Codomain - Codomain

Funkce f z X k Y . Modrý ovál Y je doménou f . Žlutý oválný vnitřní Y je obraz z f .

V matematice se codomain nebo set určení jednoho funkce je sada do níž jsou všechny výkonu funkce je omezena na podzim. Jedná se o sadu Y v notaci f : X → Y . Termín rozsah je někdy nejednoznačně používán k označení buď codomény nebo obrazu funkce.

Codomain je součástí funkce f , pokud f je definována jako trojí ( X , Y , G ), kde X je nazýván doména z F , Y jeho codomain , a G její graf . Soubor všech prvků tvaru f ( x ) , kde x se pohybuje přes prvky domény X , se nazývá obraz o f . Obraz funkce je podmnožinou její codomény, takže se s ní nemusí shodovat. Totiž funkce, která není surjektivní, má ve své doméně prvky y, pro které rovnice f ( x ) = y nemá řešení.

Codoména není součástí funkce f, pokud je f definována pouze jako graf. Například v teorii množin je žádoucí dovolit, aby doménou funkce byla vlastní třída X , v takovém případě formálně neexistuje nic takového jako trojnásobek ( X , Y , G ) . S takovou funkcí definice nemají codomain, ačkoli někteří autoři stále používat neformálně po zavedení funkce ve tvaru f : X → Y .

Příklady

Pro funkci

${\ Displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

definován

${\ displaystyle f \ colon \, x \ mapsto x^{2},}$ nebo ekvivalentně ${\ Displaystyle f (x) \ = \ x^{2},}$

kodoména f je , ale f se nemapuje na žádné záporné číslo. Obraz f je tedy množina ; tj. interval [0, ∞) . ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} _ {0}^{+}}$

Alternativní funkce g je definována takto:

${\ Displaystyle g \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {0}^{+}}$

${\ Displaystyle g \ colon \, x \ mapsto x^{2}.}$

Zatímco f a g mapují dané x na stejné číslo, nejsou v tomto pohledu stejnou funkcí, protože mají různé codomény. Může být definována třetí funkce h, která ukazuje, proč:

${\ Displaystyle h \ colon \, x \ mapsto {\ sqrt {x}}.}$

Doména h nemůže být, ale může být definována jako : ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} _ {0}^{+}}$

${\ Displaystyle h \ colon \ mathbb {R} _ {0}^{+} \ rightarrow \ mathbb {R}.}$

Tyto prostředky jsou označeny

${\ Displaystyle h \ circ f,}$

${\ Displaystyle h \ circ g.}$

Při kontrole není h ∘ f užitečné. Pokud není definováno jinak, je pravda, že obraz f není znám; ví se jen, že je to podmnožina . Z tohoto důvodu je možné, že h , když bude složen z f , může obdržet argument, pro který není definován žádný výstup - záporná čísla nejsou prvky domény h , což je funkce odmocniny . ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R}}$

Složení funkce je proto užitečným pojmem pouze tehdy, když je doména funkce na pravé straně skladby (nikoli její obraz , který je důsledkem funkce a na úrovni skladby může být neznámý) je podmnožinou domény funkce na levé straně.

Kodoména ovlivňuje, zda je funkce předzvěstí , v tom, že funkce je surjektivní právě tehdy, pokud se její doména rovná jejímu obrazu. V tomto příkladu je g předpokladem, zatímco f není. Codoména neovlivňuje, zda je funkce injekcí .

Druhý příklad rozdílu mezi doménou a obrazem je demonstrován lineárními transformacemi mezi dvěma vektorovými prostory - zejména všemi lineárními transformacemi od sebe k sobě, které lze reprezentovat maticemi 2 × 2 se skutečnými koeficienty. Každá matice představuje mapu s doménou a doménou . Obraz je však nejistý. Některé transformace mohou mít obraz rovný celé codoméně (v tomto případě matice s hodností 2 ), ale mnohé ne, místo toho mapují do nějakého menšího podprostoru (matice s hodností 1 nebo 0 ). Vezměme si například matici T danou ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^{2}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^{2}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^{2}}$

${\ displaystyle T = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

což představuje lineární transformaci, která mapuje bod ( x , y ) na ( x , x ) . Bod (2, 3) není v obraze T , ale stále je v codoméně, protože lineární transformace z do do mají výslovný význam. Stejně jako všechny matice 2 × 2 , T představuje člen této sady. Zkoumání rozdílů mezi obrázkem a doménou může být často užitečné pro zjištění vlastností dané funkce. Lze například vyvodit závěr, že T nemá plnou pozici, protože jeho obraz je menší než celá doména. ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^{2}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^{2}}$

Viz také

• Bijection  - Funkce, která je jedna k jedné a na (matematika)
• Morfismus#kodoména

Poznámky

Reference

• Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles . Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348.
• Eccles, Peter J. (1997), An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets, and Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0
• Forster, Thomas (2003), Logika, Indukce a sady , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53361-4
• Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie pro pracujícího matematika (2. vyd.), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2
• Scott, Dana S .; Jech, Thomas J. (1967), Axiomatic theory set , Symposium in Pure Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0245-8
• Sharma, AK (2004), Úvod do teorie teorie , Discovery Publishing House, ISBN 978-81-7141-877-0
• Stewart, Ian; Tall, David Orme (1977), Základy matematiky , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4