ tan ^{-1} \ left ({\ frac {\ sqrt {1- \ zeta ^{2}}} {\ zeta}} \ right) \ right]}$

Kvadratická aproximace pro normalizované náběhu pro 2. řádu systému, krok reakce , bez nul je:

${\ Displaystyle t_ {r} \ cdot \ omega _ {0} = 2,230 \ zeta ^{2} -0,078 \ zeta +1,12}$

kde ζ je poměr tlumení a ω ₀ je vlastní frekvence sítě.

Doba náběhu kaskádových bloků

Uvažujme systém složený podle n kaskádových non interakci bloků, z nichž každý má dobu náběhu t _{r i} , i = 1, ..., n , a ne překročení jejich přechodové charakteristiky : Předpokládejme také, že vstupní signál prvního bloku má dobu náběhu jehož hodnota je t _{r S} . Poté má jeho výstupní signál dobu náběhu t _{r 0} rovnou

${\ displaystyle t_ {r_ {O}} = {\ sqrt {t_ {r_ {S}}^{2}+t_ {r_ {1}}^{2}+\ dots+t_ {r_ {n}}^ {2}}}}$

Podle Valley & Wallman (1948 , s. 77–78) je tento výsledek důsledkem centrální limitní věty a byl prokázán Wallmanem (1950) : podrobnou analýzu problému však uvádí Petitt & McWhorter (1961 (§4–9, s. 107–115), který rovněž připisuje Elmorovi (1948) jako prvnímu, který na poněkud přísném základě dokázal předchozí vzorec.

Viz také

• Podzim
• Frekvenční odezva
• Impulsní reakce
• Kroková reakce
• Doba usazení

Poznámky

Reference