Teleparallelism - Teleparallelism

Teleparallelism (také nazývaný teleparallel gravity ), byl pokus Alberta Einsteina založit jednotnou teorii elektromagnetismu a gravitace na matematické struktuře vzdáleného paralelismu, označovaného také jako absolutní nebo teleparallelism. V této teorii je časoprostor charakterizován lineárním spojením bez zakřivení ve spojení s metrickým tenzorovým polem, obojí je definováno z hlediska dynamického tetradového pole.

Teleparalelní časoprostory

Rozhodující nová myšlenka pro Einstein, bylo zavedení tetrad pole, tedy množina ${X 1, X 2, X 3, X 4}$ ze čtyř vektorová pole definovány na všechny z $M$ tak, že pro každé $p \in M$ v množina ${X 1 (p), X 2 (p), X 3 (p), X 4 (p)}$ je základem z $T p M$ , kde $T p M$ označuje vlákno přes $p$ o tangenciálním vektorem svazku $TM$ . Proto musí být čtyřrozměrný prostoročasný rozdělovač $M$ paralelizovatelný . Tetradové pole bylo zavedeno, aby umožnilo vzdálené srovnání směru tečných vektorů v různých bodech potrubí, odtud název vzdálená rovnoběžnost. Jeho pokus selhal, protože v jeho zjednodušené rovnici pole nebylo žádné Schwarzschildovo řešení.

Ve skutečnosti lze definovat spojení paralelizace (také nazývané Weitzenböckovo spojení ) ${X i}$ jako lineární spojení $\nabla$ na $M$ tak, že

{\ Displaystyle \ nabla _ {v} \ left (f^{i} \ mathrm {X} _ {i} \ right) = \ left (vf^{i} \ right) \ mathrm {X} _ {i} (p),}

kde $v \in T p M$ a $f i$ jsou (globální) funkce na $M$ ; tak $f i Xa i$ je globální vektorové pole na $M$ . Jinými slovy, koeficienty Weitzenböckova připojení $\nabla$ vzhledem k ${X i}$ jsou identicky nulové, implicitně definované:

{\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathrm {X} _ {i}} \ mathrm {X} _ {j} = 0,}

proto

{\ Displaystyle {W ^{k}} _ {ij} = \ omega ^{k} \ left (\ nabla _ {\ mathrm {X} _ {i}} \ mathrm {X} _ {j} \ right) \ equiv 0,}

pro koeficienty připojení (také nazývané Weitzenböckovy koeficienty) na tomto globálním základě. Zde $ω k$ je duální globální základ (nebo coframe) definovaný $ω i (X j) = δ já j$ .

To se obvykle děje v $R n$ , v jakémkoli afinním prostoru nebo Lieově skupině (například 'zakřivená' sféra $S 3,$ ale 'Weitzenböck plochý' rozdělovač).

Pomocí transformačního zákona spojení nebo ekvivalentně vlastností $\nabla$ máme následující výsledek.

Návrh . Na přirozeném základě, spojený s lokálními souřadnicemi $(U, x μ)$ , tj. V holonomickém rámci $\partial μ$ , jsou (lokální) koeficienty připojení Weitzenböckova spojení dány vztahem:

${\ Displaystyle {\ Gamma^{\ beta}} _ {\ mu \ nu} = h_ {i}^{\ beta} \ částečná _ {\ nu} h _ {\ mu}^{i},}$

kde $X i = h μ i \partial μ$ pro $i, μ = 1, 2, ... n$ jsou místní výrazy globálního objektu, tedy dané tetrady.

Spojení Weitzenböck má mizející zakřivení , ale-obecně-nemizející kroucení .

Vzhledem k rámcovému poli ${X i}$ lze také definovat metriku pojímáním rámcového pole jako ortonormálního vektorového pole. Dalo by se pak získá pseudo-Riemannian metrický tensor pole $g$ z podpisu (3,1) o

{\ Displaystyle g \ left (\ mathrm {X} _ {i}, \ mathrm {X} _ {j} \ right) = \ eta _ {ij},}

kde

{\ displaystyle \ eta _ {ij} = \ operatorname {diag} (-1, -1, -1,1).}

Odpovídající podkladový časoprostor se v tomto případě nazývá Weitzenböckův časoprostor.

Stojí za zmínku, že tato „paralelní vektorová pole“ vedou k metrickému tenzoru jako vedlejšímu produktu.

Nová teleparalelní gravitační teorie

Nová teleparalelní gravitační teorie (nebo nová obecná relativita ) je gravitační teorie o časoprostoru Weitzenböck a gravitaci připisuje torzní tenzor vytvořený z paralelních vektorových polí.

V nové teleparalelní gravitační teorii jsou základní předpoklady následující:

Základním časoprostorem je časoprostor Weitzenböck, jehož základní strukturou je čtyřnásobek paralelních vektorových polí. Tato paralelní vektorová pole dávají vzniknout metrickému tenzoru jako vedlejšímu produktu. Všechny fyzikální zákony jsou vyjádřeny rovnicemi, které jsou kovariantní nebo tvoří invariantní ve skupině obecných transformací souřadnic.
Princip ekvivalence platí pouze v klasické fyzice.
Rovnice gravitačního pole lze odvodit z akčního principu.
Polní rovnice jsou parciální diferenciální rovnice v polních proměnných ne vyšší než druhého řádu.

V roce 1961 Christian Møller oživil Einsteinovu myšlenku a Pellegrini a Plebanski našli Lagrangeovu formulaci pro absolutní paralelismus .

Gravitační teorie Møllerova tetradu

V roce 1961 Møller ukázal, že tetradový popis gravitačních polí umožňuje racionálnější zpracování komplexu energie a hybnosti než v teorii založené pouze na metrickém tenzoru . Výhoda použití tetrad jako gravitačních proměnných byla spojena se skutečností, že to umožnilo konstruovat výrazy pro komplex energie a hybnosti, který měl uspokojivější transformační vlastnosti než v čistě metrické formulaci. Nedávno se ukázalo, že celková energie hmoty a gravitace je úměrná Ricciho skaláru tříprostorového až lineárního řádu poruch.

Nová teleparalelní teorie gravitace s teleparalelním překladem

Nezávisle v roce 1967 Hayashi a Nakano oživili Einsteinovu myšlenku a Pellegrini a Plebanski začali formulovat teorii rozchodu skupiny časoprostorových překladů. Hayashi poukázal na souvislost mezi teorií rozchodu skupiny časoprostorových překladů a absolutním paralelismem. První formulaci svazku vláken poskytla Cho. Tento model později studovali Schweizer et al., Nitsch a Hehl, Meyer a novější pokroky lze nalézt v Aldrovandi a Pereira, Gronwald, Itin, Maluf a da Rocha Neto, Münch, Obukhov a Pereira a Schucking a Surowitz.

V dnešní době lidé studují teleparallelismus čistě jako gravitační teorii, aniž by se ho pokoušeli sjednotit elektromagnetismem. V této teorii se ukazuje , že gravitační pole je plně reprezentováno potenciálem translačního měřidla $B a μ$ , jak by mělo být pro měřicí teorii pro translační skupinu.

Pokud je tato volba provedena, pak již neexistuje žádná Lorentzova měřicí symetrie, protože vnitřní Minkowského prostorové vlákno - přes každý bod časoprostorového sběrného potrubí - náleží do svazku vláken s Abelian $R 4$ jako strukturní skupinou . Symetrie translačního měřidla však může být zavedena takto: Místo toho, abychom tetrady považovali za základní, místo toho zavedeme základní symetrii translačního měřidla $R 4$ (která působí na vnitřní Minkowského prostorová vlákna afinně, takže toto vlákno je opět lokální) s spojení $B$ a „souřadnicové pole“ $x$ nabývající hodnoty v Minkowského vesmírném vlákně.

Přesněji řečeno, ať $π : M \to M$ je Minkowského svazku vláken přes časoprostorového potrubí $M$ . Pro každý bod $p \in M$ , vlákno $M p$ je afinní prostor . V grafu vláken $(V, ψ)$ jsou souřadnice obvykle označeny $ψ = (x μ, x a)$ , kde $x μ$ jsou souřadnice na časoprostorovém sběrném potrubí $M$ a $x a$ jsou souřadnice ve vlákně $M p$ .

Pomocí abstraktního indexového zápisu nechť $a, b, c, ...$ odkazují na $M p$ a $μ, ν, ...$ odkazují na tečný svazek $TM$ . V každém konkrétním měřidle je hodnota $x a$ v bodě p dána řezem

{\ Displaystyle x^{\ mu} \ do \ doleva (x^{\ mu}, x^{a} = \ xi^{a} (p) \ vpravo).}

Kovariantní derivace

{\ Displaystyle D _ {\ mu} \ xi ^{a} \ equiv \ left (d \ xi ^{a} \ right) _ {\ mu}+{B ^{a}} _ {\ mu} = \ částečný _ {\ mu} \ xi ^{a}+{B ^{a}} _ {\ mu}}

je definována s ohledem na formu spojení $B$ , 1-forma předpokládající hodnoty v Lieově algebře translační abelianské skupiny $R 4$ . Zde, d je vnější derivát z $na$ té součásti z $x$ , který je skalární pole (takže to není čistě abstraktní index notace). Pod transformací měřidla translačním polem $α a$ ,

{\ Displaystyle x^{a} \ to x^{a}+\ alpha^{a}}

a

{\ Displaystyle {B^{a}} _ {\ mu} \ to {B^{a}} _ {\ mu}-\ partial _ {\ mu} \ alpha^{a}}

a tak je kovariantní derivace $x a = £, a (p)$ je měřidlo neměnný . Toto je identifikováno translační (ko-) tetradou

{\ Displaystyle {h^{a}} _ {\ mu} = \ částečná _ {\ mu} \ xi^{a}+{B^{a}} _ {\ mu}}

což je jedna forma, která nabývá hodnot v algebře Lie translační abelianské skupiny $R 4$ , odkud je měřidlo invariantní. Ale co to znamená? $x a = ξ a (p)$ je místní část (čistě translačního) afinního vnitřního svazku $M \to M$ , což je kromě pole translačního měřidla $B a μ$ další důležitá struktura . Geometricky toto pole určuje původ afinních prostorů; je známý jako Cartanův poloměrový vektor. V měřidlově teoretickém rámci jednotná forma

{\ Displaystyle h^{a} = {h^{a}} _ {\ mu} dx^{\ mu} = \ left (\ partial _ {\ mu} \ xi^{a}+{B^{a }} _ {\ mu} \ vpravo) dx^{\ mu}}

vzniká jako nelineární translační měřidlo s $ξ a$ interpretováno jako Goldstoneovo pole popisující spontánní porušení translační symetrie.

Hrubá analogie: Představte si $M p$ jako obrazovku počítače a vnitřní posunutí jako polohu ukazatele myši. Zakřivenou podložku pod myš představte jako časoprostor a pozici myši jako pozici. Udržujeme -li orientaci myši fixovanou, pohybujeme -li myší po zakřiveném podložce pod myš, mění se také poloha ukazatele myši (vnitřní posunutí) a tato změna je závislá na cestě; tj. nezávisí to pouze na počáteční a konečné poloze myši. Změna vnitřního posunu, když pohybujeme myší po uzavřené dráze na podložce pod myš, je torze.

Další hrubá analogie: Představte si krystal s liniovými vadami ( dislokace hran a dislokace šroubů, ale ne disklinace ). Paralelní transport bodu M po dráze je dán počítáním počtu (křížových) vazeb (nahoru/dolů, dopředu/dozadu a doleva/doprava). The hamburgery vektoru odpovídá kroucení. Zakřivení odpovídá zakřivení, a proto jsou vynechána.

Torze , tj. Síla translačního pole Teleparallel Gravity (nebo translační „zakřivení“),

{\ Displaystyle {T^{a}} _ {\ mu \ nu} \ equiv \ left (DB^{a} \ right) _ {\ mu \ nu} = D _ {\ mu} {B^{a}} _ {\ nu} -D _ {\ nu} {B^{a}} _ {\ mu},}

je měřidlo neměnné.

Samozřejmě si můžeme vždy vybrat měřidlo, kde $x a$ je všude nula (problém však; $M p$ je afinní prostor a také vlákno, a tak musíme definovat původ na základě bodu po bodu, ale toto může vždy být provedeno libovolně) a to nás přivádí zpět k teorii, kde je tetrad zásadní.

Teleparallelism označuje jakoukoli teorii gravitace založenou na tomto rámci. Existuje konkrétní volba akce, která ji činí přesně ekvivalentní obecné relativitě, ale existují i další volby akce, které nejsou ekvivalentní GR. V některých z těchto teorií neexistuje ekvivalence mezi setrvačnými a gravitačními hmotami .

Na rozdíl od GR není gravitace způsobena zakřivením časoprostoru. Je to kvůli torzi.

Negravitační souvislosti

Existuje blízká analogie geometrie časoprostoru se strukturou defektů v krystalu. Dislokace jsou reprezentovány torzí, disklinace zakřivením. Tyto vady nejsou na sobě nezávislé. Dislokace je ekvivalentní dvojici disklinace-antidisclinace, diskriminaci odpovídá řetězci dislokací. To je základní důvod, proč lze Einsteinovu teorii založenou čistě na zakřivení přepsat jako teleparalelní teorii založenou pouze na torzi. Kromě toho existuje nekonečně mnoho způsobů přepisování Einsteinovy teorie, v závislosti na tom, jak velkou část zakřivení chce člověk vyjádřit z hlediska torze, přičemž teleparalelní teorie je pouze jednou jejich konkrétní verzí.

K další aplikaci teleparallelismu dochází v kvantové teorii pole, jmenovitě dvourozměrných nelineárních sigma modelů s cílovým prostorem na jednoduchých geometrických varietách, jejichž chování při renormalizaci je řízeno Ricciho tokem , který zahrnuje torzi . Tato torze modifikuje Ricciho tenzor, a proto vede k infračervenému pevnému bodu pro spojku, z důvodu teleparallelismu („geometrostázy“).

Viz také

Reference

Další čtení

Bishop, RL ; Goldberg, SI (1968). Tensorová analýza na rozdělovačích (First Dover 1980 ed.). Macmillan. ISBN 978-0-486-64039-6.
Weitzenböck, R. (1923). Invariantentheorie . Groningen: Noordhoff.
Aldrovandi, R .; Pereira, JG (2012). Teleparallel Gravity: Úvod . Springer: Dordrecht. ISBN 978-94-007-5142-2.

Languages

In other projects