Abelian kategorie - Abelian category

V matematiky , An abelian kategorie je kategorie , ve které morfizmy a předměty mohou být přidány a ve kterém jader a cokernels existují a mají žádoucí vlastnosti. Motivační Typický příklad abelian kategorie je kategorie abelian skupin , Ab . Teorie vznikla ve snaze sjednotit několik cohomology teorie, podle Alexandra Grothendieck a nezávisle v poněkud dřívější práci Davida Buchsbaum . Abelianské kategorie jsou velmi stabilní kategorie; například jsou pravidelné a uspokojují hadí lemma . Třída abelian kategorií je uzavřena pod několika kategorické konstrukcí, například kategorie komplexů řetězu z abelian kategorie nebo kategorie funktorů z malé kategorie na abelian kategorii jsou abelian stejně. Díky těmto vlastnostem stability jsou nevyhnutelné v homologické algebře i mimo ni; teorie má hlavní aplikace v algebraické geometrii , kohomologii a teorii čisté kategorie . Abelianské kategorie jsou pojmenovány podle Nielse Henrika Abela .

Definice

Kategorie je abelian pokud je preadditive a

• má nulový objekt ,
• má všechny binární biprodukty ,
• to má všechny jádra a cokernels a
• všechny monomorfismy a epimorfismy jsou normální .

Tato definice je ekvivalentní následující „postupné“ definici:

• Kategorie je preadditive , pokud je obohacen přes monoidal kategorie Ab z abelovských skupin . To znamená, že všechny homosady jsou abelianské skupiny a složení morfismů je bilineární .
• Kategorie předčítání je aditivní, pokud má každá konečná sada objektů biprodukt . To znamená, že můžeme tvořit konečné přímé součty a přímé produkty . V Def. 1.2.6 je požadováno, aby kategorie přísad měla nulový objekt (prázdný biprodukt).
• Aditivum kategorie preabelian jestliže každý morfizmus má jak jádro a cokernel .
• Konečně, preabelian kategorie abelian jestliže každý monomorfizmus a každý epimorfizmus je normální . To znamená, že každý monomorfismus je jádrem nějakého morfismu a každý epimorfismus je jádrem nějakého morfismu.

Všimněte si, že obohacená struktura na hom-množinách je důsledkem prvních tří axiomů první definice. To zdůrazňuje základní důležitost kategorie abelianských skupin v teorii a její kanonickou povahu.

Koncept přesné posloupnosti vzniká přirozeně v tomto nastavení a ukazuje se, že přesné funktory , tj. Funktory zachovávající přesné sekvence v různých smyslech, jsou příslušnými funktory mezi abelianskými kategoriemi. Tento koncept přesnosti byl axiomatizován v teorii přesných kategorií a vytvořil velmi zvláštní případ pravidelných kategorií .

Příklady

• Jak bylo uvedeno výše, kategorie všech abelianských skupin je abelianská kategorie. Kategorie všech konečně generovaných abelianských skupin je také abelianskou kategorií, stejně jako kategorie všech konečných abelianských skupin.
• Pokud R je prsten , pak kategorie všech levých (nebo pravých) modulů nad R je abelianská kategorie. Ve skutečnosti lze ukázat, že jakákoli malá abelianská kategorie je ekvivalentní celé podkategorii takové kategorie modulů ( Mitchellova věta o vložení ).
• Pokud R je levo- noetherovský kruh , pak je kategorie konečně generovaných levých modulů nad R abelian. Zejména kategorie konečně generovaných modulů přes noetherianský komutativní kruh je abelian; tímto způsobem se abelianské kategorie zobrazují komutativní algebrou .
• Jako zvláštní případy dvou předchozích příkladů: kategorie vektorových prostorů nad pevným polem k je abelian, stejně jako kategorie konečných trojrozměrných vektorových prostorů nad k .
• Pokud X je topologický prostor , pak kategorie všech (skutečných nebo komplexních) vektorových svazků na X obvykle není abelianská kategorie, protože mohou existovat monomorfismy, které nejsou jádry.
• Pokud X je topologický prostor , pak kategorie všech svazků abelianských skupin na X je abelianská kategorie. Obecněji řečeno, kategorie snopů abelianských skupin na webu Grothendieck je abelianská kategorie. Tímto způsobem se abelianské kategorie zobrazují v algebraické topologii a algebraické geometrii .
• Pokud C je malá kategorie a A je abelianská kategorie, pak kategorie všech funktorů od C do A tvoří abelianskou kategorii. Pokud je C malé a preadditivní , pak kategorie všech aditivních funktorů od C do A také tvoří abelianskou kategorii. Ta druhá je zevšeobecněním příkladu R- modulu, protože prsten lze chápat jako kategorii předčítání s jediným objektem.

Grothendieckovy axiomy

Ve svém článku Tōhoku uvedl Grothendieck další čtyři axiomy (a jejich duální), které by abelianská kategorie A mohla uspokojit. Tyto axiomy jsou dodnes běžně používány. Jsou to následující:

• AB3) Pro každý indexovaný rodiny ( _i ) objektů A se koprodukt * _i existuje v A (tj je cocomplete ).
• AB4) A splňuje AB3) a koproduktem rodiny monomorfismů je monomorfismus.
• AB5) splňuje AB3), a filtrované kolimity o přesné sekvence jsou přesné.

a jejich duály

• AB3 *) Pro každý indexovaný rodiny ( _i ) objektů A se produkt P _i existuje v A (tj je úplný ).
• AB4 *) A splňuje AB3 *) a produktem rodiny epimorfismů je epimorfismus.
• AB5 *) A splňuje AB3 *) a filtrované limity přesných sekvencí jsou přesné.

Rovněž byly uvedeny axiomy AB1) a AB2). Právě díky nim je kategorie aditiv abelian. Konkrétně:

• AB1) Každý morfismus má jádro a jádro.
• AB2) Pro každý morfizmus f , kanonický Morfizmus z coim f až im f je izomorfismus .

Grothendieck také dal axiomy AB6) a AB6 *).

• AB6) A splňuje AB3) a vzhledem k rodině filtrovaných kategorií a map máme , kde lim označuje filtrovanou kolimitu. ${\ displaystyle I_ {j}, j \ v J}$${\ displaystyle A_ {j}: I_ {j} \ do A}$${\ displaystyle \ prod _ {j \ v J} \ lim _ {I_ {j}} A_ {j} = \ lim _ {I_ {j}, \ forall j \ in J} \ prod _ {j \ v J }Aj}}$
• AB6 *) A vyhovuje AB3 *) a vzhledem k rodině filtrovaných kategorií a map máme , kde lim označuje limit filtrovaného. ${\ displaystyle I_ {j}, j \ v J}$${\ displaystyle A_ {j}: I_ {j} \ do A}$${\ displaystyle \ sum _ {j \ v J} \ lim _ {I_ {j}} A_ {j} = \ lim _ {I_ {j}, \ forall j \ in J} \ sum _ {j \ v J }Aj}}$

Základní vlastnosti

Vzhledem k tomu jakýkoli pár , B objektů v abelian kategorii existuje zvláštní nula morphism z A do B . To lze definovat jako nulový prvek hom-množiny Hom ( A , B ), protože se jedná o abelianskou skupinu. Alternativně jej lze definovat jako jedinečné složení A → 0 → B , kde 0 je nulový objekt kategorie abelianů.

V abelianské kategorii lze každý morfismus f zapsat jako složení epimorfismu následovaného monomorfismem. Tato epimorfizmus se nazývá coimage of f , zatímco monomorfizmus se nazývá obraz z f .

Subobjekty a kvocienty se chovají dobře v abelianských kategoriích. Například poset podobjektů libovolného daného objektu A je ohraničená mřížka .

Každá abelianská kategorie A je modulem nad monoidní kategorií konečně generovaných abelianských skupin; to znamená, že lze vytvořit tensor produkt o konečně generovaného abelian skupiny G a jakýkoli objekt A z A . Kategorie abelian je také komodit ; Hom ( G , ) může být interpretován jako předmět A . Pokud je kompletní , pak můžeme odstranit požadavek, že G je konečně generované; nejobecněji, můžeme vytvořit finitary obohacené limity v A .

Související pojmy

Abelianské kategorie jsou nejobecnějším prostředím pro homologickou algebru . Všechny konstrukce použité v tomto poli jsou relevantní, například přesné sekvence a zejména krátké přesné sekvence a odvozené funktory . Důležité věty, které platí ve všech kategoriích abelian, zahrnují pět lemmat (a krátké pět lemmat jako speciální případ), stejně jako hadí lemma (a devět lemmat jako speciální případ).

Polo-jednoduché abelianské kategorie

Abelian kategorie se nazývá semi-jednoduché , pokud je kolekce objektů s názvem jednoduché objekty (což znamená, že pouze dílčí žádné předměty jsou předmětem nula a sám) tak, že předmět může být rozložen jako přímý součet (označující vedlejší produkt z kategorie abelian) ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i \ v I} \ v {\ text {Ob}} (\ mathbf {A})}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle X \ v {\ text {Ob}} (\ mathbf {A})}$

${\ displaystyle X \ cong \ bigoplus _ {i \ in I} X_ {i}}$

Tento technický stav je poměrně silný a vylučuje mnoho přírodních příkladů abelianských kategorií nalezených v přírodě. Například většina kategorií modulů přes prsten není semi-simple; ve skutečnosti tomu tak je právě tehdy a jen tehdy, když se jedná o poloviční prsten . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Příklady

Některé abelianské kategorie nalezené v přírodě jsou částečně jednoduché, jako např

• Kategorie vektorových prostorů nad pevným polem ${\ displaystyle {\ text {Vect}} (k)}$${\ displaystyle k}$
• Podle Maschkeho věty je kategorie reprezentací konečné skupiny nad polem, jehož charakteristika se nedělí, polořadovka-jednoduchá abelianská kategorie. ${\ displaystyle {\ text {Rep}} _ {k} (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle | G |}$
• Kategorie koherentních svazků na noetherianském schématu je semi-jednoduchá právě tehdy, když existuje konečné disjunktní spojení neredukovatelných bodů. To je ekvivalent konečného koproduktu kategorií vektorových prostorů v různých polích. To, že to platí ve směru vpřed, je ekvivalentní tomu, že zmizí všechny skupiny, což znamená, že cohomologická dimenze je 0. To se stane pouze tehdy, když mrakodrapové svazky v bodě mají Zariskiho tečny prostor rovný nule, což je izomorfní s použitím místní algebry pro takové schéma. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ text {Ext}} ^ {1}}$${\ displaystyle k_ {x}}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle {\ text {Ext}} ^ {1} (k_ {x}, k_ {x})}$

Non-příklady

Existují některé přirozené protiklady abelianských kategorií, které nejsou částečně jednoduché, například určité kategorie reprezentací . Například kategorie zastoupení skupiny Lie má zastoupení ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, +)}$

${\ displaystyle a \ mapsto {\ begin {bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

který má pouze jedno subreprezentace dimenze . Ve skutečnosti to platí pro jakoukoli unipotentní skupinu ^{str. 112} . ${\ displaystyle 1}$

Podkategorie abelianských kategorií

Existuje mnoho typů (úplných, aditivních) podkategorií abelianských kategorií, které se v přírodě vyskytují, stejně jako některá protichůdná terminologie.

Nechť A je abelianská kategorie, C úplná, doplňková podkategorie a já funkcionář zařazení.

• C je přesná podkategorie, pokud je sama o sobě přesnou kategorií a zařazení I je přesným funktorem . K tomu dochází tehdy a jen tehdy, je- li C uzavřeno pod zpětným rázem epimorfismů a tlakem monomorfismů. Přesné sekvence v C jsou tedy přesné sekvence v A, pro které všechny objekty ležící v C .
• C je abelianská podkategorie, pokud je sama o sobě abelianskou kategorií a zařazení I je přesným funktorem . K tomu dochází tehdy a jen tehdy, je- li C uzavřeno za převzetí jader a jader. Všimněte si, že existují příklady celých podkategorií abelianské kategorie, které samy o sobě jsou abelianské, ale kde funktor zařazení není přesný, takže nejde o abelianské podkategorie (viz níže).
• C je tlustá podkategorie, pokud je uzavřena pod přímým sčítáním a splňuje vlastnost 2 ze 3 na krátkých přesných sekvencích; to znamená, že pokud je krátká přesná posloupnost v A taková, že dvě leží v C , tak i třetí. Jinými slovy, C je uzavřeno pod jádry epimorfismů, jádry monomorfismů a rozšířeními. Všimněte si, že P. Gabriel použil výraz tlustá podkategorie k popisu toho, co zde nazýváme podkategorií Serre . ${\ displaystyle 0 \ až M '\ až M \ až M' \ \ 0}$${\ displaystyle M ', M, M' '}$
• C je topologizující podkategorie, pokud je uzavřena pod dílčími částmi .
• C je Serre podkategorie , pokud pro všechny krátké přesné sekvence v A máme M v C -li pouze pokud oba a jsou v C . Jinými slovy, C je uzavřeno pod příponami a dílčími částmi . Tyto podkategorie jsou přesně jádry přesných funktorů od A do jiné abelianské kategorie. ${\ displaystyle 0 \ až M '\ až M \ až M' \ \ 0}$${\ displaystyle M ', M' '}$
• C je lokalizační podkategorie, pokud se jedná o podkategorii Serre tak, že funktor kvocientu připouští pravý adjoint . ${\ displaystyle Q \ colon \ mathbf {A} \ až \ mathbf {A} / \ mathbf {C}}$
• Existují dva konkurenční pojmy široké podkategorie. Jedna verze je, že C obsahuje všechny objekty A (až do izomorfismu); pro celou podkategorii to samozřejmě není zajímavé. (Tomu se také říká podkategorie lluf .) Druhou verzí je, že C je uzavřen pod příponami.

Zde je explicitní příklad úplné aditivní podkategorie abelianské kategorie, která je sama o sobě abelianská, ale funkcionalita zařazení není přesná. Nechť k je pole, algebra matic vyšších trojúhelníků nad k a kategorie konečných dimenzionálních modulů. Pak každá z nich je abelianská kategorie a máme funktor začlenění, který identifikuje jednoduché projektivní, jednoduché injektivní a nerozložitelné projektivní-injektivní moduly. Zásadní Obraz I je plná, přísada podkategorie, ale já není přesný. ${\ displaystyle T_ {n}}$${\ displaystyle n \ krát n}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {n}}$${\ displaystyle T_ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {n}}$${\ displaystyle I \ colon \ mathbf {A} _ {2} \ to \ mathbf {A} _ {3}}$

Dějiny

Abelianské kategorie zavedly Buchsbaum (1955) (pod názvem „přesná kategorie“) a Grothendieck (1957) za účelem sjednocení různých teorií cohomologie. V té době existovala kohomologická teorie pro snopy a kohomologická teorie pro skupiny . Ti dva byli definováni odlišně, ale měli podobné vlastnosti. Ve skutečnosti byla velká část teorie kategorií vyvinuta jako jazyk ke studiu těchto podobností. Grothendieck sjednotil dvě teorie: obě vznikají jako odvozené funktory pro abelianské kategorie; abelian kategorie snopy abelian skupin na topologického prostoru, a abelian kategorie G -modules pro danou skupinu G .

Viz také

• Triangulovaná kategorie

Reference

• Buchsbaum, David A. (1955), „Přesné kategorie a dualita“, Transaction of the American Mathematical Society , 80 (1): 1–34, doi : 10,1090 / S0002-9947-1955-0074407-6 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1993003 , MR   0074407
• Freyd, Peter (1964), Abelian Categories , New York: Harper and Row
• Grothendieck, Alexander (1957), „Sur quelques points d'algèbre homologique“ , Tohoku Mathematical Journal , druhá řada, 9 : 119–221, doi : 10,2748 / tmj / 1178244839 , ISSN   0040-8735 , MR   0102537
• Mitchell, Barry (1965), Theory of Categories , Boston, MA: Academic Press
• Popescu, Nicolae (1973), Abelianské kategorie s aplikacemi na prsteny a moduly , Boston, MA: Academic Press