Kamenná dualita - Stone duality

V matematiky , je v něm dostatek kategoriálních dualit mezi některými kategoriemi z topologických prostorů a kategorií částečně uspořádaných množin . Dnes se tyto duality obvykle shromažďují pod značkou Stone duality , protože tvoří přirozené zobecnění Stoneovy věty o reprezentaci pro booleovské algebry . Tyto koncepty jsou pojmenovány na počest Marshalla Stonea . Duality kamenného typu také poskytují základ nesmyslné topologie a jsou využívány v teoretické informatice ke studiu formální sémantiky .

Tento článek poskytuje odkazy na speciální případy kamenné duality a podrobně vysvětluje jejich velmi obecnou instanci.

Přehled dualit kamenného typu

Pravděpodobně nejvíce obecně dualita, který je klasicky označuje jako „kámen dualitě“ je dualita mezi kategorií SOB z střízlivý prostor s spojité funkce a kategorie SFRM prostorových rámů s příslušnými rámovými homomorfismů. Dvojí kategorie z SFRM je kategorie prostorových lokalitách označených Smístní . Kategorické ekvivalence z SOB a Smístní je základem pro matematické oblasti nesmyslné topologie , která je věnována studiu Loc -The kategorii všech lokalitách, z nichž Smístní je plně podkategorii. Zúčastněné konstrukce jsou charakteristické pro tento druh duality a jsou podrobně popsány níže.

Nyní lze snadno získat řadu dalších dualit omezením na určité speciální třídy střízlivých prostorů:

K těmto základním dualitám lze přidat mnoho dalších dualit kamenného typu.

Dualita střízlivých prostorů a prostorových lokalit

Mříž otevřených množin

Výchozím bodem pro teorii, je skutečnost, že každý topologický prostor se vyznačuje souborem bodů X a systému Q ( X ) ze otevřených souborů prvků z X , tj podmnožinou POWERSET z X . Je známo, že Ω ( X ) má určité speciální vlastnosti: je to úplná mřížka, ve které jsou suprema a konečná infima dány množinovými odbory a konečnými množinovými průsečíky. Dále obsahuje X i prázdnou sadu . Protože vložení Ω ( X ) do mřížky mocninné sady X zachovává konečnou infimu a libovolné suprema, zdědí Ω ( X ) následující zákon distributivity:

pro každý prvek (otevřená množina) x a každou podmnožinu S Ω ( X ). Proto Ω ( X ) není libovolná úplná mřížka, ale úplná Heytingova algebra (nazývaná také rámec nebo národní prostředí - různá jména se primárně používají k rozlišení několika kategorií, které mají stejnou třídu objektů, ale různé morfismy: morfismy rámců, místní morfismy a homomorfismy úplných Heytingových algeber). Zjevná otázka nyní zní: Do jaké míry je topologický prostor charakterizován lokalizací otevřených množin?

Jak již bylo zmíněno výše, lze jít ještě dále. Kategorie Top topologických prostorů má za morphisms kontinuální funkce, kdy funkce f je spojitá v případě, že inverzní obraz f -1 ( O ) jakéhokoliv otevřený soubor v codomain o f je otevřen v doméně o f . Jakákoli spojitá funkce f z prostoru X do prostoru Y definuje inverzní zobrazení f −1 z Ω ( Y ) na Ω ( X ). Dále je snadné zkontrolovat, že f −1 (jako každá inverzní obrazová mapa) zachovává konečné průniky a libovolné spojky, a proto je morfismem rámců . Definujeme-li Ω ( f ) = f −1, pak se Ω stává kontravariantním funktorem z kategorie Nahoru do kategorie Frm rámců a morfismů rámců. Pomocí nástrojů teorie kategorií je úkol najít charakteristiku topologických prostorů z hlediska jejich otevřených množin mřížek ekvivalentní hledání funktoru od Frm po Top, který je přiřazen k Ω.

Body národního prostředí

Cílem této části je definovat funktor pt od Frm po Top, který v určitém smyslu „invertuje“ operaci Ω přiřazením ke každému národnímu prostředí L množinu bodů pt ( L ) (odtud zápis pt) s vhodným topologie. Jak ale můžeme získat množinu bodů právě z národního prostředí, i když to není dáno jako mřížka množin? Je jisté, že nelze obecně očekávat, že pt může reprodukovat všechny původní prvky topologického prostoru jen z jeho mřížky otevřených množin - například všechny množiny s neurčitým topologickým výtěžkem (až do izomorfismu) mají stejné národní prostředí, takže informace o konkrétní sadě již nejsou k dispozici. Stále však existuje rozumná technika pro získávání „bodů“ z národního prostředí, která skutečně poskytuje příklad centrální konstrukce pro věty duality typu Stone.

Pojďme se podívat na první místě v prostoru topological X. . Jeden je obvykle v pokušení považovat bod X za prvek x množiny X , ale ve skutečnosti existuje užitečnější popis pro naše současné vyšetřování. Libovolný bod x dá vzniknout spojité funkci p x z topologického prostoru 1 prvku (jehož všechny podmnožiny jsou otevřené) do prostoru X definováním p x (1) = x . Naopak jakákoli funkce od 1 do X jasně určuje jeden bod: prvek, na který „ukazuje“. Proto je množina bodů v prostoru topological je ekvivalentně charakterizován jako soubor funkcí od 1 do X .

Při použití funktoru Ω k přechodu z vrcholu na Frm jsou ztraceny všechny množinově-teoretické prvky prostoru, ale - pomocí základní myšlenky teorie kategorií - lze také pracovat na funkčních prostorech . Ve skutečnosti, všechna "bod" p x : 1 → X v Top je mapována na morfismus W ( p x ): Ω ( X ) → Ω (1). Otevřená množinová mřížka jednoprvkového topologického prostoru Ω (1) je právě (izomorfní) pro dvouprvkové národní prostředí 2 = {0, 1} s 0 <1. Po těchto pozorováních se zdá rozumné definovat množinu bodů národního prostředí L je množina rámcových morfismů od L do 2. Přesto neexistuje záruka, že každý bod národního prostředí Ω ( X ) je v korespondenci jedna k jedné s bodem topologického prostoru X (zvažte opět indiskrétní topologie, pro kterou má otevřená množinová mřížka pouze jeden „bod“).

Před definováním požadované topologie na pt ( X ) stojí za to dále objasnit koncept bodu národního prostředí. Výše motivovaná perspektiva navrhuje uvažovat o místě národního L jako o rámcovém morfismu p od L do 2. Ale tyto morfismy jsou charakterizovány ekvivalentně inverzními obrazy dvou prvků 2. Z vlastností rámcových morfismů lze odvodit že p −1 (0) je nižší množina (protože p je monotónní ), která obsahuje největší prvek a p = V p −1 (0) (protože p zachovává libovolné suprema). Navíc hlavní ideál p −1 (0) je ideálním prvkem, protože p zachovává konečnou infimu a tedy hlavní a p je prvkem setkávání . Nyní je inverzní množina p −1 (0) daná p −1 (1) zcela primárním filtrem, protože p −1 (0) je hlavním ideálním ideálem. Ukazuje se, že všechny tyto popisy jednoznačně určují počáteční morfismus rámce. Shrneme:

Bod národního prostředí L je ekvivalentně popsán jako:
  • morfismus rámce od L do 2
  • hlavní hlavní ideál L
  • splňující hlavní prvek L
  • Zcela prime filtr L .

Všechny tyto popisy mají své místo v teorii a je vhodné mezi nimi podle potřeby přepínat.

Funktor pt

Nyní, když je k dispozici sada bodů pro jakékoli národní prostředí, zbývá vybavit tuto sadu vhodnou topologií, aby bylo možné definovat objektovou část funktoru pt. To se provádí definováním otevřených sad pt ( L ) jako

φ ( a ) = { p ∈ pt ( L ) | p ( a ) = 1},

pro každý prvek A z L . Zde jsme považovali body L za morfismy, ale lze samozřejmě uvést podobnou definici pro všechny ostatní ekvivalentní charakterizace. Je možné ukázat, že nastavení Ω (pt ( L )) = {φ ( a ) | a ∈ L } skutečně poskytuje topologický prostor (pt ( L ), Ω (pt ( L ))). Je běžné tento prostor zkrátit jako pt ( L ).

Nakonec pt lze definovat na morfismech Frm spíše kanonicky definováním pro morfismus rámce g od L do M , pt ( g ): pt ( M ) → pt ( L ) jako pt ( g ) ( p ) = p o g . Slovy, morfismus získáme z L do 2 (bod L ) aplikací morfismu g, abychom se dostali z L do M, než použijeme morfismus p, který mapuje z M na 2. Opět to lze formalizovat pomocí dalších popisů bodů národního prostředí - například jen vypočítat ( p o g ) -1 (0).

Adjunkce Top a Loc

Jak již bylo několikrát uvedeno, pt a Ω obvykle nejsou inverzní. Obecně platí, že ani X není homeomorfní s pt (Ω ( X )), ani není L -řádově izomorfní s Ω (pt ( L )). Při zavedení topologie pt ( L ) výše však bylo použito mapování φ z L na Ω (pt ( L )). Toto mapování je skutečně rámcovým morfismem. Naopak můžeme definovat spojitou funkci ψ od X do pt (Ω ( X )) nastavením ψ ( x ) = Ω ( p x ), kde p x je pouze charakteristická funkce pro bod x od 1 do X, jak je popsáno výše. Další pohodlný popis je dán prohlížením bodů národního prostředí jako prvků meet-prime. V tomto případě máme ψ ( x ) = X \ Cl { x }, kde Cl { x } označuje topologické uzavření množiny { x } a \ je jen množinový rozdíl.

V tomto okamžiku již máme více než dostatek dat k získání požadovaného výsledku: funktory Ω a pt definují adjunkci mezi kategoriemi Top a Loc = Frm op , kde pt je pravý adjoint k Ω a přirozené transformace ψ a φ op poskytují požadovanou jednotku a počet.

Věta o dualitě

Výše uvedené spojení není ekvivalentem kategorií Top a Loc (nebo rovnocenně dualita Top a Frm ). K tomu je nutné, aby oba ψ a φ byly izomorfismy ve svých příslušných kategoriích.

Pro kosmické X , ψ: X → pt (Ω ( X )) je homeomorphism tehdy a jen tehdy, pokud je to bijective . Použitím charakterizace pomocí prvků meet-prime otevřené mřížky otevřené množiny je vidět, že tomu tak je právě tehdy, když má každá otevřená sada meet-prime formu X \ Cl { x } pro jedinečné x . Alternativně je každá uzavřená množina spojení-uzávěrkou uzavření jedinečného bodu, kde může být výraz „join-prime“ nahrazen (join-) neredukovatelným, protože jsme v distribuční mřížce. Prostory s touto vlastností se nazývají střízlivé .

Naopak pro národní prostředí L je φ: L → Ω (pt ( L )) vždy surjektivní. Dále je injective tehdy a jen tehdy, pokud nějaké dva elementy a b z L , pro které není menší nebo rovno se b mohou být odděleny body na lokalitu, formálně:

pokud ne a ≤ b , pak existuje bod p v pt ( L ) takový, že p ( a ) = 1 a p ( b ) = 0.

Pokud je tato podmínka splněna pro všechny prvky národního prostředí, pak je národní prostředí prostorové nebo se říká, že má dostatek bodů. (Viz také dobře zaměřená kategorie pro podobnou podmínku ve obecnějších kategoriích.)

Nakonec lze ověřit, že pro každý prostor X je Ω ( X ) prostorové a pro každé národní prostředí L je pt ( L ) střízlivý. Z toho tedy vyplývá, že výše uvedená funkce Top a Loc omezuje na rovnocennost celých podkategorií Sob střízlivých prostorů a SLoc prostorových lokalit. Tento hlavní výsledek je zakončen pozorováním, že u funktoru pt o Ω je odeslání každého prostoru do bodů jeho otevřené množiny mřížky ponecháno adjunkční k funktoru inkluze od Sobu na začátek . Pro prostor X se pt (Ω ( X )) nazývá jeho střízlivost . Případ funktoru Ω o pt je symetrický, ale speciální název pro tuto operaci se běžně nepoužívá.

Reference

  • Stanley N. Burris a HP Sankappanavar, 1981. Kurz univerzální algebry. Springer-Verlag . ISBN   3-540-90578-2 . (k dispozici zdarma online na zmíněném webu)
  • PT Johnstone , Stone Spaces , Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3, Cambridge University Press , Cambridge, 1982. ISBN   0-521-23893-5 .
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Kategorické základy. Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazků . Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   0-521-83414-7 . Zbl   1034.18001 .
  • Vickers, Steven (1989). Topologie pomocí logiky . Cambridge Tracts v teoretické informatice. 5 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   0-521-36062-5 . Zbl   0668,54001 .
  • Abstraktní kamenná dualita
  • Caramello, Olivia (2011). „Topos-teoretický přístup k dualitám kamenného typu“. arXiv : 1103,3493 [ math.CT ].