Rizikově neutrální opatření - Risk-neutral measure

V matematickém financování je rizikově neutrální míra (nazývaná také rovnovážná míra nebo ekvivalentní míra martingale ) míra pravděpodobnosti taková, že každá cena akcie se přesně rovná diskontovanému očekávání ceny akcie podle tohoto opatření. To se při oceňování finančních derivátů silně využívá kvůli základní teorém o oceňování aktiv , což znamená, že na úplném trhu je cena derivátu diskontovanou očekávanou hodnotou budoucí výplaty podle jedinečného opatření neutrálního vůči riziku. Takové opatření existuje tehdy a jen tehdy, pokud je trh bez arbitráže.

Nejjednodušší způsob, jak si zapamatovat, co je to riziko-neutrální opatření, nebo vysvětlit to pravděpodobnému všeobecnému odborníkovi, který možná o financích moc neví, je uvědomit si, že to je:

Míra pravděpodobnosti transformované náhodné proměnné. Tato transformace je obvykle užitečnou funkcí výplaty. Rizikově neutrálním opatřením by bylo opatření odpovídající očekávání výplaty s lineární užitečností.
Implicitní míra pravděpodobnosti, že se jeden implicitní z aktuálního pozorovatelného / Publikováno / obchoduje cen příslušných nástrojů. Relevantní znamená ty nástroje, které jsou kauzálně spojeny s událostmi v uvažovaném pravděpodobnostním prostoru (tj. Podkladové ceny plus deriváty) a
Jedná se o implicitní míra pravděpodobnosti (řeší druh inverzního problému), která je definována pomocí lineární (rizikově neutrální) pomůcky při výplatě, za předpokladu, že bude použit nějaký známý model výplaty. To znamená, že se pokusíte najít rizikově neutrální opatření řešením rovnice, kde současné ceny jsou očekávanou současnou hodnotou budoucích výplat v rámci rizikově neutrálního opatření. Koncept jedinečného rizikově neutrálního opatření je nejužitečnější, když si představíme vytváření cen napříč řadou derivátů, které by vytvářely jedinečné rizikově neutrální opatření, protože implikuje určitou konzistenci hypotetických netradičních cen a teoreticky poukazuje na arbitrážní příležitosti na trzích, kde jsou viditelné ceny bid / ask.

Rovněž stojí za zmínku, že ve většině úvodních aplikací v oblasti financí jsou uvažované výplaty deterministické vzhledem k znalostem cen v určitém terminálním nebo budoucím okamžiku. Pro použití těchto technik to není nezbytně nutné.

Motivace k používání rizikově neutrálních opatření

Ceny aktiv rozhodujícím způsobem závisí na jejich riziku, protože investoři obvykle požadují větší zisk, protože nesou větší riziko. Dnešní cena požadavku na rizikovou částku realizovanou zítra se proto bude obecně lišit od očekávané hodnoty. Nejčastěji jsou investoři averzní vůči riziku a dnešní cena je pod očekáváním a odměňuje ty, kteří nesou riziko (alespoň na velkých finančních trzích ; příklady trhů , které hledají riziko, jsou kasina a loterie ).

Při oceňování aktiv je proto nutné vypočítané očekávané hodnoty upravit podle rizikových preferencí investora (viz také Sharpeho poměr ). Diskontní sazby by se bohužel u investorů lišily a preference rizika jednotlivce je obtížné kvantifikovat.

Ukazuje se, že v úplném trhu se bez arbitráže existuje alternativní způsob, jak tento výpočet: Místo nástupu očekávání a následnou úpravou pro preferenci rizika investora, lze upravit, jednou provždy, pravděpodobnosti budoucího takové výsledky, že začleňují rizikové prémie všech investorů, a poté berou očekávání v rámci tohoto nového rozdělení pravděpodobnosti, rizikově neutrální opatření . Hlavní výhoda vyplývá ze skutečnosti, že jakmile budou nalezeny rizikově neutrální pravděpodobnosti, každé aktivum lze ocenit pouhým převzetím současné hodnoty jeho očekávané výplaty. Všimněte si, že pokud bychom použili skutečné reálné pravděpodobnosti, každé zabezpečení by vyžadovalo jinou úpravu (protože se liší v rizikovosti).

Absence arbitráže je zásadní pro existenci opatření neutrálního vůči riziku. Ve skutečnosti je podle základní věty o oceňování aktiv podmínka zákazu arbitráže rovnocenná existenci opatření neutrálního vůči riziku. Úplnost trhu je také důležitá, protože na neúplném trhu existuje velké množství možných cen aktiva odpovídajících různým rizikově neutrálním opatřením. Obvykle se tvrdí, že z efektivity trhu vyplývá, že existuje pouze jedna cena („ zákon jedné ceny “); správné rizikově neutrální opatření k ceně, které je třeba zvolit pomocí ekonomických, nikoli čistě matematických argumentů.

Častou chybou je zaměňovat vytvořené rozdělení pravděpodobnosti s pravděpodobností v reálném světě. Budou se lišit, protože v reálném světě investoři požadují rizikové prémie, zatímco je možné ukázat, že za rizikově neutrálních pravděpodobností mají všechna aktiva stejnou očekávanou míru návratnosti, bezrizikovou míru (nebo krátkou ) a tedy nezahrnují žádnou takovou prémii. Metodu cenově neutrální vůči riziku je třeba považovat za mnoho dalších užitečných výpočetních nástrojů - pohodlných a výkonných, i když zdánlivě umělých.

Původ rizikově neutrálního opatření (Arrow cenné papíry)

Je přirozené se ptát, jak na trhu bez arbitráže vzniká opatření neutrální vůči riziku. Ceny všech aktiv nějakým způsobem určí míru pravděpodobnosti. Jedno vysvětlení je dáno využitím zabezpečení Arrow . Pro zjednodušení zvažte diskrétní (dokonce konečný) svět pouze s jedním budoucím časovým horizontem. Jinými slovy, existuje přítomnost (čas 0) a budoucnost (čas 1) a v čase 1 může být stav světa jedním z konečně mnoha stavů. Zabezpečení Arrow odpovídající stavu n , A _n , je takové, které platí 1 $ v čase 1 ve stavu n a 0 $ v kterémkoli z ostatních států světa.

Jaká je nyní cena A _n ? Musí to být pozitivní, protože existuje šance, že získáte 1 $; měla by být nižší než 1 $, protože to je maximální možná výplata. Cena každého A _n , kterou označujeme A _n (0) , je tedy striktně mezi 0 a 1.

Ve skutečnosti se součet všech cen cenných papírů musí rovnat současné hodnotě 1 $, protože držení portfolia skládajícího se z každého cenného papíru Arrow bude mít za následek určitou výplatu 1 $. Zvažte tombolu, kde jediná vstupenka vyhrává cenu všech vstupních poplatků: pokud je cena 1 $, bude vstupní poplatek 1 / počet vstupenek. Pro zjednodušení budeme považovat úrokovou sazbu za 0, takže současná hodnota $ 1 je $ 1.

Tak _n (0), ‚s splňovat axiómy pro rozdělení pravděpodobnosti. Každá z nich je nezáporná a jejich součet je 1. Toto je riziko neutrální opatření! Nyní zbývá ukázat, že funguje tak, jak je inzerováno, tj. Převzetí očekávaných hodnot s ohledem na toto měřítko pravděpodobnosti dá v čase 0 správnou cenu.

Předpokládejme, že máte cenný papír C, jehož cena v čase 0 je C (0) . V budoucnu bude ve stavu i jeho výplata C _i . Uvažujme o portfoliu P, které se skládá z množství C _i každého zabezpečení Arrow A _i . V budoucnu, bez ohledu na státní i dojde, pak _i zaplatí $ 1, když je ostatní Arrow cenné papíry zaplatí $ 0, takže P zaplatí C _i . Jinými slovy, portfolio P replikuje výplatu C bez ohledu na to, co se stane v budoucnu. Nedostatek arbitrážních příležitostí znamená, že cena P a C musí být nyní stejná, protože jakýkoli rozdíl v ceně znamená, že můžeme (bez jakéhokoli rizika) (krátce) prodat dražší, koupit levnější a kapesní rozdíl. V budoucnu budeme muset krátce prodané aktivum vrátit, ale můžeme to přesně financovat prodejem našeho nakoupeného aktiva a ponechat nám náš počáteční zisk.

Když vezmeme v úvahu každou cenu zabezpečení Arrow jako pravděpodobnost , vidíme, že cena portfolia P (0) je očekávaná hodnota C pod pravděpodobnostmi neutrálními k riziku. Pokud by úroková sazba R nebyla nula, potřebovali bychom přiměřeně diskontovat očekávanou hodnotu, abychom dostali cenu. Zejména portfolio skládající se z každého cenného papíru Arrow má nyní současnou hodnotu , takže rizikově neutrální pravděpodobnost stavu i se stane násobkem ceny každého cenného papíru Aria _Ai nebo jeho forwardové ceny . ${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + R}}}$ ${\ displaystyle (1 + R)}$

Pamatujte, že s cennými papíry Arrow ve skutečnosti není potřeba obchodovat na trhu. Tady přichází na trh úplnost trhu. Na úplném trhu lze každé zabezpečení Arrow replikovat pomocí portfolia skutečných obchodovaných aktiv. Výše uvedený argument stále funguje, když vezmeme v úvahu každé zabezpečení Arrow jako portfolio.

V realističtějším modelu, jako je model Black-Scholes a jeho zobecnění, by naše zabezpečení Arrow bylo něco jako dvojitá digitální možnost , která se vyplatí 1 $, když podkladové aktivum leží mezi dolní a horní hranicí, a jinak 0 $. Cena takové možnosti poté odráží tržní pohled na pravděpodobnost, že spotová cena skončí v tomto cenovém intervalu, upravená o rizikové prémie, zcela analogická tomu, jak jsme získali výše uvedené pravděpodobnosti pro jednokrokový diskrétní svět.

Používání

Opatření neutrální vůči riziku usnadňují vyjádření hodnoty derivátu ve vzorci. Předpokládejme, že v budoucnu derivát (např. Kupní opce na akcii ) platí jednotky, kde je náhodná proměnná v prostoru pravděpodobnosti popisujícím trh. Dále předpokládejme, že slevový faktor od nynějška (čas nula) do času je . Pak je dnešní reálná hodnota derivátu ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle H_ {T}}$ ${\ displaystyle H_ {T}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle P (0, T)}$

{\ displaystyle H_ {0} = P (0, T) \ operatorname {E} _ {Q} (H_ {T}).}

kde míra martingalu (míra T-forward) je označena . To lze znovu vyjádřit z hlediska fyzické míry P as ${\ displaystyle Q}$

{\ displaystyle H_ {0} = P (0, T) \ operatorname {E} _ {P} \ left ({\ frac {dQ} {dP}} H_ {T} \ right)}

kde je Radon-Nikodymova derivát z s ohledem na . ${\ displaystyle {\ frac {dQ} {dP}}}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle P}$

Jiným názvem pro riziko neutrální opatření je ekvivalentní martingale opatření. Pokud na finančním trhu existuje pouze jedno riziko neutrální opatření, pak pro každé aktivum na trhu existuje jedinečná bez arbitrážní cena. Toto je základní věta o cenách bez arbitráží . Pokud existuje více takových opatření, pak v intervalu cen není možná žádná arbitráž. Pokud neexistuje žádné rovnocenné martingale opatření, arbitrážní příležitosti ano.

Na trzích s transakčními náklady, bez počtu , nahrazuje konzistentní cenový proces ekvivalentní martingale opatření. Ve skutečnosti existuje vztah 1: 1 mezi konzistentním cenovým procesem a ekvivalentním měřítkem martingale.

Příklad 1 - Binomický model cen akcií

Vzhledem k pravděpodobnostnímu prostoru zvažte binomický model s jednou periodou. Míra pravděpodobnosti , se nazývá riziko neutrální, pokud pro všechny , . Předpokládejme, že máme dvoustátní ekonomiku: počáteční cena akcií může jít nahoru nebo dolů . Pokud je úroková sazba a (jinak na trhu existuje arbitráž ), pak je rizikově neutrální pravděpodobnost vzestupného pohybu akcií dána počtem ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P ^ {*}}}$ ${\ displaystyle i \ in \ {0, ..., d \}}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {i} = \ mathbb {E} _ {\ mathbb {P} ^ {*}} (S ^ {i} / (1 + r))}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S ^ {u}}$ ${\ displaystyle S ^ {d}}$ ${\ displaystyle R> 0}$ ${\ displaystyle S ^ {d} \ leq (1 + R) S \ leq S ^ {u}}$

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {(1 + R) SS ^ {d}} {S ^ {u} -S ^ {d}}}.}

Vzhledem k tomu, že derivát má výplatu, když se cena akcií pohybuje nahoru a když klesá, můžeme cenu derivátu ocenit pomocí ${\ displaystyle X ^ {u}}$ ${\ displaystyle X ^ {d}}$

{\ displaystyle X = {\ frac {\ pi X ^ {u} + (1- \ pi) X ^ {d}} {1 + R}}.}

Příklad 2 - Brownův pohybový model cen akcií

Předpokládejme, že naše ekonomika se skládá ze 2 aktiv, akcie a bezrizikového dluhopisu a že použijeme model Black – Scholes . V modelu lze vývoj ceny akcií popsat Geometric Brownian Motion :

{\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, dW_ {t}}

kde je standardní Brownův pohyb s ohledem na fyzickou míru. Pokud definujeme ${\ displaystyle W_ {t}}$

{\ displaystyle {\ tilde {W}} _ {t} = W_ {t} + {\ frac {\ mu -r} {\ sigma}} t,}

Girsanovova věta uvádí, že existuje míra, pod kterou je Brownův pohyb. je známá jako tržní cena rizika . Při použití pravidel v rámci Itô kalkulu lze neformálně rozlišit výše uvedený výraz a uspořádat jej tak, aby odvodil SDE ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle {\ tilde {W}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mu -r} {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle t}$

{\ displaystyle dW_ {t} = d {\ tilde {W}} _ {t} - {\ frac {\ mu -r} {\ sigma}} \, dt,}

Vraťte to zpět do původní rovnice:

{\ displaystyle dS_ {t} = rS_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, d {\ tilde {W}} _ {t}.}

Nechť je diskontovaná cena akcie dána , pak Itoovým lematem dostaneme SDE: ${\ displaystyle {\ tilde {S}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {S}} _ {t} = e ^ {- rt} S_ {t}}$

{\ displaystyle d {\ tilde {S}} _ {t} = \ sigma {\ tilde {S}} _ {t} \, d {\ tilde {W}} _ {t}.}

${\ displaystyle Q}$ je pro model jedinečné opatření neutrální vůči riziku. Proces zlevněné výplaty derivátu na akcii je martingale pod . Všimněte si, že drift SDE je r, bezriziková úroková sazba , z čehož vyplývá riziková neutralita. Vzhledem k tomu, a jsou -martingales můžeme vyvolat martingale reprezentace věty najít replikační strategii - portfolio akcií a dluhopisů, které se vyplatí v každém okamžiku . ${\ displaystyle H_ {t} = \ operatorname {E} _ {Q} (H_ {T} | F_ {t})}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle {\ tilde {S}}}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle H_ {t}}$ ${\ displaystyle t \ leq T}$

Viz také

Poznámky

^ Glyn A. Holton (2005). "Základní věta o stanovení ceny aktiv" . riskglossary.com . Citováno 20. října 2011 .
^ Hans Föllmer; Alexander Schied (2004). Stochastické finance: Úvod do diskrétního času (2. vyd.). Walter de Gruyter. p. 6 . ISBN 978-3-11-018346-7.
^ Elliott, Robert James; Kopp, PE (2005). Matematika finančních trhů (2. vyd.). Springer. str. 48 -50. ISBN 978-0-387-21292-0.

externí odkazy

Gisiger, Nicolas: Vysvětlení rizikově neutrálních pravděpodobností
Tham, Joseph: Rizikově neutrální ocenění: Jemný úvod , část II

[1] Glyn A. Holton (2005). "Základní věta o stanovení ceny aktiv" . riskglossary.com . Citováno 20. října 2011 .

[FollmerSchied-2] Hans Föllmer; Alexander Schied (2004). Stochastické finance: Úvod do diskrétního času (2. vyd.). Walter de Gruyter. p. 6 . ISBN 978-3-11-018346-7.

[3] Elliott, Robert James; Kopp, PE (2005). Matematika finančních trhů (2. vyd.). Springer. str. 48 -50. ISBN 978-0-387-21292-0.

Languages

In other projects