Tannakský formalismus - Tannakian formalism

V matematiky , je Tannakian kategorie je zvláštní druh monoidal kategorie C , se některé další struktury vzhledem k dané pole K . Úloha těchto kategorií C je přiblížení, v určitém smyslu, kategorie lineárních reprezentací po dosažení algebraické skupiny G definovanou přes K . Byla provedena řada hlavních aplikací teorie, nebo by mohla být provedena ve snaze o některé z centrálních dohadů současné algebraické geometrie a teorie čísel .

Název je převzat z duality Tadao Tannaka a Tannaka – Kerin , teorie o kompaktních skupinách G a jejich teorii reprezentace. Teorie byla vyvinuta poprvé ve škole Alexandra Grothendiecka . Později to Pierre Deligne přehodnotil a provedl některá zjednodušení. Vzorec teorie je podle Grothendieckovy Galoisovy teorie , což je teorie o konečných permutačních reprezentacích skupin G, které jsou profinitními skupinami .

Podstata teorie, která je v expozici Saavedry Rivano poměrně podrobně podrobně popsána, spočívá v tom, že funktor vláken Φ Galoisovy teorie je nahrazen tenzorovým funktorem T od C do K -Vect . Skupina přírodních transformací z cp k sobě, což se ukáže být profinite skupina v Galois teorie, je nahrazen skupinou ( a priori pouze monoidů ) z přírodních transformací z T do sebe, které respektují strukturu tensor. Toto od přírody není algebraická skupina, ale inverzní limit algebraických skupin ( pro-algebraická skupina ).

Formální definice

Neutrální Tannakian kategorie je tuhý abelian tensor kategorie , tak, že existuje k -tensor funktor do kategorie omezených rozměrových K -vector prostor , který je přesný a věrný .

Aplikace

Konstrukce se používá v případech, kdy je třeba uvažovat Hodgeovu strukturu nebo l-adickou reprezentaci ve světle teorie skupinové reprezentace. Například skupinu Mumford – Tate a motivickou skupinu Galois lze potenciálně získat z jedné kohomologické skupiny nebo modulu Galois prostřednictvím zprostředkující tannakské kategorie, kterou generuje.

Tyto oblasti aplikace jsou úzce spojeny s teorií motivů . Další místo, kde byly použity tannakské kategorie, je v souvislosti s domněnkou Grothendieck – Katz o p-zakřivení ; jinými slovy, v ohraničení monodromních skupin .

Geometrické Satake ekvivalence vytváří rovnocennost reprezentací Langlands dvojí skupiny z redukční skupiny G a určité equivariant převráceného svazky na afinní Grassmannian spojeného s G . Tato ekvivalence poskytuje nekombinatorní konstrukci duální skupiny Langlands. Dokazuje se tím, že ukazuje, že zmíněná kategorie zvrácených snopů je tannakská kategorie a identifikuje její dvojitou skupinu Tannaka .

Rozšíření

Wedhorn (2004) stanovil částečné výsledky duality Tannaky v situaci, kdy je kategorie R -lineární, kde R již není pole (jako v klasické tannakské dualitě), ale určité prstence ocenění . Duong & Hai (2017) ukázal výsledek duality Tannaka, pokud R je prsten Dedekind .

Iwanari (2014) zahájil studium duality Tannaky v kontextu nekonečných kategorií .

Reference

  • Deligne, Pierre (2007) [1990], „Catégories tannakiennes“ , The Grothendieck Festschrift , II , Birkhauser, s. 111–195, ISBN 9780817645755
  • Deligne, Pierre ; Milne, James (1982), „Tannakské kategorie“ , v Deligne, Pierre; Milne, James; Ogus, Arthur; Shih, Kuang-yen (eds.), Hodgeovy cykly, motivy a odrůdy Shimura , Přednášky z matematiky, 900 , Springer, s. 101–228, ISBN 978-3-540-38955-2
  • Duong, Nguyen Dai; Hai, Phùng Hô (2017), tannakská dualita nad prsteny a aplikacemi Dedekind , arXiv : 1311.1134v3
  • Iwanari, Isamu (2014), dualita Tannaka a stabilní kategorie nekonečna , arXiv : 1409,3321 , doi : 10,1112/topo.12057
  • Saavedra Rivano, Neantro (1972), Catégories Tannakiennes , Lecture Notes in Mathematics, 265 , Springer, ISBN 978-3-540-37477-0, MR  0338002
  • Wedhorn, Torsten (2004), „O tannakovské dualitě nad oceňovacími kruhy“, Journal of Algebra , 282 (2): 575–609, doi : 10,1016/j.jalgebra.2004.07.024 , MR  2101076

Další čtení

  • M. Larsen a R. Pink. Určení reprezentací z invariantních dimenzí. Vymyslet. math., 102: 377–389, 1990.