Ortogonální skupina - Orthogonal group

V matematiky je ortogonální skupina v dimenzi $n$ , označený $O (n)$ , je skupina o vzdálenost zachovávajících transformací jednoho euklidovském prostoru dimenze $n$ , které zachovávají pevným bodem, kde se operace skupinu daný skládání transformací. Ortogonální skupině se někdy říká obecná ortogonální skupina , analogicky s obecnou lineární skupinou . Ekvivalentně se jedná o skupinu $n \times n$ ortogonálních matic , kde skupinová operace je dána multiplikací matice (ortogonální matice je skutečná matice, jejíž inverze se rovná její transpozici ). Ortogonální skupina je algebraická skupina a Lieova skupina . Je kompaktní .

Ortogonální skupina v dimenzi $n$ má dvě spojené složky . Ten, který obsahuje prvek identity, je podskupina, nazývaná speciální ortogonální skupina , a označená $SO (n)$ . Skládá se ze všech ortogonálních matic determinantu $1$ . Tato skupina se také nazývá rotační skupina , což zobecňuje skutečnost, že v dimenzích 2 a 3 jsou jejími prvky obvyklé rotace kolem bodu (v dimenzi 2) nebo čáry (v dimenzi 3). V nízké dimenzi byly tyto skupiny široce studovány, viz $SO (2)$ , $SO (3)$ a $SO (4)$ . Druhá složka se skládá ze všech ortogonálních matic determinantu $-1$ . Tato složka netvoří skupinu, protože součin jakýchkoli dvou jejích prvků má determinant 1, a proto není prvkem této složky.

Rozšířením, pro všechna pole $F$ , a $n x n$ matrice se záznamy v $F$ tak, že jeho inverzní rovná jeho přemístit se nazývá ortogonální matice nad $F$ . $N x n$ ortogonální matice tvoří podskupinu, označené $O (N, F)$ , se jedná o obecné lineární skupiny $GL (n, F)$ ; to je

{\ displaystyle \ operatorname {O} (n, F) = \ left \ {Q \ in \ operatorname {GL} (n, F) \ mid Q^{\ mathsf {T}} Q = QQ^{\ mathsf { T}} = Mám pravdu \}.}

Obecněji řečeno, vzhledem k nedegenerované symetrické bilineární formě nebo kvadratické formě ve vektorovém prostoru nad polem , ortogonální skupina formuláře je skupina invertibilních lineárních map, které zachovávají formu. Předchozí ortogonální skupiny jsou zvláštním případem, kdy na nějakém základě je bilineární forma bodový součin , nebo ekvivalentně je kvadratická forma součtem druhé mocniny souřadnic.

Všechny ortogonální skupiny jsou algebraické skupiny , protože podmínku zachování formy lze vyjádřit jako rovnost matic.

název

Název „ortogonální skupiny“ pochází z následující charakteristiky jejích prvků. Vzhledem k tomu, vektor prostor $E$ rozměru $n$ , prvky ortogonální skupiny $O (n),$ jsou, až na jednotné měřítka ( homothecy ), přičemž lineární mapy z $E$ na $E$ , které mapa ortogonálních vektorů do ortogonálních vektorů.

V euklidovské geometrii

Ortogonální skupina $O (n)$ je podskupinou obecné lineární skupiny $GL (n, R)$ , skládající se ze všech endomorfismů, které zachovávají euklidovskou normu , tedy endomorfismy $g$ takové, že ${\ Displaystyle \ | g (x) \ | = \ | x \ |.}$

Nechť $E (n)$ je skupina z euklidovských isometries jednoho euklidovském prostoru $S$ rozměru $n$ . Tato skupina nezávisí na volbě konkrétního prostoru, protože všechny euklidovské prostory stejné dimenze jsou izomorfní . Stabilizátor podskupina z bodu $x \in S$ je podskupinou prvků $g \in E (n),$ tak, že $g (x) = x$ . Tento stabilizátor je (nebo přesněji je izomorfní) $O (n)$ , protože volba bodu jako počátku indukuje izomorfismus mezi euklidovským prostorem a jeho přidruženým euklidovským vektorovým prostorem.

Existuje přirozený skupinový homomorfismus $p$ od $E (n)$ do $O (n)$ , který je definován vztahem

{\ Displaystyle p (g) \ cdot (yx) = g (y) -g (x),}

kde jako obvykle odčítání dvou bodů označuje translační vektor, který mapuje druhý bod na první. Jedná se o dobře definovaný homomorfismus, protože přímé ověření ukazuje, že pokud mají dva páry bodů stejný rozdíl, platí totéž pro jejich obrazy pomocí $g$ (podrobnosti viz Affine space § Subtraction a Weylovy axiomy ).

Jádro z $p$ je vektorový prostor překladů. Takže, překlad tvoří normální podskupina z $E (n)$ , stabilizátory dvou bodech, které jsou konjugované působením překladů, a všechny stabilizátory jsou izomorfní s $O (n)$ .

Kromě toho je euklidovská skupina je semidirect produkt z $O (n),$ a skupina překladů. Z toho vyplývá, že studium euklidovské skupiny je v podstatě redukováno na studium $O (n)$ .

$SO (n)$

Volbou ortonormálního základu euklidovského vektorového prostoru lze ortogonální skupinu identifikovat se skupinou (při násobení matice) ortogonálních matic , což jsou matice takové, že

{\ displaystyle QQ^{\ mathsf {T}} = I.}

Z této rovnice, že čtverec determinant z $Q$ je rovno $1$ , a tedy determinant $Q$ je buď $1$ nebo $-1$ . Tyto ortogonální matice s determinantem $1$ formě podskupina nazývá speciální ortogonální skupiny , označené $SO (n)$ , která se skládá ze všech přímých isometries z $O (n)$ , což jsou ty, které zachovat orientaci v prostoru.

$SO (n)$ je normální podskupina $O (n)$ , jako jádro determinantu, což je skupinový homomorfismus, jehož obrazem je multiplikativní skupina ${-1, +1}.$ Kromě toho je ortogonální skupina je semidirect produkt o $SO (n),$ a skupina se dvěma prvky, neboť vzhledem k tomu, jakýkoli odraz $r$ , musí $O ( n ) \ SO ( n ) = r SO ( n )$ .

Skupina s dvěma prvky ${\pm I$ } (kde $I$ je jednotková matice) je normální podskupina a dokonce i charakteristické podskupina z $O (n)$ , a, pokud $n$ je dokonce, i $SO (n)$ . Pokud $n$ je liché, $O (n)$ je vnitřní přímý produkt z $SO (n)$ a ${\pm I$ }. Pro každé kladné celé číslo $k$ na cyklickou skupinu $C K$ o $k-$ násobně rotací je normální podskupina $O (2)$ a $tak (2)$ .

Kanonická forma

Pro jakýkoli prvek $O (n)$ existuje ortogonální základ, kde jeho matice má tvar

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} R_ {1} && \\ & \ ddots & \\ && R_ {k} \ end {matrix}} & 0 \\ 0 & {\ begin {matrix} \ pm 1 && \\ & \ ddots & \\ && \ pm 1 \ end {matrix}} \\\ end {bmatrix}},}

kde matice $R 1, ..., R k$ jsou matice rotace 2 x 2, tj. matice tvaru

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\-b & a \ end {bmatrix}},}

s ${\ Displaystyle a^{2}+b^{2} = 1.}$

To vyplývá ze spektrální věty přeskupením vlastních čísel, která jsou komplexním konjugátem , a s přihlédnutím k tomu, že absolutní hodnoty vlastních čísel ortogonální matice jsou všechny rovny 1.

Prvek patří do $SO (n) právě$ tehdy, pokud je na diagonále sudý počet $-1$ .

Zvláštní případ $n = 3$ je znám jako Eulerova věta o rotaci , která tvrdí, že každý (neidentický) prvek $SO (3)$ je rotací kolem jedinečné dvojice os-úhel.

Odrazy

Odrazy jsou prvky $O (n),$ jejichž kanonická forma je

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & I \ end {bmatrix}},}

kde $I$ je matice identity $(n - 1) \times (n - 1)$ a nuly označují nulové matice řádků nebo sloupců. Jinými slovy, odraz je transformace, která transformuje prostor v jeho zrcadlovém obrazu vzhledem k hyperplane .

Ve druhé dimenzi je každá rotace výsledkem dvou odrazů . Přesněji řečeno, rotace úhlu $𝜃$ je součinem dvou odrazů, jejichž osy mají úhel $𝜃 / 2$ .

Každý prvek $O (n)$ je výsledkem maximálně $n$ odrazů. To bezprostředně vyplývá z výše uvedené kanonické formy a případu dimenze dvě.

Cartan-Dieudonné věta je zobecnění tohoto výsledku k ortogonální skupiny nedegenerovaného kvadratické formy přes oblasti charakteristiku odlišnou od charakteristiky dvou.

Odraz přes původu (mapě $V \mapsto - v$ ) je příkladem prvku $O (n),$ který není produktem méně než $n$ odrazy.

Symetrická skupina sfér

Ortogonální skupina $O (n)$ je symetrická skupina z $(n - 1)$ -sphere (pro $n = 3$ , je to jen koule ) a všechny objekty s kulovou symetrií, v případě, že původ je vybrán ve středu.

Symetrie skupina z kruhu je $O (2)$ . Podskupina $SO (2)$ zachovávající orientaci je izomorfní (jako skutečná Lieova skupina) se skupinou kruhů , známou také jako $U (1)$ , multiplikativní skupina komplexních čísel s absolutní hodnotou rovnou jedné. To izomorfizmus vysílá komplexní číslo $exp (φ i) = cos (φ) + i sin (φ)$ z absolutní hodnoty $1$ na zvláštní ortogonální matice

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos (\ varphi) &-\ sin (\ varphi) \\\ sin (\ varphi) & \ cos (\ varphi) \ end {bmatrix}}.}

Ve vyšší dimenzi má $O (n)$ složitější strukturu (zejména již není komutativní). Tyto topologické struktury $n$ -sphere a $O (n)$ jsou vzájemném vztahu, a tato korelace je široce používán pro studium obou topologických prostorů .

Skupinová struktura

Tyto skupiny $O (n)$ a $SO (n)$ jsou skutečné kompaktní lži skupiny o rozměru $n (n - 1) / 2$ . Skupina $O (n)$ má dvě připojené komponenty , přičemž $SO (n)$ je komponenta identity , tj. Připojená součást obsahující matici identity .

Jako algebraické skupiny

Ortogonální skupinu $O (n)$ lze identifikovat se skupinou matic $A$ tak, že Protože oba členy této rovnice jsou symetrické matice , poskytuje to rovnice, které musí splňovat záznamy ortogonální matice a které nejsou všechny splněny záznamy jakékoli neortogonální matice. ${\ Displaystyle A^{\ mathsf {T}} A = I.}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {n (n+1)} {2}}}$

To dokazuje, že $O (n)$ je algebraická množina . Navíc lze dokázat, že jeho rozměr je

{\ Displaystyle {\ frac {n (n-1)} {2}} = n^{2}-{\ frac {n (n+1)} {2}},}

což znamená, že $O (n)$ je úplný průnik . To znamená, že všechny jeho neredukovatelné komponenty mají stejný rozměr a že nemá žádnou vloženou komponentu . Ve skutečnosti má $O (n)$ dvě neredukovatelné složky, které se rozlišují znaménkem determinantu (tj. $Det (A) = 1$ nebo $det (A) = -1$ ). Oba jsou nesingulární algebraické odrůdy stejné dimenze $n (n - 1) / 2$ . Složka s $det (A) = 1$ je $SO (n)$ .

Maximální počet tori a Weylových skupin

A maximální torus v kompaktní Lie skupiny G je maximální podskupina z těch, které jsou izomorfní s $T k$ nějaké $k$ , kde $T = SO (2)$ je standardní jednorozměrné torus.

V $O (2 n)$ a $SO (2 n)$ pro každý maximální torus existuje základ, na kterém se torus skládá z blokových diagonálních matic formuláře

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} R_ {1} && 0 \\ & \ ddots & \\ 0 && R_ {n} \ end {bmatrix}},}

kde každé $R j$ patří $SO (2)$ . V $O (2 n + 1)$ a $SO (2 n + 1)$ mají maximální tori stejný tvar ohraničený řadou a sloupcem nul a 1 na diagonále.

Skupina Weyl o $SO (2 n + 1)$ je semidirect produkt normální základní abelian 2-podskupiny a symetrické skupina , kde je netriviální prvek každé ${\pm 1$ } faktor ${\pm 1}$ $n$ působí na odpovídající kružnici faktor $T$ $\times {1$ } inverzí a symetrická skupina $S$ $n$ působí na ${\pm 1}$ $n$ i $T$ $\times {1$ } permutačními faktory. Prvky skupiny Weyl jsou reprezentovány maticemi v $O (2$ $n$ $) \times {\pm 1$ }. $S$ $n$ faktor je znázorněno blokem permutační matrice s 2-by-2 bloků, a závěrečné 1 na diagonále. Složka ${\pm 1}$ $n$ je reprezentována maticemi diagonálních bloků s bloky 2 na 2 ${\ displaystyle \ {\ pm 1 \}^{n} \ rtimes S_ {n}}$

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ quad {\ text {or}} \ quad {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}},}

s poslední složkou $\pm 1$ zvolenou pro stanovení determinantu 1.

Weylová skupina $SO (2 n)$ je podskupinou skupiny $SO (2$ $n$ $+ 1)$ , kde $H$ $n$ $-1$ $<{\pm 1}$ $n$ je jádro homomorfismu produktu ${\pm 1}$ $n$ $\to {\pm 1$ } dané ; to znamená, že $H$ $n$ $-1$ $<{\pm 1}$ $n$ je podskupina se sudým počtem záporných znamének. Weylová skupina $SO (2$ $n$ $)$ je v $SO (2$ $n$ $)$ reprezentována preimages pod standardní injekcí $SO (2$ $n$ $) \to SO (2$ $n$ $+ 1)$ zástupců pro Weylovou skupinu $SO (2$ $n$ $+ 1)$ . Tyto matice s lichým počtem bloků nemají zbývající konečnou $-1$ souřadnici, aby byly jejich determinanty kladné, a proto nemohou být reprezentovány v $SO (2$ $n$ $)$ . ${\ Displaystyle H_ {n-1} \ rtimes S_ {n} <\ {\ pm 1 \}^{n} \ rtimes S_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ left (\ epsilon _ {1}, \ ldots, \ epsilon _ {n} \ right) \ mapsto \ epsilon _ {1} \ cdots \ epsilon _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}}$

Topologie

Nízkodimenzionální topologie

Nízkorozměrné (skutečné) ortogonální skupiny jsou známé prostory :

$O (1) = S 0$ , je dva -bodu diskrétní prostor
$SO (1) = {1}$
$SO (2)$ je $S 1$
$SO (3)$ je $R P 3$
$SO (4)$ je dvojnásobně vztahuje podle $SU (2) x SU (2) = S 3 x S 3$ .

Základní skupina

Pokud jde o algebraické topologii , pro $n > 2$ základní skupina o $so (n, R)$ je cyklický řádu 2 , a rotace skupina $Spin (n),$ je jeho univerzální kryt . Pro $n = 2$ je základní skupina nekonečně cyklická a univerzální kryt odpovídá skutečné linii (skupina $Spin (2)$ je jedinečný spojený 2násobný kryt ).

Homotopy skupiny

Obecně platí, že homotopické skupiny $π k (O)$ skutečné ortogonální skupiny se vztahují k homotopickým skupinám koulí , a proto je obecně obtížné je vypočítat. Lze však vypočítat homotopické skupiny stabilní ortogonální skupiny (aka nekonečná ortogonální skupina), definované jako přímý limit posloupnosti inkluzí:

{\ Displaystyle \ operatorname {O} (0) \ subset \ operatorname {O} (1) \ subset \ operatorname {O} (2) \ subset \ cdots \ subset O = \ bigcup _ {k = 0}^{\ infty} \ jméno operátora {O} (k)}

Protože jsou všechny inkluze uzavřené, a tedy kofibrace , lze to také interpretovat jako spojení. Na druhou stranu, $S n$ je homogenní prostor pro $O (n + 1)$ a jeden má následující svazek vláken :

{\ displaystyle \ operatorname {O} (n) \ to \ operatorname {O} (n+1) \ to S^{n},}

což lze chápat jako „Ortogonální skupina $O (n + 1)$ působí přechodně na jednotkovou sféru $S n$ a stabilizátor bodu (myšlen jako jednotkový vektor ) je ortogonální skupina kolmého komplementu , který je ortogonální skupina o jednu dimenzi nižší. Přirozená inkluze $O (n) \to O (n + 1)$ je tedy $(n -1)$ propojena , takže se homotopické skupiny stabilizují a $π k (O (n + 1)) = π k (O (n))$ pro $n > k + 1$ : homotopické skupiny stabilního prostoru se tedy rovnají nižším homotopickým skupinám nestabilních prostorů.

Z Bottovy periodicity získáme $Ω 8 O ≅ O$ , proto jsou homotopické skupiny $O$ 8krát periodické, což znamená $π k + 8 (O) = π k (O)$ , a stačí pouze uvést nižších 8 homotopických skupin:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ pi _ {0} (O) & = \ mathbf {Z} /2 \ mathbf {Z} \\\ pi _ {1} (O) & = \ mathbf {Z} /2 \ mathbf {Z} \\\ pi _ {2} (O) & = 0 \\\ pi _ {3} (O) & = \ mathbf {Z} \\\ pi _ {4} (O) & = 0 \\\ pi _ {5} (O) & = 0 \\\ pi _ {6} (O) & = 0 \\\ pi _ {7} (O) & = \ mathbf {Z} \ end {aligned}}}

Vztah ke KO-teorii

Prostřednictvím spojovací konstrukce jsou homotopické skupiny stabilního prostoru $O$ identifikovány se stabilními vektorovými svazky na sférách ( až do izomorfismu ), s posunem rozměru 1: $π k (O) = π k + 1 (BO)$ . Nastavením $KO = BO \times Z = Ω -1 O \times Z$ (aby se $π 0$ vešlo do periodicity), získáme:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ pi _ {0} (KO) & = \ mathbf {Z} \\\ pi _ {1} (KO) & = \ mathbf {Z} /2 \ mathbf {Z} \\\ pi _ {2} (KO) & = \ mathbf {Z} /2 \ mathbf {Z} \\\ pi _ {3} (KO) & = 0 \\\ pi _ {4} (KO) & = \ mathbf {Z} \\\ pi _ {5} (KO) & = 0 \\\ pi _ {6} (KO) & = 0 \\\ pi _ {7} (KO) & = 0 \ end {aligned}}}

Výpočet a interpretace homotopických skupin

Nízkorozměrné skupiny

Prvních několik homotopických skupin lze vypočítat pomocí konkrétních popisů nízkorozměrných skupin.

$π 0 (O) = π 0 (O (1)) = Z /2 Z$ , z orientace zachovávající /reverzující (tato třída přežívá do $O (2)$ a tedy stabilně)
$π 1 (O) = π 1 (SO (3)) = Z /2 Z$ , což je spin, vychází ze $SO (3) = R P 3 = S 3 /(Z /2 Z)$ .
$π 2 (O) = π 2 (SO (3)) = 0$ , který přechází na $π 2 (SO (4))$ ; toto druhé zmizí.

Skupiny lži

Obecných faktů o Lež skupin , $n 2 (G)$ vždy zmizí a $π 3 (G)$ je zdarma ( bez abelian ).

Vektorové svazky

Z pohledu vektorového svazku jsou $π 0 (K O)$ vektorové svazky přes $S 0$ , což jsou dva body. V každém bodě je tedy svazek triviální a netrivialita svazku je rozdílem mezi rozměry vektorových prostorů přes dva body, takže $π 0 (K O) = Z$ je rozměr .

Prostory smyčky

Pomocí konkrétních popisů smyčkových prostorů v Bottově periodicitě lze interpretovat vyšší homotopie $O$ ve smyslu jednodušeji analyzovatelných homotopií nižšího řádu. Pomocí π ₀ mají $O$ a $O /U$ dvě složky, $K O = B O \times Z$ a $K Sp = B Sp \times Z$ mají spočítatelně mnoho komponent a zbytek je spojen.

Interpretace homotopických skupin

Ve zkratce:

$π 0 (K O) = Z$ je o dimenzi
$π 1 (K O) = Z /2 Z$ je o orientaci
$π 2 (K O) = Z /2 Z$ je o rotaci
$π 4 (K O) = Z$ je o topologické teorii kvantového pole .

Nechť $R$ je některá ze čtyř divizních algeber $R$ , $C$ , $H$ , $O$ a $L R$ je tautologický liniový svazek přes projektivní linii $R P 1$ a $[L R]$ její třída v K-teorii. Berouce na vědomí, že $R P 1 = S 1$ , $C P 1 = S 2$ , $H P 1 = S 4$ , $O P 1 = S 8$ , tyto výtěžky vektorových svazků přes odpovídající sféry, a

$π 1 (K O)$ je generováno $[L R]$
$π 2 (K O)$ je generováno $[L C]$
$π 4 (K O)$ je generováno $[L H]$
$π 8 (K O)$ je generováno $[L O]$

Z hlediska symplektické geometrie lze $π 0 (K O) ≅ π 8 (K O) = Z$ interpretovat jako Maslovův index , uvažovat o něm jako o základní skupině $π 1 (U/O)$ stabilní Lagrangianovy Grassmannian jako $U/O ≅ Ω 7 (K O)$ , tedy $π 1 (U/O) = π 1+7 (K O)$ .

Věž Whitehead

Ortogonální skupina ukotví věž Whitehead :

{\ Displaystyle \ ldots \ rightarrow \ operatorname {Fivebrane} (n) \ rightarrow \ operatorname {String} (n) \ rightarrow \ operatorname {Spin} (n) \ rightarrow \ operatorname {SO} (n) \ rightarrow \ operatorname { O} (n)}

který se získává postupným odstraňováním (zabíjením) homotopických skupin rostoucího řádu. To se provádí konstrukcí krátkých přesných sekvencí počínaje prostorem Eilenberg – MacLane pro odebrání skupiny homotopy. Prvními několika položkami ve věži jsou spinová skupina a skupina řetězců a předchází jim skupina fourbrane . Zabité homotopické skupiny jsou zase $π$ ₀ ( O ), aby se získal SO z O , $π$ ₁ ( O ), aby se získal Spin ze SO , $π$ ₃ ( O ), aby se získal řetězec ze Spinu , a pak $π$ ₇ ( O ) a tak dále k získání bran vyššího řádu .

Neurčité kvadratické formy oproti realitám

Přes reálná čísla jsou nedegenerované kvadratické formy klasifikovány Sylvestrovým zákonem setrvačnosti , který tvrdí, že ve vektorovém prostoru dimenze $n$ lze takovou formu zapsat jako rozdíl součtu čtverců $p$ a součtu čtverců $q$ , s $p + q = n$ . Jinými slovy, existuje základ, na kterém je matice kvadratické formy diagonální matice , s $p$ vstupy rovnými $1$ a $q$ položkami rovnými $-1$ . Dvojice $(p, q)$ nazývaná setrvačnost je invariant kvadratické formy v tom smyslu, že nezávisí na způsobu výpočtu diagonální matice.

Ortogonální skupina kvadratické formy závisí pouze na setrvačnosti, a je tedy obecně označována $O (p, q)$ . Navíc, protože kvadratická forma a její opak mají stejnou ortogonální skupinu, má jeden $O (p, q) = O (q, p)$ .

Standardní ortogonální skupina je $O (n) = O (n, 0) = O (0, n)$ . Takže ve zbývající části této části se předpokládá, že ani $p$ ani $q$ není nula.

Podskupina matic determinantu 1 v $O (p, q)$ je označena $SO (p, q)$ . Skupina $O (p, q)$ má čtyři připojené komponenty, v závislosti na tom, zda prvek zachovává orientaci v jednom ze dvou maximálních podprostorů, kde je kvadratická forma kladná určitá nebo záporná určitá. Složka identity, jejíž prvky zachovávají orientaci v obou podprostorech, se označuje jako $SO + (p, q)$ .

Skupina $O (3, 1)$ je Lorentzova skupina, která je základem teorie relativity . Zde $3$ odpovídá vesmírným souřadnicím a $1$ odpovídá časové souřadnici.

Složitých kvadratických forem

Přes pole $C,$ z komplexních čísel , každý nedegenerovaný kvadratická forma v $n$ proměnných je ekvivalentní . Až do izomorfismu tedy existuje pouze jeden nedegenerovaný komplexní kvadratický prostor dimenze $n$ a jedna přidružená ortogonální skupina, obvykle označovaná $O ($ $n$ $,$ $C$ $)$ . Je to skupina komplexních ortogonálních matic , komplexních matic, jejichž součinem jejich transpozice je matice identity. ${\ Displaystyle x_ {1}^{2} +\ cdots +x_ {n}^{2}}$

Stejně jako ve skutečném případě má $O (n, C)$ dvě spojené součásti. Složka identity se skládá ze všech matic determinantu $1$ v $O (n, C)$ ; označuje se $SO (n, C)$ .

Skupiny $O (n, C)$ a $SO (n, C)$ jsou komplexní Lieovy skupiny dimenze $n (n - 1)/2$ nad $C$ (dimenze nad $R$ je dvojnásobná). Pro $n \geq 2$ jsou tyto skupiny nekompaktní. Stejně jako v reálném případě, $SO (n, C)$ není jednoduše připojen: Pro $n > 2,$ je základní skupina o $so (n, C)$ je cyklický řádu 2 , přičemž základní skupina $SO (2, C)$ je $Z$ .

Přes konečná pole

Charakteristika odlišná od dvou

Přes oblasti charakteristiku odlišnou od charakteristiky dvou, dvě kvadratické formy jsou ekvivalentní , pokud jejich matrice jsou shodné , že je-li změna základu transformuje matrici první formy do matrice druhého formuláře. Dvě ekvivalentní kvadratické formy mají jasně stejnou ortogonální skupinu.

Nedegenerované kvadratické formy na konečném poli charakteristik odlišných od dvou jsou zcela zařazeny do tříd shody a z této klasifikace vyplývá, že existuje pouze jedna ortogonální skupina v liché dimenzi a dvě v sudé dimenzi.

Přesněji, Wittova dekompoziční věta tvrdí, že (v charakteristice odlišné od dvou) každý vektorový prostor vybavený nedegenerovanou kvadratickou formou $Q$ lze rozložit jako přímý součet párových ortogonálních podprostorů

{\ Displaystyle V = L_ {1} \ oplus L_ {2} \ oplus \ cdots \ oplus L_ {m} \ oplus W,}

kde každé $L i$ je hyperbolická rovina (to znamená, že existuje takový základ, že matice omezení $Q$ na $L i$ má tvar ) a omezení $Q$ na $W$ je anizotropní (tj. $Q$ $($ $w$ $) \neq 0$ za každé nenulové $w$ ve $W$ ). ${\ displaystyle \ textstyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}}$

Chevalley -Varovná věta tvrdí, že nad konečným polem je rozměr $W$ maximálně dva.

Pokud je rozměr $V$ lichý, rozměr $W$ je tedy roven jedné a jeho matice je shodná buď s, nebo kde $𝜙$ je non-square scalar. Z toho vyplývá, že existuje pouze jedna ortogonální skupina označená $O (2$ $n$ $+ 1,$ $q$ $)$ , kde $q$ je počet prvků konečného pole (mocnina liché prvočísla). ${\ displaystyle \ textstyle {\ begin {bmatrix} 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ begin {bmatrix} \ varphi \ end {bmatrix}},}$

Pokud jsou rozměry $W$ dva a $-1$ není čtverec v základním poli (to znamená, že pokud je jeho počet prvků $q$ shodný se 3 modulo 4), matice omezení $Q$ na $W$ je shodná s $I$ nebo $- I$ , kde $I$ je matice identity 2 × 2. Pokud jsou rozměry $W$ dvě a $-1$ je čtverec v základním poli (to znamená, že pokud $q$ je shodné s 1, modulo 4), matice omezení $Q$ na $W$ je shodná s $𝜙$ je jakákoli jiná než čtvercová skalární . ${\ displaystyle \ textstyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \ phi \ end {bmatrix}},}$

To znamená, že pokud je rozměr $V$ sudý, existují pouze dvě ortogonální skupiny, podle toho, zda je rozměr $W$ nulový nebo dva. Jsou označeny $O + (2 n, q)$ a $O - (2 n, q)$ .

Ortogonální skupina $O ϵ (2, q)$ je dihedrální skupina řádu $2 (q - ϵ)$ , kde $ϵ = \pm$ .

Důkaz -

Pro studium ortogonální skupiny $O ϵ (2, q)$ lze předpokládat, že matice kvadratické formy je proto, že vzhledem ke kvadratické formě existuje základ, kde je její matice diagonalizovatelná. Matice patří do ortogonální skupiny, pokud to znamená, $že$ $2$ $-$ $ωb$ $2$ $= 1$ , $ac$ $-$ $ωbd$ $= 0$ , a $c$ $2$ $-$ $ωd$ $2$ $= -ω$ . Protože $a$ a $b$ nemohou být nulové (kvůli první rovnici), druhá rovnice znamená existenci $ϵ$ v $F$ $q$ , takže $c$ $=$ $ϵωb$ a $d$ $=$ $ϵa$ . Vykazováním těchto hodnot ve třetí rovnici a použitím první rovnice dostaneme, že $ϵ$ $2$ $= 1$ , a ortogonální skupina se tedy skládá z matic ${\ displaystyle Q = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 &-\ omega \ end {bmatrix}},}$ ${\ Displaystyle A = {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle AQA^{\ text {T}} = Q,}$

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\\ epsilon \ omega b & \ epsilon a \ end {bmatrix}},}

kde $a 2 - ωb 2 = 1$ a $ϵ = \pm 1$ . Determinant matice je navíc $ϵ$ .

Pro další studium ortogonální skupiny je vhodné zavést druhou odmocninu $α$ o $ω$ . Tato odmocnina patří do $F q,$ pokud je ortogonální skupina $O + (2, q)$ , a do $F q 2$ jinak. Nastavení $x = a + αb$ , a $y = a - αb$ , máme

{\ Displaystyle xy = 1, \ qquad a = {\ frac {x+y} {2}} \ qquad b = {\ frac {xy} {2 \ alpha}}.}

Pokud a jsou dvě matice determinantní jedna v ortogonální skupině pak ${\ displaystyle A_ {1} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} \\\ omega b_ {1} & a_ {1} \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle A_ {2} = {\ begin {bmatrix} a_ {2} & b_ {2} \\\ omega b_ {2} & a_ {2} \ end {bmatrix}}}$

{\ displaystyle A_ {1} A_ {2} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} a_ {2}+\ omega b_ {1} b_ {2} & a_ {1} b_ {2}+b_ {1} a_ {2} \\\ omega b_ {1} a_ {2}+\ omega a_ {1} b_ {2} & \ omega b_ {1} b_ {2}+a_ {1} a_ {1} \ end { bmatrix}}.}

Toto je ortogonální matice s $a$ $=$ $a$ $1$ $a$ $2$ $+$ $ωb$ $1$ $b$ $2$ , a $b$ $=$ $a$ $1$ $b$ $2$ $+$ $b$ $1$ $a$ $2$ . Tím pádem ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\\ omega b & a \ end {bmatrix}},}$

{\ Displaystyle a+\ alpha b = (a_ {1}+\ alpha b_ {1}) (a_ {2}+\ alpha b_ {2}).}

Z toho vyplývá, že mapa je homomorfismem skupiny ortogonálních matic determinantní do multiplikativní skupiny $F$ $q$ $2$ . ${\ Displaystyle (a, b) \ mapsto a+\ alpha b}$

V případě $O + (2 n, q)$ je obraz multiplikativní skupinou $F q$ , což je cyklická skupina řádu $q$ .

V případě, $O - (2 n, q)$ , výše $x$ a $y$ jsou konjugát , a jsou tedy obraz sebe navzájem Frobeniova automorfismus . To znamená, že a tedy pro každého takového $x$ lze rekonstruovat odpovídající ortogonální matici. Z toho vyplývá, že mapa je skupinový izomorfismus od ortogonálních matic determinantu 1 ke skupině $($ $q$ $+ 1)$ - kořenů jednoty . Tato skupina je cyklická skupina objednávky $q$ $+ 1,$ který se skládá ze sil , kde $g$ je primitivní prvek z $F$ $q$ $2$ , ${\ Displaystyle y = x^{-1} = x^{q},}$ ${\ Displaystyle x^{q+1} = 1.}$ ${\ Displaystyle (a, b) \ mapsto a+\ alpha b}$ ${\ displaystyle g^{q-1},}$

K dokončení důkazu stačí ověřit, že skupina všech ortogonálních matic není abelianská a je polopřímým součinem skupiny ${1, -1}$ a skupiny ortogonálních matic determinantní jedna.

Srovnání tohoto důkazu se skutečným případem může být poučné.

Zde jsou zapojeny dva skupinové izomorfismy:

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {Z} /(q+1) \ mathbb {Z} & \ to T \\ k & \ mapsto g^{(q-1) k}, \ end {aligned} }}

kde $g$ je primitivní prvek $F q 2$ a $T$ je multiplikativní skupina prvku normy jedna v $F q 2$ ;

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {T} & \ to \ operatorname {SO} ^{+} (2, \ mathbf {F} _ {q}) \\ x & \ mapsto {\ begin {bmatrix} a & b \\\ omega b & a \ end {bmatrix}}, \ end {aligned}}}

s a ${\ displaystyle a = {\ frac {x+x^{-1}} {2}}}$ ${\ Displaystyle b = {\ frac {xx^{-1}} {2 \ alpha}}.}$

Ve skutečném případě jsou odpovídající izomorfismy:

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {R} /2 \ pi \ mathbb {R} & \ to C \\\ theta & \ mapsto e^{i \ theta}, \ end {aligned}}}

kde $C$ je kruh komplexních čísel normy jedna;

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {C} & \ to \ operatorname {SO} (2, \ mathbb {R}) \\ x & \ mapsto {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\-\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}}, \ end {aligned}}}

s a ${\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {e^{i \ theta}+e^{-i \ theta}} {2}}}$ ${\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {e^{i \ theta} -e^{-i \ theta}} {2i}}.}$

Když charakteristika není dvě, je pořadí ortogonálních skupin

{\ Displaystyle \ left | \ operatorname {O} (2n+1, q) \ right | = 2q^{n^{2}} \ prod _ {i = 1}^{n} \ left (q^{2i } -1 \ vpravo),}

{\ Displaystyle \ left | \ operatorname {O}^{+} (2n, q) \ right | = 2q^{n (n-1)} \ left (q^{n} -1 \ right) \ prod _ {i = 1}^{n-1} \ left (q^{2i} -1 \ right),}

{\ Displaystyle \ left | \ operatorname {O}^{-} (2n, q) \ right | = 2q^{n (n-1)} \ left (q^{n} +1 \ right) \ prod _ {i = 1}^{n-1} \ left (q^{2i} -1 \ right).}

V charakteristické dvě, vzorce jsou stejné, s výjimkou, že faktor $2,$ ze je nutno odstranit. ${\ displaystyle \ left | \ operatorname {O} (2n+1, q) \ right |}$

Dicksonův invariant

U ortogonálních skupin je Dicksonův invariant homomorfismus z ortogonální skupiny do kvocientové skupiny $Z /2 Z$ (celá čísla modulo 2), přičemž hodnota $0 je$ v případě, že prvek je výsledkem sudého počtu odrazů a hodnota 1 jinak.

Algebraicky lze Dicksonův invariant definovat jako $D (f) = rank (I - f) modulo 2$ , kde $I$ je identita ( Taylor 1992 , Věta 11.43). Přes pole, která nemají charakteristiku 2, je ekvivalentní determinantu: determinant je −1 k síle Dicksonova invariantu. Přes pole charakteristiky 2 je determinant vždy 1, takže Dicksonův invariant poskytuje více informací než determinant.

Zvláštní ortogonální skupina je jádro Dicksonova invariantu a obvykle má index 2 v $O (n, F)$ . Když charakteristika $F$ není 2, Dicksonův invariant je $0,$ kdykoli je determinant $1$ . Pokud tedy charakteristika není 2, $SO (n, F)$ se běžně definuje jako prvky $O (n, F)$ s determinantem $1$ . Každý prvek v $O (n, F)$ má determinant $\pm 1$ . V charakteristice 2 je tedy determinant vždy $1$ .

Dicksonův invariant lze také definovat pro skupiny Clifford a skupiny pinů podobným způsobem (ve všech dimenzích).

Ortogonální skupiny charakteristiky 2

Přes pole charakteristických 2 ortogonálních skupin často vykazují zvláštní chování, z nichž některá jsou uvedena v této části. (Dříve byly tyto skupiny známé jako hypoabelské skupiny , ale tento termín se již nepoužívá.)

Jakákoli ortogonální skupina na jakémkoli poli je generována odrazy, s výjimkou jedinečného příkladu, kde je vektorový prostor 4dimenzionální nad polem se 2 prvky a Wittovým indexem 2. Odraz v charakteristických dvou má mírně odlišnou definici. V charakteristice dva má odraz ortogonální k vektoru $u$ vektor $v$ k $v + B (v, u)/Q (u) \cdot u,$ kde $B$ je bilineární forma a $Q$ je kvadratická forma spojená s ortogonální geometrií. Srovnejte to s odrazem liché charakteristiky nebo charakteristické nuly od vlastníka domu, který trvá $v$ až $v - 2 \cdot B (v, u)/Q (u) \cdot u$ .
Centrum ortogonální skupiny má obvykle pořadí 1 v charakteristické 2, spíše než 2, protože $I = - I$ .
V lichých dimenzích $2 n + 1$ v charakteristice 2 jsou ortogonální skupiny nad dokonalými poli stejné jako symplektické skupiny v dimenzi $2 n$ . Ve skutečnosti se symetrický tvar střídá v charakteristice 2, a protože dimenze je lichá, musí mít jádro dimenze 1 a kvocient tohoto jádra je symplektický prostor dimenze $2 n$ , na který působí ortogonální skupina.
V sudých rozměrech v charakteristice 2 je ortogonální skupina podskupinou symplektické skupiny, protože symetrická bilineární forma kvadratické formy je také střídavou formou.

Norma spinoru

Spinor norma je homomorphism z ortogonálního skupiny přes pole $F$ do skupiny kvocientu $F x / (F x) 2$ (dále multiplikativní skupina pole $F$ až násobení čtvercových prvků), který bere v odrazu do vektoru normy $n$ k obrázku $n$ v $F \times /(F \times) 2$ .

Pro obvyklou ortogonální skupinu přes reality je to triviální, ale často to není netriviální pro jiná pole, nebo pro ortogonální skupinu kvadratické formy nad realitami, která není pozitivně definitivní.

Galoisova cohomologie a ortogonální skupiny

V teorii Galois cohomology z algebraických skupin , jsou zavedeny některé další hlediska. Mají vypovídací hodnotu, zejména ve vztahu k teorii kvadratických forem; ale byly z větší části post hoc , pokud jde o objev jevů. Prvním bodem je, že kvadratické formy nad polem lze identifikovat jako Galois $H 1$ nebo zkroucené formy ( torzory ) ortogonální skupiny. Jako algebraická skupina ortogonální skupina obecně není ani spojena, ani jednoduše spojena; druhý bod přináší spinové jevy, zatímco první souvisí s diskriminantem .

Název „spin“ normy spinoru lze vysvětlit připojením ke skupině spinů (přesněji skupině pinů ). To nyní může rychle vysvětlit Galoisova cohomologie (která však zavedení termínu postdatuje přímějším používáním Cliffordových algeber ). Spin zakrytí ortogonální skupiny poskytuje krátký přesnou sekvenci z algebraických skupin .

{\ Displaystyle 1 \ rightarrow \ mu _ {2} \ rightarrow \ mathrm {Pin} _ {V} \ rightarrow \ mathrm {O_ {V}} \ rightarrow 1}

Zde $μ 2$ je algebraická skupina odmocnin 1 ; přes pole charakteristiky ne 2 je zhruba stejné jako dvouprvková skupina s triviální akcí Galois. Spojovací homomorphism z $H 0 (O V)$ , který je jednoduše skupina $O V (F)$ z $F$ cenil bodů, na $H 1 (u 2),$ je v podstatě spinor normou, protože $H 1 (μ 2)$ je izomorfní multiplikativní skupina polí pole modulo.

Existuje také spojovací homomorfismus od $H 1$ ortogonální skupiny k $H 2$ jádra rotačního krytu. Kohomologie je neabelská, takže je to tak daleko, jak můžeme, alespoň s konvenčními definicemi.

Lež algebra

Lež algebry odpovídající ležet skupiny $O (N, F)$ a $SO (N, F)$ sestává z úhlového natočení symetrické $n x n$ matric s Lie držák $[,]$ dán komutátoru . Obě algebry odpovídá jedna Lieova algebra. To je často označováno nebo , a nazývá se ortogonální Lieovou algebrou nebo speciální ortogonální Lieovou algebrou . Za reálných čísel, Ty spočívají algebry pro různé $n$ jsou kompaktní skutečné formy dvou ze čtyř rodin polojednoduchých algeber : v lichých rozměru $B$ $k$ , kde $n$ $= 2$ $k$ $+ 1$ , přičemž v i rozměr $D$ $r$ , kde $n$ $= 2$ $r$ . ${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (n, F)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (n, F)}$

Protože skupina $SO (n)$ není jednoduše spojena, teorie reprezentace ortogonálních Lieových algeber zahrnuje jak reprezentace odpovídající běžným reprezentacím ortogonálních skupin, tak reprezentace odpovídající projektivním reprezentacím ortogonálních skupin. (Projektivní reprezentace $SO (n)$ jsou jen lineární reprezentace univerzálního krytu, spinové skupiny Spin ( n ).) Poslední jmenované jsou takzvané spinové reprezentace , které jsou ve fyzice důležité.

Obecněji řečeno, vzhledem k vektorovému prostoru (nad polem s charakteristikou, která se nerovná 2) s nedegenerovanou symetrickou bilineární formou , speciální ortogonální Lieova algebra se skládá ze stopových endomorfismů, které jsou pro tuto formu zkosené symetrické ( ). Nad polem charakteristiky 2 uvažujeme místo toho se střídajícími se endomorfismy. Konkrétně je můžeme přirovnat ke střídajícím se tenzorům . Korespondence je dána: ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle (\ phi A, B)+(A, \ phi B) = 0}$ ${\ Displaystyle \ Lambda ^{2} V}$

{\ Displaystyle v \ klín w \ mapsto (v, \ cdot) w- (w, \ cdot) v}

Tento popis platí stejně pro neurčité speciální ortogonální Lieovy algebry pro symetrické bilineární tvary s podpisem . ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (p, q)}$ ${\ displaystyle (p, q)}$

Přes reálná čísla se tato charakterizace používá při interpretaci zvlnění vektorového pole (přirozeně 2 vektoru) jako nekonečně malé otáčení nebo „zvlnění“, odtud název.

Související skupiny

Ortogonální skupiny a speciální ortogonální skupiny mají řadu důležitých podskupin, superskupin, skupin kvocientů a krycích skupin. Ty jsou uvedeny níže.

Vměstky $O (n) \subset U (n) \subset-USP (2 n)$ a $-USP (n) \subset U (n) \subset O (2 n)$ jsou součástí sekvence 8 inkluzí použitého v geometrické důkaz Bott periodicity věta , a odpovídající kvocientové prostory jsou symetrické prostory nezávislého zájmu - například $U (n)/O (n)$ je Lagrangian Grassmannian .

Lež podskupiny

Ve fyzice, zejména v oblastech kompaktizace Kaluza – Kleina , je důležité zjistit podskupiny ortogonální skupiny. Mezi hlavní patří:

{\ Displaystyle \ mathrm {O} (n) \ supset \ mathrm {O} (n-1)}

- zachovat osu

{\ Displaystyle \ mathrm {O} (2n) \ supset \ mathrm {U} (n) \ supset \ mathrm {SU} (n)}

-

U (n),

jsou ty, které zachovávají přijatelnou komplexní strukturu nebo kompatibilní symplektické struktury - viz 2-out-of-3 vlastnost ;

SU (n)

také zachovává komplexní orientaci.

{\ Displaystyle \ mathrm {O} (2n) \ supset \ mathrm {USp} (n)}

{\ Displaystyle \ mathrm {O} (7) \ supset \ mathrm {G} _ {2}}

Lež supergrupy

Ortogonální skupina $O (n)$ je také důležitou podskupinou různých Lieových skupin:

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mathrm {U} (n) & \ supset \ mathrm {O} (n) \\\ mathrm {USp} (2n) & \ supset \ mathrm {O} (n) \ \\ mathrm {G} _ {2} & \ supset \ mathrm {O} (3) \\\ mathrm {F} _ {4} & \ supset \ mathrm {O} (9) \\\ mathrm {E} _ {6} & \ supset \ mathrm {O} (10) \\\ mathrm {E} _ {7} & \ supset \ mathrm {O} (12) \\\ mathrm {E} _ {8} & \ supset \ mathrm {O} (16) \ end {aligned}}}

Konformní skupina

Protože jsou to izometrie , skutečné ortogonální transformace zachovávají úhly , a jsou tedy konformními mapami , i když ne všechny konformní lineární transformace jsou ortogonální. V klasických termínech je to rozdíl mezi shodou a podobností , jak je doloženo SSS (strana-strana-strana) shoda trojúhelníků a AAA (úhel-úhel-úhel) podobnost trojúhelníků . Skupina konformních lineárních map $R n$ je pro konformní ortogonální skupinu označena $CO (n)$ a skládá se ze součinu ortogonální skupiny se skupinou dilatací . Pokud $n$ je liché, tyto dvě podskupiny se neprotínají a jsou přímým součinem : $CO (2$ $k$ $+ 1) = O (2$ $k$ $+ 1) \times$ $R$ $*$ , kde $R$ $*$ $=$ $R$ $∖ {0$ } je skutečný multiplikativní skupina , zatímco je -li $n$ sudé, tyto podskupiny se protínají v $\pm 1$ , nejedná se tedy o přímý součin, ale jde o přímý součin s podskupinou dilatace kladným skalárem: $CO (2$ $k$ $) = O (2$ $k$ $) \times$ $R$ $+$ .

Podobně lze definovat $CSO (n)$ ; Všimněte si, že toto je vždy: $CSO (n) = CO (n) \cap GL + (n) = SO (n) \times R +$ .

Diskrétní podskupiny

Protože je ortogonální skupina kompaktní, diskrétní podskupiny jsou ekvivalentní konečným podskupinám. Tyto podskupiny jsou známé jako bodové skupiny a mohou být realizovány jako symetrické skupiny polytopů . Velmi důležitou třídou příkladů jsou konečné Coxeterovy skupiny , které zahrnují skupiny symetrie pravidelných polytopů .

Dimenze 3 je zvláště studována - viz bodové skupiny ve třech dimenzích , polyhedrální skupiny a seznam skupin sférické symetrie . Ve 2 dimenzích jsou konečné skupiny buď cyklické nebo dihedrální - viz bodové skupiny ve dvou dimenzích .

Mezi další konečné podskupiny patří:

Permutační matice ( Coxeterova skupina $A n$ )
Podepsané permutační matice ( Coxeterova skupina $B n$ ); také se rovná průniku ortogonální skupiny s celočíselnými maticemi .

Krycí a kvocientové skupiny

Ortogonální skupina není ani jednoduše propojená, ani bezcentrická , a má tedy krycí skupinu i kvocientovou skupinu :

Dvě krycí skupiny pinů , $Pin + (n) \to O (n)$ a $Pin - (n) \to O (n)$ ,
Podíl projektivní ortogonální skupiny , $O (n) \to PO (n)$ .

To všechno jsou kryty 2: 1.

Pro speciální ortogonální skupinu jsou odpovídajícími skupinami:

Spin group , $Spin (n) \to SO (n)$ ,
Projektivní speciální ortogonální skupina , $SO (n) \to PSO (n)$ .

Spin je kryt 2: 1, zatímco v sudém rozměru je $PSO (2 k)$ kryt 2: 1 a v lichém rozměru $PSO (2 k + 1)$ je kryt 1: 1; tj. izomorfní na $SO (2 k + 1)$ . Tyto skupiny, $Spin (n)$ , $SO (n)$ a $PSO (n)$ jsou Lieovy skupinové formy kompaktní speciální ortogonální algebry Lie , - Spin je jednoduše spojená forma, zatímco PSO je forma bez středu a SO je obecně ani. ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (n, \ mathbb {R})}$

V dimenzi 3 a výše jsou to kryty a kvocienty, zatímco dimenze 2 a níže jsou poněkud zdegenerované; podrobnosti najdete v konkrétních článcích.

Hlavní homogenní prostor: Stiefel potrubí

Hlavní homogenní prostor pro ortogonální skupiny $O (n)$ je potrubí Stiefel $V N (R n),$ z ortonormální báze (ortonormální $n$ rámečky ).

Jinými slovy, prostor ortonormálních základen je jako ortogonální skupina, ale bez volby základního bodu: vzhledem k ortogonálnímu prostoru neexistuje přirozená volba ortonormálního základu, ale jakmile je jeden dán, existuje jeden k -jedna korespondence mezi bázemi a ortogonální skupinou. Lineární mapa je konkrétně určena tím, kde posílá základ: stejně jako invertibilní mapa může mít jakýkoli základ na jakýkoli jiný základ, ortogonální mapa může vzít jakýkoli ortogonální základ na jakýkoli jiný ortogonální základ.

Druhé Stiefel Rozdělovače $V k (R n),$ pro $k < n$ z neúplných ortonormální báze (ortonormální $k$ rámečky) jsou stále homogenní prostory pro ortogonální skupiny, ale ne hlavní homogenní prostory: všechna $k$ -frame může být užíván k jiným $k$ -snímek pomocí ortogonální mapy, ale tato mapa není jednoznačně určena.

Viz také

Specifické transformace

Specifické skupiny

rotační skupina, SO (3, R )
SO (8)

Související skupiny

Seznamy skupin

Teorie reprezentace

Poznámky

Citace

Reference

Cassels, JWS (1978), Rational Quadratic Forms , London Mathematical Society Monographs, 13 , Academic Press , ISBN 0-12-163260-1, Zbl 0395.10029
Grove, Larry C. (2002), Classical groups and geometric algebra , Graduate Studies in Mathematics , 39 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2019-3, MR 1859189
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras a Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
Taylor, Donald E. (1992), The Geometry of the Classical Groups , Sigma Series in Pure Mathematics, 9 , Berlin: Heldermann Verlag, ISBN 3-88538-009-9, MR 1189139 , Zbl 0767.20001

externí odkazy

„Ortogonální skupina“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
John Baez „105. týden tohoto nálezu v matematické fyzice“
John Baez na Octonions
(v italštině) n-dimenzionální speciální ortogonální skupina parametrizace

Languages

In other projects

Ortogonální skupina - Orthogonal group

název

V euklidovské geometrii

SO ( n )

Kanonická forma

Odrazy

Symetrická skupina sfér

Skupinová struktura

Jako algebraické skupiny

Maximální počet tori a Weylových skupin

Topologie

Nízkodimenzionální topologie

Základní skupina

Homotopy skupiny

Vztah ke KO-teorii

Výpočet a interpretace homotopických skupin

Nízkorozměrné skupiny

Skupiny lži

Vektorové svazky

Prostory smyčky

Interpretace homotopických skupin

Věž Whitehead

Neurčité kvadratické formy oproti realitám

Složitých kvadratických forem

Přes konečná pole

Charakteristika odlišná od dvou

Dicksonův invariant

Ortogonální skupiny charakteristiky 2

Norma spinoru

Galoisova cohomologie a ortogonální skupiny

Lež algebra

Související skupiny

Lež podskupiny

Lež supergrupy

Konformní skupina

Diskrétní podskupiny

Krycí a kvocientové skupiny

Hlavní homogenní prostor: Stiefel potrubí

Viz také

Specifické transformace

Specifické skupiny

Související skupiny

Seznamy skupin

Teorie reprezentace

Poznámky

Citace

Reference

externí odkazy

$SO (n)$