Skupinová akce - Group action

Cyklickou skupinu C ₃ se skládá z rotací o 0 °, 120 ° a 240 ° působí na sadě tří vrcholů.

V matematice , je akční skupina v prostoru je skupina homomorphism dané skupiny do skupiny transformací z prostoru. Podobně je skupinová akce na matematickou strukturu skupinovým homomorfismem skupiny do automorfistické skupiny struktury. Říká se, že skupina působí na prostor nebo strukturu. Pokud skupina působí na strukturu, bude obvykle působit také na objekty postavené z této struktury. Skupina euklidovských izometrií například působí na euklidovský prostor a také na postavy v něm nakreslené. Působí zejména na množinu všech trojúhelníků . Podobně skupina symetrií jednoho mnohostěnu působí na vrcholy , na hranách a plochách polyhedron.

Skupinová akce na (konečně dimenzionálním) vektorovém prostoru se nazývá reprezentace skupiny. To umožňuje identifikovat mnoho skupin s podskupinami $GL (n, K)$ , skupiny s invertible matic rozměru $n$ za období pole $K$ .

Symetrická skupina $S n$ působí na libovolnou množinu s $n$ prvky permutací prvků množiny. Ačkoli skupina všech permutací sady závisí formálně na množině, koncept skupinové akce umožňuje uvažovat o jedné skupině pro studium permutací všech sad se stejnou mohutností .

Definice

Akce levé skupiny

Jestliže $G$ je skupina s identitou prvek $e$ , a $X$ je soubor, pak ( vlevo ) skupina působení $α$ z $G$ na $X$ je funkce

{\ Displaystyle \ alpha \ colon G \ times X \ až X,}

který splňuje následující dva axiomy:

Identita:	${\ Displaystyle \ alpha (e, x) = x}$
Kompatibilita:	${\ Displaystyle \ alpha \ left (g, \ alpha \ left (h, x \ right) \ right) = \ alpha \ left (gh, x \ right)}$

(s $α (g, x)$ často zkráceno na $gx$ nebo $g \cdot x,$ když uvažovaná akce je jasná z kontextu):

Identita:	${\ Displaystyle e \ cdot x = x}$
Kompatibilita:	${\ Displaystyle g \ cdot (h \ cdot x) = (gh) \ cdot x}$

pro všechny $g$ a $h$ v $G$ a všechny $x$ v $X$ .

Skupina $G$ prý působí na $X$ (zleva). Množina $X$ společně s akcí $G$ se nazývá ( vlevo ) $G$ - množina .

Z těchto dvou axiomů vyplývá, že pro jakýkoli pevný $g$ v $G$ je funkce od $X$ k sobě, která mapuje $x$ do $g \cdot x,$ bijekce, s inverzní bijekcí odpovídající mapa pro $g -1$ . Proto lze ekvivalentně definovat skupinové působení $G$ na $X$ jako skupinový homomorfismus z $G$ do symetrické skupiny $Sym (X)$ všech bijekcí od $X$ k sobě.

Pravá skupinová akce

Podobně pravá skupina působení z $G$ na $X$ je funkce

{\ Displaystyle \ alpha \ colon X \ times G \ to X,}

(s $α (x, g)$ často zkráceno na $xg$ nebo $x \cdot g,$ když uvažovaná akce je jasná z kontextu)

který splňuje analogické axiomy:

Identita:	${\ Displaystyle x \ cdot e = x}$
Kompatibilita:	${\ Displaystyle (x \ cdot g) \ cdot h = x \ cdot (gh)}$

pro všechny $g$ a $h$ v $G$ a všechny $x$ v $X$ .

Rozdíl mezi levou a pravou akcí je v pořadí, ve kterém produkt $gh$ působí na $x$ . Pro levou akci působí nejprve $h$ , poté $g za$ sekundu. Pro správnou akci nejprve působí $g$ a poté $h$ . Kvůli vzorci $(gh) -1 = h -1 g -1$ lze levou akci sestrojit z pravé akce složením s inverzní operací skupiny. Také právo akční skupiny $G$ na $X,$ může být považována za levé působením své naproti skupině $G op$ na $X$ .

Pro stanovení obecných vlastností skupinových akcí tedy stačí zvážit pouze levé akce. Existují však případy, kdy to není možné. Například násobení skupiny vyvolává jak levou akci, tak pravou akci na samotnou skupinu - násobení vlevo a vpravo.

Druhy akcí

Akce G na X se nazývá:

Přechodný, pokudXneníprázdnýa pokud pro každý párx,yvXexistujegvGtakové, že g ⋅ x = y . Například působení symetrické skupinyXje tranzitivní, působeníobecné lineární skupinynebospeciální lineární skupinyvektorového prostoruVna V ∖ {0}je tranzitivní, ale působeníortogonální skupinyeuklidovské prostorEnení tranzitivní na E ∖ {0}(to je přenositelný najednotkové koulizE, i když).
Věrný (neboefektivní ) jestliže pro každé dva odlišnég,hvGexistujexvXtakové, že g ⋅ x ≠ h ⋅ x ; nebo ekvivalentně, pokud pro každé g ≠ e vGexistujexvXtakové, že g ⋅ x ≠ x . Jinými slovy, v akci věrné skupiny, různé prvkyGvyvolat různé permutaceX. V algebraických termínech, skupinaGpůsobí věrně naX právětehdy, pokud odpovídající homomorfismus k symetrické skupině, G → Sym ( X ), má triviálníjádro. Pro věrnou akci tedyG vložídopermutační skupinynaX; konkrétněGje izomorfní ke svému obrazu v Sym (X). PokudGnepůsobí naXvěrně, můžeme skupinu snadno upravit, abychom získali věrnou akci. Definujeme-li N = { g v G : g ⋅ x = x pro všechny x v X }, pakNjenormální podskupinazG; ve skutečnosti je to jádro homomorfismu G → Sym ( X ). Faktor skupina G/Npůsobí přesně naXnastavením( gN ) ⋅ x = g ⋅ x . Původní působeníGnaXje věrné právě tehdy, když N = { e }. Nejmenší sada, na které lze definovat věrnou akci, se může u skupin stejné velikosti velmi lišit. Například:
- Tři skupiny velikosti 120 jsou symetrická skupina S ₅ , ikosaedrická skupina a cyklická skupina . Nejmenší sady, na kterých lze definovat věrné akce, mají velikost 5, 12 a 16. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} /120 \ mathbb {Z}}$
- Tyto Abelovské skupiny o velikosti 2, ⁿ zahrnují cyklické skupiny , jakož i (na přímý produkt z n kopií ), ale druhá působí věrně na sadu velikosti 2 n , k tomu, že nemůže jednat věrně na souboru menší než sám. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /2^{n} \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z})^{n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
Volný (nebopolopravidelnýnebovolný s pevným bodem), pokud danág,hvG, existencexvXs g ⋅ x = h ⋅ x implikuje g = h . Ekvivalentně: pokudgje prvek skupiny a existujexvXs g ⋅ x = x (to znamená, že pokudgmá alespoň jeden pevný bod), pakgje identita. Všimněte si, že volná akce na neprázdné sadě je věrná.
Pravidelné (nebojednoduše tranzitivní neboostře tranzitivní), pokud je tranzitivní i svobodný; to je ekvivalentní tomu, že pro každé dvax,yvXexistuje přesně jednogvGtakové, že g ⋅ x = y . V tomto případě seXnazýváhlavní homogenní prostorproGneboG-torátor. Působení jakékoli skupinyGna sebe levým násobením je pravidelné, a tedy také věrné. Každou skupinu lze tedy vložit do symetrické skupiny na její vlastní prvky Sym (G). Tento výsledek je známý jakoCayleyova věta.
n -transitive pokud X má alespoň n prvků, a pro všechny zřetelný x ₁ , ..., x _n a všechny odlišné y ₁ , ..., y _n , je g v G tak, že g ⋅ x _k = y _k pro 1 ≤ k ≤ n . Také se nazývá 2-tranzitivní akcedvojnásobně tranzitivní , 3-tranzitivní akce se také nazývátrojitě tranzitivníatd. Takové akce definují zajímavé třídy podskupin v symetrických skupinách:2-tranzitivní skupinya obecně vícenásobí tranzitivní skupiny. Působení symetrické skupiny na množinu snprvky je vždyn-tranzitivní; působenístřídavé skupinyje (n -2) -tranzitivní.
Ostře n -tranzitivní, pokud existuje právě jeden takovýg.
Primitivní , zda je tranzitivní a zachová žádnou non-triviální oddílX. Podrobnosti najdete veskupině primitivní permutace.
Místně zdarma , pokud G je topologický skupina , a tam je okolí U z e v G tak, že omezení účinku na U je volný; to znamená, že pokud g ⋅ x = x pro některé x a některé g v U, pak g = e .

Kromě toho, pokud G působí na topologický prostor X , pak akce je:

Putování, pokud má každý bod x v X sousedství U takové, kteréje konečné. Například působenínapřeklady je putování. Bloudí také působení modulární skupiny na polorovině Poincaré. ${\ Displaystyle \ {g \ v G: g \ cdot U \ cap U \ neq \ emptyset \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$
Řádně diskontinuální, pokud X je lokálně kompaktní prostor a pro každou kompaktní podmnožinu K ⊂ X je množina konečná. Výše uvedené putující akce jsou také řádně nespojité. Na druhé straně působení on dané je bloudivé a svobodné, ale ne řádně nespojité. ${\ Displaystyle \ {g \ v G: gK \ cap K \ neq \ emptyset \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{2} \ setminus \ {(0,0) \}}$ ${\ Displaystyle n \ cdot (x, y) = (2^{n} x, 2^{-n} y)}$
Správné, pokudGje topologická skupina a mapa zjesprávná. JestližeGjediskrétnípak properness je ekvivalentní k řádnému nespojitosti proG-actions. ${\ Displaystyle G \ times X \ rightarrow X \ times X: (g, x) \ mapsto (g \ cdot x, x)}$
Říká se, že jednotlivé dráhy v případě, že oběžná dráha každé x v X působením G je diskrétní v X .
Pokrývá prostor akce , pokud každý bod X v X má sousedství U tak, že . ${\ Displaystyle \ {g \ v G: g \ cdot U \ cap U \ neq \ emptyset \} = \ {e \}}$

Pokud X je nenulový modul přes prstenec R a působení G je R -lineární, pak se říká, že je

Neredukovatelný, pokud neexistuje nenulový správný invariantní submodul.

Oběžné dráhy a stabilizátory

Ve sloučenině pěti čtyřstěnů je skupina symetrie (rotační) ikosaedrální skupina I řádu 60, zatímco stabilizátorem jednoho zvoleného čtyřstěnu je (rotační) čtyřboká skupina T řádu 12 a prostor oběžné dráhy I / T ( řádu 60/12 = 5) je přirozeně identifikován s 5 čtyřstěnem - coset gT odpovídá čtyřstěnu, na který g vysílá vybraný čtyřstěn.

Vezměme si skupinu G , působící na scéně X . Oběžná dráha prvku x v X je množina prvků v X , na které x lze pohybovat prvky G . Dráha x je označena G ⋅ x :

{\ Displaystyle G \ cdot x = \ left \ {g \ cdot x \ mid g \ in G \ right \}.}

Definující vlastnosti záruky skupiny, že množina oběžné dráhy (body x v) X působením G tvoří oddíl o X . Vztah související ekvivalence je definován tím, že řekneme x ∼ y právě tehdy, když v G existuje g s g ⋅ x = y . Oběžné dráhy jsou pak třídami ekvivalence podle tohoto vztahu; dva prvky x a y jsou ekvivalentní tehdy a jen tehdy, jsou -li jejich dráhy stejné, tj. G ⋅ x = G ⋅ y .

Akce skupina je tranzitivní právě tehdy, když se má přesně jednu dráhu, která je, v případě, že existuje x v X s G ⋅ x = X . To platí právě tehdy, když G ⋅ x = X pro všechna x v X (vzhledem k tomu, že X není prázdné).

Množina všech drah X při působení G je zapsána jako X / G (nebo méně často: G \ X ) a nazývá se kvocient akce. V geometrických situacích se tomu může říkatorbitální prostor , zatímco v algebraických situacích může být nazýván prostoremcoinvariants , a psanýX_G , na rozdíl od invarianty (pevné body), označilX^G : coinvariants jsoukvocient,zatímco invariants jsoupodmnožina. Terminologie a zápis coinvariantu se používají zejména veskupinové kohomologiiaskupinové homologii, které používají stejnou konvenci horního/dolního indexu.

Neměnné podmnožiny

Jestliže Y je podmnožina z X , jeden píše G ⋅ Y pro sadu { g ⋅ y : y ∈ Y a g ∈ G } . O podmnožině Y se říká, že je invariantní pod G, pokud G ⋅ Y = Y (což je ekvivalentní G ⋅ Y ⊆ Y ). V tomto případě, G také působí na Y omezením akci Y . Podmnožina Y se nazývá pevně pod G , pokud g ⋅ y = y pro všechny g v G a všechny y v Y . Každá podmnožina, která je fixována pod G, je také invariantní pod G , ale ne naopak.

Každá oběžná dráha je invariantní podmnožinou X, na kterou G působí přechodně . Naopak jakákoli invariantní podmnožina X je sjednocením oběžných drah. Působení G na X je tranzitivní právě tehdy, pokud jsou všechny prvky ekvivalentní, což znamená, že existuje pouze jedna oběžná dráha.

G-neměnný prvek X je x ∈ X tak, že g ⋅ x = x pro všechna g ∈ G . Soubor všech takových x je označen X ^G a nazývá se G-invarianty z X . Když X je G -module , X ^G je nultý kohomologie skupina G s koeficienty v X , a vyšší kohomologie skupiny jsou odvozené funktory z funktoru z G -invariants.

Podskupiny pevných bodů a stabilizátorů

Je -li g v G a x v X s g ⋅ x = x , říká se, že „ x je pevný bod g “ nebo že „ g fixuje x “. Pro každý x v X je stabilizátor podskupina z G vzhledem k x (také volal izotropie skupina nebo malá skupina ) je množina všech prvků v G , že oprava x :

{\ Displaystyle G_ {x} = \ {g \ in G \ mid g \ cdot x = x \}.}

To je podskupina z G , i když obvykle není normální. Působení G na X je bezplatné pouze tehdy, pokud jsou všechny stabilizátory triviální. Jádro N o homomorfismu se symetrickou skupinou, G → Sym ( X ) , je dán průsečíkem stabilizátorů G _x pro všechny x v X . Pokud je N triviální, jedná se o akci, která je údajně věrná (nebo účinná).

Nechť x a y jsou dva prvky v X a nechť g je prvek skupiny takový, že y = g ⋅ x . Potom jsou dvě skupiny stabilizátorů G _x a G _y vztaženy k G _y = g G _x g ⁻¹ . Důkaz: podle definice h ∈ G _{y právě} tehdy, když h ⋅ ( g ⋅ x ) = g ⋅ x . Použitím g ⁻¹ na obě strany této rovnosti se získá ( g ⁻¹hg ) ⋅ x = x ; tj. g ⁻¹hg ∈ G _x . Opačné zahrnutí následuje podobně tak, že vezmeme h ∈ G _x a předpokládáme, že x = g ⁻¹ ⋅ y .

Výše říká, že stabilizátory prvků ve stejné oběžné dráze jsou konjugátu navzájem. Ke každé oběžné dráze tedy můžeme přiřadit třídu konjugace podskupiny G (tj. Množinu všech konjugátů podskupiny). Nechť značí třídu conjugacy z H . Pak orbita O má typu v případě, že stabilizátor některých / některého x v O patří . Typu maximální oběžné dráhy se často říká hlavní oběžná dráha . ${\ displaystyle (H)}$ ${\ displaystyle (H)}$ ${\ displaystyle G_ {x}}$ ${\ displaystyle (H)}$

Věta o stabilizaci oběžné dráhy a Burnsideově lemmatu

Oběžné dráhy a stabilizátory spolu úzce souvisí. Pro pevné x v X zvažte mapu f : G → X danou g ↦ g · x . Podle definice je obrazem f ( G ) této mapy oběžná dráha G · x . Podmínkou, aby dva prvky měly stejný obrázek, je

{\ Displaystyle f (g) = f (h) \ iff g \ cdot x = h \ cdot x \ iff g^{-1} h \ cdot x = x \ iff g^{-1} h \ v G_ { x} \ iff h \ in gG_ {x}}

.

Jinými slovy, když a jen tehdy a ležet ve stejné sadě pro podskupinu stabilizátorů . To znamená, že vlákna z f v jakékoli y v G · x je obsažen v takovém coset, a každý takový coset dochází také jako vlákna. Proto f definuje bijekci mezi množinou kosetů pro podskupinu stabilizátoru a oběžnou dráhou G · x , která vysílá . Tento výsledek je známý jako věta o stabilizaci oběžné dráhy . ${\ Displaystyle f (g) = f (h)}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle G_ {x}}$ ${\ Displaystyle f^{-1} (\ {y \})}$ ${\ displaystyle G/G_ {x}}$ ${\ displaystyle gG_ {x} \ mapsto g \ cdot x}$

Pokud je G konečný, pak věta o stabilizaci oběžné dráhy, spolu s Lagrangeovou větou , dává

{\ Displaystyle | G \ cdot x | = [G \,: \, G_ {x}] = | G |/| G_ {x} |,}

jinými slovy, délka oběžné dráhy x krát pořadí jeho stabilizátoru je pořadí skupiny. Zejména to znamená, že délka oběžné dráhy je dělitelem skupinového řádu.

Příklad: Nechť G je skupina primárního řádu p působící na množinu X s k prvky. Protože každá oběžná dráha má buď 1 nebo p prvků, existují alespoň oběžné dráhy o délce 1, které jsou G -invariantními prvky.

{\ displaystyle k {\ bmod {p}}}

Tento výsledek je obzvláště užitečný, protože jej lze použít k počítání argumentů (obvykle v situacích, kde je X také konečné).

Krychlový graf s označenými vrcholy

Příklad: K výpočtu automorfismů grafu můžeme použít teorém stabilizátoru oběžné dráhy . Zvažte krychlový graf na obrázku a nechte G označit jeho skupinu automorfismu . Poté G působí na množinu vrcholů {1, 2, ..., 8} a tato akce je tranzitivní, jak lze vidět složením rotací kolem středu krychle. Podle věty o stabilizaci oběžné dráhy tedy . Aplikujeme -li nyní větu na stabilizátor G ₁ , můžeme získat . Jakýkoli prvek G, který opravuje 1, musí poslat 2 buď na 2, 4, nebo 5. Jako příklad takových automorfismů uvažujme otáčení kolem diagonální osy skrz 1 a 7, které permutuje 2,4,5 a 3,6,8 a opravy 1 a 7. Tak . Použití věty potřetí dává . Každý prvek G, který opravuje 1 a 2, musí poslat 3 buď na 3 nebo 6. Odraz kostky v rovině skrz 1,2,7 a 8 je takový automorfismus, který posílá 3 na 6, tedy . Jeden také vidí, že se skládá pouze z automorfismu identity, protože jakýkoli prvek G fixující 1, 2 a 3 musí také opravit všechny ostatní vrcholy, protože jsou určeny jejich přilehlostí k 1, 2 a 3. Kombinací předchozích výpočtů můžeme nyní získat .

{\ Displaystyle | G | = | G \ cdot 1 || G_ {1} | = 8 | G_ {1} |}

{\ displaystyle | G_ {1} | = | (G_ {1}) \ cdot 2 || (G_ {1}) _ {2} |}

{\ Displaystyle 2 \ pi /3}

{\ Displaystyle \ left | (G_ {1}) \ cdot 2 \ right | = 3}

{\ Displaystyle | (G_ {1}) _ {2} | = | ((G_ {1}) _ {2}) \ cdot 3 || ((G_ {1}) _ {2}) _ {3} |}

{\ Displaystyle \ left | ((G_ {1}) _ {2}) \ cdot 3 \ right | = 2}

{\ displaystyle ((G_ {1}) _ {2}) _ {3}}

{\ Displaystyle | G | = 8 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 = 48}

Výsledkem úzce souvisejícím s větou o stabilizaci oběžné dráhy je Burnsideovo lemma :

{\ Displaystyle | X/G | = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} | X^{g} |,}

kde X ^g je množina bodů stanovených g . Tento výsledek je hlavně k použití, když G a X jsou konečné, když to lze interpretovat následovně: počet oběžných drah se rovná průměrnému počtu bodů stanovených na prvek skupiny.

Upevňovací skupinu G , množina formálních rozdílů konečný G -sets tvoří kruh nazývá Burnside kroužek z G , kde adiční odpovídá na disjunktní sjednocení a násobení na kartézského produktu .

Příklady

The triviální působení jakékoli skupinyGna libovolnou množinuXje definováno g ⋅ x = x pro všechnagvGa všechnaxvX; to znamená, že každá skupina prvek vyvolávápermutace identitynaX.
V každé skupině G , levá násobení je akční z G na G : g ⋅ x = GX pro všechny g , x v G . Tato akce je zdarma a tranzitivní (pravidelný) a tvoří základ rychlému důkazu Cayley teorém - že každá skupina je isomorphic k podskupině symetrické skupiny permutací množiny G .
V každé skupině G se podskupiny H , levá násobení je akční z G na množině cosets G / H : g ⋅ aH = gaḥ pro všechny g , a v G . Zejména pokud H neobsahuje žádné netriviální normální podskupiny G, indukuje to izomorfismus z G do podskupiny permutační skupiny stupně [G: H] .
V každé skupině G je konjugace působením G na G : g ⋅ x = gxg ⁻¹ . Pro variantu se správnou akcí se běžně používá exponenciální zápis: x ^g = g ⁻¹xg ; splňuje ( x ^g ) ^h = x ^gh .
V každé skupině G se podskupiny H , konjugace je akční z G na konjugátů H : g ⋅ K = GKG ^-1 pro všechny g v G a K konjugátů H .
Symetrická skupina S _n a její podskupiny působí na množinu {1,…, n } permutací jejích prvků
Skupina symetrie mnohostěnu působí na množinu vrcholů tohoto mnohostěnu. Působí také na množinu ploch nebo sadu hran mnohostěnu.
Skupina symetrie jakéhokoli geometrického objektu působí na množinu bodů tohoto objektu.
Skupina automorfismu vektorového prostoru (nebo grafu , skupiny nebo prstence ...) působí na vektorový prostor (nebo množinu vrcholů grafu nebo skupiny nebo prstence ...).
Obecná lineární skupina GL ( n , K ) a její podskupiny, zejména její podskupiny Lie (včetně speciální lineární skupiny SL ( n , K ) , ortogonální skupiny O ( n , K ) , speciální ortogonální skupiny SO ( n , K ) , a symplektická skupina Sp ( n , K ) ) jsou Lieovy skupiny, které působí na vektorový prostor K ⁿ . Skupinové operace jsou dány vynásobením matic ze skupin vektory z K ⁿ .
Obecná lineární skupina GL ( n , Z ) působí na Z ⁿ přirozeným maticovým působením. Dráhy jeho působení jsou klasifikovány podle největšího společného dělitele souřadnic vektoru v Z ⁿ .
Afinní skupinou působí přechodně na místě s afinního prostoru , a podskupina V z afinní skupinou (to znamená, že vektorový prostor) je přechodný a bez (to znamená, že pravidelné ) akce v těchto bodech; ve skutečnosti to lze použít k definici afinního prostoru .
Projektivní grupa PGL ( n + 1, K ) a jeho podskupiny, zvláště jeho lži podskupin, které jsou lži skupiny, které působí na projektivní prostoru P ⁿ ( K ). Toto je kvocient působení obecné lineární skupiny na projektivní prostor. Zvláště pozoruhodný je PGL (2, K ) , symetrie projektivní linie, která je ostře 3-tranzitivní, přičemž zachovává křížový poměr ; skupina Möbius PGL (2, C ) je zvláště zajímavá.
Na isometries z roviny zákona o sadu 2D obrázky a vzory, jako jsou tapety vzory . Definici lze zpřesnit zadáním toho, co se rozumí obrázkem nebo vzorem, například funkcí polohy s hodnotami v sadě barev. Izometrie jsou ve skutečnosti jedním příkladem afinní skupiny (akce).
Sady působeno skupinou G zahrnují kategorie z G -sets, ve kterých jsou předměty G -sets a morphisms jsou G -Set homomorfizmy: funkce f : X → Y tak, že g ⋅ ( f ( x )) = f ( g ⋅ x ) pro každý g v g .
Galois skupina o rozšíření pole L / K působí na pole L, ale má pouze triviální účinek na prvky podpolem K. podskupin Gal (L / K), odpovídají subfields L, které obsahují K, který je, střední pole rozšíření mezi L a K.
Aditivní skupina reálných čísel ( R , +) působí na fázový prostor „ dobře vychovaných “ systémů v klasické mechanice (a v obecnějších dynamických systémech ) překladem času : pokud t je v R a x je ve fázi prostor, pak x popisuje stav systému a t + x je definován jako stav systému o t sekund později, pokud je t kladné, nebo - t před sekundami, pokud t je záporné.
Aditivní skupina reálných čísel ( R , +) působí na množinu reálných funkcí reálné proměnné různými způsoby, přičemž ( t ⋅ f ) ( x ) se rovná například f ( x + t ) , f ( x ) + t , f ( xe ^t ) , f ( x ) e ^t , f ( x + t ) e ^t nebo f ( xe ^t ) + t , ale ne f ( xe ^t + t ) .
Vzhledem k tomu, skupina působení G na X , můžeme definovat indukovaný účinek G na elektrického souboru z X , nastavením g ⋅ U = { g ⋅ u : u ∈ U } pro každý podmnožiny U z X a každý g v G . To je užitečné například při studiu působení velké skupiny Mathieu na 24 sadách a při studiu symetrie v určitých modelech konečných geometrií .
Tyto čtveřice s normou 1 ( versors ), jako multiplikativní skupiny, působí na R ³ : pro každé takové čtveřice Z = cos α / 2 + v sin α / 2 , mapovací f ( x ) = z x Z ^* je otáčení proti směru hodinových ručiček úhlem α kolem osy dané jednotkovým vektorem v ; z je stejná rotace; viz čtveřice a prostorová rotace . Všimněte si, že se nejedná o věrnou akci, protože čtveřice −1 opouští všechny body, kde byly, stejně jako čtveřice 1.
Vzhledem k tomu, odešel G -sets , tam je vlevo G -Set , jehož prvky jsou G -equivariant mapy a levou G -action dán (kde „ “ označuje pravou násobení ). Tato G -sada má tu vlastnost, že její pevné body odpovídají ekvivariantním mapám ; obecněji se jedná o exponenciální objekt v kategorii G -sad. ${\ displaystyle X, Y}$ ${\ displaystyle Y^{X}}$ ${\ Displaystyle \ alpha: X \ times G \ to Y}$ ${\ Displaystyle g \ cdot \ alpha = \ alpha \ circ (id_ {X} \ times -g)}$ ${\ displaystyle -g}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ Displaystyle X \ až Y}$

Skupinové akce a grupoidy

Pojem skupinové akce může být zasazen do širšího kontextu použitím akčního groupoidu spojeného se skupinovým působením, což umožňuje techniky z grupoidové teorie, jako jsou prezentace a fibrace . Stabilizátory akce jsou dále skupiny vrcholů a oběžné dráhy akce jsou komponenty akčního grupoidu. Další podrobnosti najdete v níže uvedené knize Topologie a grupoidy . ${\ Displaystyle G '= G \ ltimes X}$

Tento akční groupoid přichází s morfismem p : G ' → G, který je krycím morfismem groupoidů . To umožňuje vztah mezi takovými morfismy a pokrytím map v topologii.

Morfismy a izomorfismy mezi G -množinami

Pokud X a Y jsou dvě G -sets, je morfismus z X k Y je funkce f : X → Y tak, že f ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x ) pro všechny g v G a všechny x v X . Morfismy G -sets jsou také nazývány equivariant mapy nebo G-mapy .

Složení dvou morfismů je opět morfismus. Pokud je morfismus f bijektivní, pak jeho inverzní je také morfismus. V tomto případě se f nazývá izomorfismus a dvě G -množiny X a Y se nazývají izomorfní ; pro všechny praktické účely jsou izomorfní G -sady nerozeznatelné.

Některé příklady izomorfismů:

Každá pravidelná akce G je izomorfní k působení G na G dané levým násobením.
Každá volná akce G je izomorfní na G × S , kde S je nějaká množina a G působí na G × S levým násobením na první souřadnici. ( S lze považovat za sadu oběžných drah X / G. )
Každý transitivní G akce je izomorfní levé násobení G na množině levé cosets některých podskupiny H z G . ( H lze považovat za skupinu stabilizátorů jakéhokoli prvku původní sady G. )

S tímto pojmem morfismu tvoří kolekce všech G -sad kategorii ; tato kategorie je Grothendieck topos (ve skutečnosti za předpokladu klasické metalogičnosti bude tento topos dokonce booleovský).

Nepřetržité skupinové akce

Jedním z často považuje za kontinuální akce skupin : skupina G je topological skupina, X je topologický prostor a mapa G × X → X je kontinuální s ohledem na topologii produktu z G × X . Prostor X se v tomto případě také nazývá G-prostor . Toto je skutečně zobecnění, protože každou skupinu lze považovat za topologickou skupinu pomocí diskrétní topologie . Všechny tyto koncepty představené výše ještě práci v této souvislosti však definujeme morphisms mezi G -spaces být kontinuální mapy kompatibilní s působením G . Kvocient X / G dědí topologii kvocientu od X a nazývá se kvocient prostoru akce. Výše uvedená tvrzení o izomorfismech pro pravidelné, volné a tranzitivní akce již neplatí pro spojité skupinové akce.

Pokud X je pravidelný krycí prostor jiného topologického prostoru Y , pak je působení skupiny transformační skupiny na X řádně diskontinuální a také volné. Každé volné, řádně diskontinuální působení skupiny G na topologický prostor X spojený s cestou vzniká tímto způsobem: kvocientová mapa X ↦ X / G je pravidelná krycí mapa a skupina transformace paluby je danou akcí G na X . Kromě toho, pokud X je potom spojen se základní skupina X / G bude izomorfní s G .

Tyto výsledky byly zobecněny v níže uvedené knize Topologie a grupoidy za účelem získání základního grupoidu orbitálního prostoru diskontinuálního působení diskrétní skupiny na Hausdorffův prostor, protože za rozumných místních podmínek orbitální groupoid fundamentálního grupoidu prostor. To umožňuje výpočty, jako je základní skupina symetrického čtverce prostoru X , jmenovitě orbitální prostor součinu X se sebou samým pod kroucením cyklické skupiny řádu 2 vysílající ( x , y ) do ( y , x ) .

Akční skupiny G na místně kompaktním prostoru X je cocompact pokud existuje kompaktní podmnožina A a X tak, že GA = X . Pro správně diskontinuální akci je souběžnost stejná jako kompaktnost kvocientového prostoru X/G .

Působení G na X se říká, že je správné, pokud mapování G × X → X × X, které vysílá ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ), je správná mapa .

Silně nepřetržitá skupinová akce a hladké body

Skupinové působení topologické skupiny G na topologický prostor X je údajně silně spojité, pokud pro všechna x v X je mapa g ↦ g ⋅ x spojitá vzhledem k příslušným topologiím. Taková akce vyvolá akci v prostoru spojitých funkcí na X definováním ( g ⋅ f ) ( x ) = f ( g ⁻¹ ⋅ x ) pro každé g v G , f spojitá funkce na X a x v X . Všimněte si toho, že zatímco každá souvislá skupinová akce je silně spojitá, konverzace obecně neplatí.

Subprostor hladkých bodů pro akci je podprostor X bodů x tak, že g ↦ g ⋅ x je hladké, to znamená, že je spojité a všechny derivace jsou spojité.

Varianty a zobecnění

Můžeme také zvážit působení monoidů na sady pomocí stejných dvou axiomů jako výše. To však nedefinuje bijektivní mapy a vztahy ekvivalence. Viz akce poloskupiny .

Místo toho, aby akce na sety, můžeme definovat akce skupin a monoidů na objektech libovolné kategorie: začátek s objektem X nějaké kategorii, a pak definovat akci X jako monoid homomorfismu do monoidu z endomorphisms z X . Pokud X má podkladovou sadu, pak lze přenést všechny výše uvedené definice a skutečnosti. Vezmeme -li například kategorii vektorových prostorů, získáme tímto způsobem skupinové reprezentace .

Na skupinu G můžeme pohlížet jako na kategorii s jediným předmětem, ve kterém je každý morfismus invertibilní. Skupinová akce (vlevo) pak není nic jiného než (kovariantní) funktor z G do kategorie množin a skupinová reprezentace je funktor z G do kategorie vektorových prostorů . Morfismus mezi G-sadami je pak přirozenou transformací mezi skupinovými akčními funktory. Analogicky je akce grupoidu funktorem z grupoidu do kategorie množin nebo do nějaké jiné kategorie.

Kromě průběžných akcí topologických skupin na topologických prostorů, kdo často se domnívá, hladké akce lži skupin na hladkých varietách , pravidelné akce algebraických skupin na algebraické odrůd a akcí z programů skupiny na systémech . To vše jsou příklady skupinových objektů působících na objekty jejich příslušné kategorie.

Galerie

Oběžná dráha základního sférického trojúhelníku (označeného červeně) působením celé oktaedrické skupiny.
Oběžná dráha základního sférického trojúhelníku (označeného červeně) působením celé ikosaedrické skupiny.

Viz také

Poznámky

Citace

Reference

Aschbacher, Michael (2000). Teorie konečných skupin . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78675-1. MR 1777008 .
Brown, Ronald (2006). Topologie a groupoidy, Booksurge PLC, ISBN 1-4196-2722-8 .
Kategorie a grupoidy, PJ Higgins , stahovatelný dotisk van Nostrand Notes in Mathematics, 1971, které se zabývají aplikacemi grupoidů v teorii a topologii grup.
Dummit, David; Richard Foote (2004). Abstrakt Algebra (3. vyd.). Wiley. ISBN 0-471-43334-9.
Eie, Minking; Chang, Shou-Te (2010). Kurz abstraktní algebry . World Scientific. ISBN 978-981-4271-88-2.
Rotman, Joseph (1995). Úvod do teorie skupin . Absolventské texty z matematiky 148 (4. vyd.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
Smith, Jonathan DH (2008). Úvod do abstraktní algebry . Učebnice matematiky. Stiskněte CRC. ISBN 978-1-4200-6371-4.

externí odkazy

„Akce skupiny na potrubí“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. „Skupinová akce“ . MathWorld .

Languages

In other projects