Formulář připojení - Connection form

V matematice a konkrétně diferenciální geometrii je forma spojení způsob organizace dat spojení pomocí jazyka pohyblivých rámců a diferenciálních forem .

Historicky byly formy připojení zavedeny Élie Cartanem v první polovině 20. století jako součást a jedna z hlavních motivací jeho metody pohybujících se rámců. Forma připojení obecně závisí na volbě souřadnicového rámce , a nejedná se tedy o tenzorový objekt. Po Cartanově počátečním díle byly formulovány různé zobecnění a reinterpretace formy spojení. Zejména na hlavním svazku , je hlavní spojení je přírodní přehodnocení spojovacího formě jako tenzorovostí objektu. Na druhé straně má forma spojení tu výhodu, že jde o diferenciální formu definovanou na diferencovatelném potrubí , spíše než na abstraktním principiálním svazku nad ním. Navzdory jejich nedostatečné tenzuralitě se proto stále používají formuláře připojení, protože je s nimi relativně snadné provádět výpočty. Ve fyzice se spojovací formy také široce používají v kontextu teorie měřidel prostřednictvím měřidla kovariantní derivace .

A spojení forma přidružených ke každému základě jednoho vektoru svazek je matice diferenciálních forem. Formulář připojení není tenzorový, protože na základě změny základu , spojení tvoří transformace způsobem, který zahrnuje vnější derivát z přechodových funkcí , v podstatě stejným způsobem jako symboly Christoffelovy pro připojení Levi-Civita . Hlavní tenzorovou invariancí formy spojení je forma zakřivení . V přítomnosti pájecí formy identifikující svazek vektorů s tečným svazkem existuje další invariant: torzní forma . V mnoha případech jsou formy připojení zvažovány na vektorových svazcích s další strukturou: svazku vláken se skupinou struktur .

Vektorové svazky

Rámečky na vektorovém svazku

Nechť E být vektor svazek o rozměru vláken k průběhu diferencovatelné potrubí M . Lokální rám pro E je uspořádaná východisko z místních sekcí v E . Vždy je možné zkonstruovat místní rámec, protože vektorové svazky jsou vždy definovány z hlediska místních trivializací , analogicky k atlasu sběrného potrubí. To znamená, že vzhledem k jakémukoli bodu x na základním potrubí M existuje otevřené sousedství U ⊂ M z x, pro které je vektorový svazek přes U izomorfní s prostorem U × R ^k : toto je místní trivializace. Struktura vektorový prostor na R ^k tak může být rozšířena na celý místní trivializací a základ, na R ^k může být rozšířen i; toto definuje místní rámec. (Zde má R znamenat skutečná čísla ℝ, i když velká část vývoje zde může být rozšířena na moduly přes prstence obecně a zejména na vektorové mezery nad komplexními čísly ℂ.)

Nechť e = ( e _alfa ) _{alfa = 1,2, ..., k} být místní rám na E . Tento rám může být použit pro expresi místně jakoukoli část E . Předpokládejme například, že ξ je lokální sekce definovaná ve stejné otevřené sadě jako rámec e . Pak

${\ Displaystyle \ xi = \ sum _ {\ alpha = 1} ^{k} e _ {\ alpha} \ xi ^{\ alpha} (\ mathbf {e})}$

kde £, ^alfa ( e ) označuje složky z £ v rámu e . Jako maticová rovnice to zní

${\ Displaystyle \ xi = {\ mathbf {e}} {\ begin {bmatrix} \ xi ^{1} (\ mathbf {e}) \\\ xi ^{2} (\ mathbf {e}) \\\ vdots \\\ xi ^{k} (\ mathbf {e}) \ end {bmatrix}} = {\ mathbf {e}} \, \ xi (\ mathbf {e})}$

V obecné relativitě jsou taková rámcová pole označována jako tetrady . Tetrad specificky vztahuje lokální rámec na explicitní souřadnicový systém na základním potrubí M (souřadnicový systém na M je stanoven atlasem).

Externí připojení

Spojení v E je druh diferenciální operátor

${\ Displaystyle D: \ Gamma (E) \ rightarrow \ Gamma (E \ otimes \ Omega ^{1} M)}$

kde Γ označuje svazek místních úsecích vektorového svazku, a Ω ¹ M je svazek diferenciálních 1 forem na M . Aby D bylo spojení, musí být správně spojeno s externím derivátem . Konkrétně, pokud v je místní část E a f je hladká funkce, pak

${\ Displaystyle D (fv) = v \ otimes (df)+fDv}$

kde df je vnější derivace f .

Někdy je vhodné rozšířit definici D na libovolné E -hodnocené formy , a považovat ji tedy za diferenciální operátor na tenzorovém součinu E s plnou vnější algebrou diferenciálních forem. Vzhledem k externímu připojení D, které splňuje tuto vlastnost kompatibility, existuje jedinečné rozšíření D :

${\ Displaystyle D: \ Gamma (E \ otimes \ Omega ^{*} M) \ rightarrow \ Gamma (E \ otimes \ Omega ^{*} M)}$

takové to

${\ Displaystyle D (v \ wedge \ alpha) = (Dv) \ wedge \ alpha +(-1)^{{\ text {deg}} \, v} v \ wedge d \ alpha}$

kde v je homogenní stupně deg v . Jinými slovy, D je derivace na svazku odstupňovaných modulů Γ ( E ⊗ Ω ^* M ).

Formuláře připojení

Forma spojení vzniká při použití vnějšího spojení na konkrétní rám e . Po aplikaci vnějšího spojení na e _α je to jedinečná matice k × k ( ω _α ^β ) jednoformových na M tak, že

${\ Displaystyle De _ {\ alpha} = \ sum _ {\ beta = 1}^{k} e _ {\ beta} \ otimes \ omega _ {\ alpha}^{\ beta}.}$

Pokud jde o formu připojení, lze nyní vyjádřit vnější spojení jakékoli části E. Předpokládejme například, že ξ = Σ _α e _α ξ ^α . Pak

${\ Displaystyle D \ xi = \ sum _ {\ alpha = 1} ^{k} D (e _ {\ alpha} \ xi ^{\ alpha} (\ mathbf {e})) = \ sum _ {\ alpha = 1}^{k} e _ {\ alpha} \ otimes d \ xi^{\ alpha} (\ mathbf {e})+\ sum _ {\ alpha = 1}^{k} \ sum _ {\ beta = 1 }^{k} e _ {\ beta} \ otimes \ omega _ {\ alpha}^{\ beta} \ xi^{\ alpha} (\ mathbf {e}).}$

Vezmeme -li součásti na obou stranách,

${\ Displaystyle D \ xi (\ mathbf {e}) = d \ xi (\ mathbf {e})+\ omega \ xi (\ mathbf {e}) = (d+\ omega) \ xi (\ mathbf {e} )}$

kde se rozumí, že d a ω odkazují na komponentní derivát s ohledem na rámec e , respektive matici 1-forem, působící na složky ξ . Naopak matice 1 forem ω je a priori dostačující k úplnému určení spojení lokálně na otevřené sadě, nad kterou je definován základ sekcí e .

Změna rámu

Aby bylo možné rozšířit ω na vhodný globální objekt, je nutné prozkoumat, jak se chová, když je zvolen jiný výběr základních sekcí E. Napište ω _α ^β = ω _α ^β ( e ), abyste označili závislost na volbě e .

Předpokládejme, že e 'je jiný výběr místní základny. Pak existuje invertibilní k × k matice funkcí g taková, že

${\ Displaystyle {\ mathbf {e}} '= {\ mathbf {e}} \, g, \ quad {\ text {ie,}} \, e' _ {\ alpha} = \ sum _ {\ beta} e _ {\ beta} g _ {\ alpha}^{\ beta}.}$

Použití vnějšího spojení na obě strany dává transformační zákon pro ω :

${\ Displaystyle \ omega (\ mathbf {e} \, g) = g^{-1} dg+g^{-1} \ omega (\ mathbf {e}) g.}$

Zejména si všimněte , že ω se nepodaří transformovat v tenzoru , protože pravidlo pro přechod z jednoho rámce do druhého zahrnuje deriváty přechodové matice g .

Globální formy připojení

Pokud { U _p } je otevřená zakrytí M a každá U _p je vybaven Trivializace e _p o E , pak je možné definovat globální formu spojení, pokud jde o záplatování dat mezi místními formy připojení k překrytí regiony. Podrobně, forma připojení na M je systém matic ω ( e _p ) 1 forem definovaných na každém U _p, které splňují následující podmínku kompatibility

${\ Displaystyle \ omega (\ mathbf {e} _ {q}) = (\ mathbf {e} _ {p}^{-1} \ mathbf {e} _ {q})^{-1} d (\ mathbf {e} _ {p}^{-1} \ mathbf {e} _ {q})+(\ mathbf {e} _ {p}^{-1} \ mathbf {e} _ {q})^ {-1} \ omega (\ mathbf {e} _ {p}) (\ mathbf {e} _ {p}^{-1} \ mathbf {e} _ {q}).}$

Tato podmínka kompatibility zajišťuje zejména to, že vnější připojení části E , pokud je považováno abstraktně za sekci E ⊗ Ω ¹ M , nezávisí na výběru základního úseku použitého k definování spojení.

Zakřivení

Zakřivení dvě formy z formy připojení v E je definován

${\ Displaystyle \ Omega (\ mathbf {e}) = d \ omega (\ mathbf {e})+\ omega (\ mathbf {e}) \ klín \ omega (\ mathbf {e}).}$

Na rozdíl od formy připojení se zakřivení chová tenzory pod změnou rámce, kterou lze zkontrolovat přímo pomocí Poincaré lemmatu . Konkrétně, pokud e → e g je změna rámce, pak se zakřivení ve dvou formách transformuje o

${\ Displaystyle \ Omega (\ mathbf {e} \, g) = g^{-1} \ Omega (\ mathbf {e}) g.}$

Jeden výklad tohoto transformačního zákona je následující. Nechť e ^* je dvojí základ odpovídající rámci e . Pak 2-forma

${\ Displaystyle \ Omega = {\ mathbf {e}} \ Omega (\ mathbf {e}) {\ mathbf {e}}^{*}}$

je nezávislá na volbě rámu. Zejména Ω je vektorová hodnota ve dvou formách na M s hodnotami v kruhu endomorfismu Hom ( E , E ). Symbolicky,

${\ Displaystyle \ Omega \ in \ Gamma (\ Omega ^{2} M \ otimes {\ text {Hom}} (E, E)).}$

Z hlediska vnějšího spojení D je endomorfismus zakřivení dán vztahem

${\ Displaystyle \ Omega (v) = D (Dv) = D^{2} v \,}$

pro v ∈ E . Zakřivení tedy měří selhání sekvence

${\ Displaystyle \ Gamma (E) \ {\ stackrel {D} {\ to}} \ \ Gamma (E \ otimes \ Omega ^{1} M) \ {\ stackrel {D} {\ to}} \ \ Gamma (E \ otimes \ Omega ^{2} M) \ {\ stackrel {D} {\ to}} \ \ dots \ {\ stackrel {D} {\ to}} \ \ Gamma (E \ otimes \ Omega ^{ n} (M))}$

být řetězovým komplexem (ve smyslu de Rhamovy cohomologie ).

Pájení a kroucení

Předpokládejme, že rozměr vlákna k z E se rovná rozměru potrubí M . V tomto případě je vektorový svazek E někdy kromě svého připojení vybaven ještě dalším datem: forma pájky . Pájka forma je globálně definovaný vektor s hodnotou jedna forma θ ∈ W ¹ ( M , E ) tak, že mapování

${\ displaystyle \ theta _ {x}: T_ {x} M \ rightarrow E_ {x}}$

je lineární izomorfismus pro všechna x ∈ M . Pokud je uvedena forma pájky, pak je možné definovat kroucení spojení (pokud jde o vnější spojení) jako

${\ Displaystyle \ Theta = D \ theta. \,}$

Torzní Θ je E cenil 2-formy na M .

Pájecí formu a spojený torzní může být jak je popsáno v, pokud jde o místní rámu e z E . Pokud θ je forma pájky, pak se rozloží na součásti rámu

${\ Displaystyle \ theta = \ sum _ {i} \ theta ^{i} (\ mathbf {e}) e_ {i}.}$

Složky torze jsou pak

${\ Displaystyle \ Theta ^{i} (\ mathbf {e}) = d \ theta ^{i} (\ mathbf {e})+\ sum _ {j} \ omega _ {j} ^{i} (\ mathbf {e}) \ klín \ theta ^{j} (\ mathbf {e}).}$

Stejně jako zakřivení lze ukázat, že Θ se při změně rámce chová jako kontravariantní tenzor :

${\ Displaystyle \ Theta ^{i} (\ mathbf {e} \, g) = \ sum _ {j} g_ {j} ^{i} \ Theta ^{j} (\ mathbf {e}).}$

Torzi nezávislou na rámu lze také obnovit z komponent rámu:

${\ Displaystyle \ Theta = \ sum _ {i} e_ {i} \ Theta ^{i} (\ mathbf {e}).}$

Bianchi identity

Tyto Bianchi identity se týkají torzní zakřivení. První identita Bianchi to uvádí

${\ Displaystyle D \ Theta = \ Omega \ wedge \ theta}$

zatímco druhá identita Bianchi to uvádí

${\ displaystyle \, D \ Omega = 0.}$

Příklad: připojení Levi-Civita

Předpokládejme například, že M nese riemannianskou metriku . Pokud má jeden vektorový svazek E nad M , pak lze metriku rozšířit na celý vektorový svazek jako metriku svazku . Potom lze definovat připojení, které je kompatibilní s touto metrikou balíčku, toto je metrické připojení . Pro zvláštní případ, kdy E je tangentový svazek TM , se metrické spojení nazývá Riemannianovo spojení . Vzhledem k Riemannianovu spojení lze vždy najít jedinečné, ekvivalentní spojení, které není zkroucené . Jedná se o spojení Levi-Civita na svazku tangenty TM z M .

Místní rámec na svazku tečen je uspořádaný seznam vektorových polí e = ( e _i | i = 1, 2, ..., n ) , kde n = dim M , definováno na otevřené podmnožině M, které jsou lineárně nezávislé v každém bodě jejich domény. Symboly Christoffel definují připojení Levi-Civita podle

${\ Displaystyle \ nabla _ {e_ {i}} e_ {j} = \ sum _ {k = 1}^{n} \ Gamma _ {ij}^{k} (\ mathbf {e}) e_ {k} .}$

Pokud θ = { θ ⁱ | i = 1, 2, ..., n }, označuje dvojí základ z cotangent svazku tak, že θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j (dále Kroneckerovo delta ), pak se spojení forma je

${\ Displaystyle \ omega _ {i} ^{j} (\ mathbf {e}) = \ sum _ {k} \ Gamma ^{j} {} _ {ki} (\ mathbf {e}) \ theta ^{ k}.}$

Pokud jde o formu připojení, vnější spojení na vektorovém poli v = Σ _i e _i v ⁱ je dáno vztahem

${\ Displaystyle Dv = \ sum _ {k} e_ {k} \ otimes (dv^{k})+\ sum _ {j, k} e_ {k} \ otimes \ omega _ {j}^{k} ( \ mathbf {e}) v^{j}.}$

Z tohoto lze obnovit připojení Levi-Civita v obvyklém smyslu uzavřením smlouvy s e _i :

${\ Displaystyle \ nabla _ {e_ {i}} v = \ langle Dv, e_ {i} \ rangle = \ sum _ {k} e_ {k} \ left (\ nabla _ {e_ {i}} v^{ k}+\ sum _ {j} \ Gamma _ {ij}^{k} (\ mathbf {e}) v^{j} \ right)}$

Zakřivení

Zakřivená 2-forma spojení Levi-Civita je matice (Ω _i ^j ) daná vztahem

${\ displaystyle \ Omega _ {i} {}^{j} (\ mathbf {e}) = d \ omega _ {i} {}^{j} (\ mathbf {e})+\ sum _ {k} \ omega _ {k} {}^{j} (\ mathbf {e}) \ klín \ omega _ {i} {}^{k} (\ mathbf {e}).}$

Pro jednoduchost předpokládejme, že rámec e je holonomický , takže dθ ⁱ = 0 . Poté, když nyní použijeme konvenci součtu pro opakované indexy,

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ Omega _ {i} {} ^{j} & = d (\ Gamma ^{j} {} _ {qi} \ theta ^{q})+(\ Gamma ^{j} {} _ {pk} \ theta ^{p}) \ klín (\ Gamma ^{k} {} _ {qi} \ theta ^{q}) \\ & \\ & = \ theta ^ {p} \ wedge \ theta ^{q} \ left (\ partial _ {p} \ Gamma ^{j} {} _ {qi}+\ Gamma ^{j} {} _ {pk} \ Gamma ^{k } {} _ {qi}) \ right) \\ & \\ & = {\ tfrac {1} {2}} \ theta ^{p} \ wedge \ theta ^{q} R_ {pqi} {} ^{ j} \ end {array}}}$

kde R je tenzor Riemannova zakřivení .

Kroucení

Připojení Levi-Civita je charakterizováno jako jedinečné metrické spojení v tangenciálním svazku s nulovým kroucením. Chcete -li popsat torzi, všimněte si, že vektorový svazek E je tangentový svazek. To s sebou nese kanonický pájecí formulář (někdy nazývaný kanonický jedna forma , a to zejména v rámci klasické mechaniky ), která je část θ z Hom (T M , T M ) = T ^* M ⊗ T M odpovídající identity endomorphism tečné prostory. V rámci e je forma pájky {{{1}}} , kde opět θ ⁱ je duální základ.

Torze spojení je dána vztahem Θ = Dθ , nebo pokud jde o součásti rámu pájky

${\ Displaystyle \ Theta ^{i} (\ mathbf {e}) = d \ theta ^{i}+\ sum _ {j} \ omega _ {j} ^{i} (\ mathbf {e}) \ klín \ theta ^{j}.}$

Za předpokladu, že pro jednoduchost je e holonomní, tento výraz se sníží na

${\ Displaystyle \ Theta ^{i} = \ Gamma ^{i} {} _ {kj} \ theta ^{k} \ wedge \ theta ^{j}}$,

který zaniká právě tehdy, když Γ ⁱ _kj je symetrický na svých nižších indexech.

Vzhledem k metrickému spojení s torzí lze jednou vždy najít jediné, jedinečné spojení bez torze, toto je spojení Levi-Civita. Rozdíl mezi riemannianským spojením a jeho přidruženým spojením Levi-Civita je tenzor zkřivení .

Skupiny struktur

Specifičtější typ formy připojení lze zkonstruovat, když vektorový balíček E nese skupinu struktur . To představuje přednostní třídu rámů e na E , které jsou příbuzné prostřednictvím Lie skupinou G . Například za přítomnosti metriky v E pracuje s rámečky, které tvoří ortonormální základ v každém bodě. Skupina struktur je potom ortogonální skupina , protože tato skupina zachovává ortonormalitu rámců. Mezi další příklady patří:

• Obvyklé rámy, považované v předchozí části, mají strukturální GL skupiny ( K ), kde k je rozměr vlákna E .
• Holomorfní tangenciální svazek komplexního potrubí (nebo téměř komplexního potrubí ). Zde je strukturní skupina GL _n ( C ) ⊂ GL _2n ( R ). V případě, že je dána hermitická metrika , pak se skupina struktur redukuje na unitární skupinu působící na unitární rámce.
• Spinory na sběrném potrubí vybaveném spinovou strukturou . Rámce jsou jednotné s ohledem na invariantní vnitřní produkt v rotačním prostoru a skupina se redukuje na spinovou skupinu .
• Holomorfní tangentové svazky na CR potrubí .

Obecně nechť E je daný vektorový svazek dimenze vláken k a G ⊂ GL ( k ) daná Lieova podskupina obecné lineární skupiny R ^k . Je-li ( e _α ) lokální rámec E , pak funkce s hodnotou matice ( g _i ^j ): M → G může působit na e _α za vzniku nového rámce

${\ displaystyle e _ {\ alpha} '= \ sum _ {\ beta} e _ {\ beta} g _ {\ alpha}^{\ beta}.}$

Dvě takové snímky jsou G -příbuzné . Neformálně vektor svazek E má strukturu G -bundle , je-li zadán výhodná třída rámů, z nichž všechny jsou v místě G by tudíž k sobě navzájem. Formálně je E svazek vláken se strukturní skupinou G, jehož typickým vláknem je R ^k s přirozeným působením G jako podskupiny GL ( k ).

Kompatibilní připojení

Připojení je kompatibilní se strukturou G -svazku na E za předpokladu, že přidružené mapy paralelního přenosu vždy odesílají jeden G -rámec do druhého. Formálně podél křivky γ musí lokálně platit (tj. Pro dostatečně malé hodnoty t ):

${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {0}^{t} e _ {\ alpha} (\ gamma (0)) = \ sum _ {\ beta} e _ {\ beta} (\ gamma (t)) g_ {\ alpha}^{\ beta} (t)}$

pro nějakou matici g _α ^β (která může také záviset na t ). Diferenciace při t = 0 dává

${\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (0)} e _ {\ alpha} = \ sum _ {\ beta} e _ {\ beta} \ omega _ {\ alpha}^{\ beta} ( {\ dot {\ gamma}} (0))}$

kde koeficienty omega _alfa ^beta jsou v algebry lži g spočívají skupiny G .

S tímto pozorováním forma spojení ω _α ^β definovaná

${\ Displaystyle De _ {\ alpha} = \ sum _ {\ beta} e _ {\ beta} \ otimes \ omega _ {\ alpha}^{\ beta} (\ mathbf {e})}$

je kompatibilní se strukturou, pokud matice jednotvarů ω _α ^β ( e ) nabývá hodnot v g .

Zakřivená forma kompatibilního připojení je navíc g -hodnocená dvouformátová.

Změna rámu

Pod změnou rámu

${\ displaystyle e _ {\ alpha} '= \ sum _ {\ beta} e _ {\ beta} g _ {\ alpha}^{\ beta}}$

kde g je funkce s hodnocením G definovaná na otevřené podmnožině M , forma připojení se transformuje pomocí

${\ Displaystyle \ omega _ {\ alpha}^{\ beta} (\ mathbf {e} \ cdot g) = (g^{-1}) _ {\ gamma}^{\ beta} dg _ {\ alpha}^ {\ gamma}+(g^{-1}) _ {\ gamma}^{\ beta} \ omega _ {\ delta}^{\ gamma} (\ mathbf {e}) g _ {\ alpha}^{\ delta}.}$

Nebo pomocí maticových produktů:

${\ Displaystyle \ omega ({\ mathbf {e}} \ cdot g) = g^{-1} dg+g^{-1} \ omega g.}$

Chcete -li interpretovat každý z těchto výrazů, připomeňte, že g  : M → G je funkce s hodnocením G (lokálně definovaná). S tímto vědomím,

${\ Displaystyle \ omega ({\ mathbf {e}} \ cdot g) = g^{*} \ omega _ {\ mathfrak {g}}+{\ text {Ad}} _ {g^{-1}} \ omega (\ mathbf {e})}$

kde ω _g je forma Maurer-Cartan pro skupinu G , zde zdvihne do M podél funkce g , a Ad je adjoint reprezentace z G na jeho algebry lži.

Hlavní svazky

Forma připojení, jak byla dosud zavedena, závisí na konkrétní volbě rámce. V první definici je rámec pouze místním základem řezů. Ke každému rámci je přiřazen formulář spojení s transformačním zákonem pro přechod z jednoho rámce do druhého. Ve druhé definici rámce samy nesou nějakou další strukturu poskytovanou Lieovou skupinou a změny rámce jsou omezeny na ty, které v nich berou své hodnoty. Jazyk hlavních svazků, jehož průkopníkem byl Charles Ehresmann ve čtyřicátých letech minulého století, poskytuje způsob organizace těchto mnoha forem spojení a transformačních zákonů, které je spojují do jediné vnitřní formy s jediným pravidlem transformace. Nevýhodou tohoto přístupu je, že formy již nejsou definovány na samotném sběrném potrubí, ale spíše na větším hlavním svazku.

Hlavní připojení pro formulář připojení

Předpokládejme, že E → M je vektor svazek s struktury skupiny G . Nechť { U } být otevřený kryt M , spolu s G rámečky na každém U , označený e _U . Ty souvisejí na průsečících překrývajících se otevřených množin podle

${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {V} = {\ mathbf {e}} _ {U} \ cdot h_ {UV}}$

pro některé G cenil funkce h _UV definovaný na U ∩ V .

Nechť F _G E je množina všech G rámečky převzal každého bodu M . To je hlavní G -bundle přes M . Podrobně, s využitím skutečnosti, že G -rámce jsou všechny G -související, F _G E lze realizovat z hlediska lepení dat mezi sadami otevřeného krytu:

${\ Displaystyle F_ {G} E = \ left. \ coprod _ {U} U \ times G \ right/\ sim}$

kde vztah ekvivalence je definován pomocí ${\ displaystyle \ sim}$

${\ Displaystyle ((x, g_ {U}) \ in U \ times G) \ sim ((x, g_ {V}) \ in V \ times G) \ iff {\ mathbf {e}} _ {V} = {\ mathbf {e}} _ {U} \ cdot h_ {UV} {\ text {and}} g_ {U} = h_ {UV}^{-1} (x) g_ {V}.}$

Na F _G E definujte hlavní G -připojení následovně, zadáním g -hodnocené jednotné formy na každém produktu U × G , která respektuje vztah ekvivalence v oblastech překrytí. Nejprve nech

${\ Displaystyle \ pi _ {1}: U \ times G \ to U, \ quad \ pi _ {2}: U \ times G \ to G}$

být projekční mapy. Nyní pro bod ( x , g ) ∈ U × G nastavte

${\ Displaystyle \ omega _ {(x, g)} = Ad_ {g^{-1}} \ pi _ {1}^{*} \ omega (\ mathbf {e} _ {U})+\ pi _ {2}^{*} \ omega _ {\ mathbf {g}}.}$

Ω 1-forma je postavena Takto ohledech přechody mezi překrývajícími se soubory, a proto klesá, čímž se získá globálně definovaný 1-formulář na hlavní svazku F _G E . To může být prokázáno, že ω je hlavní spojení v tom smyslu, že se reprodukuje generátory pravé G působení na F _G E , a equivariantly proplétá správné působení na T (F _G E ) s adjoint zastoupením G .

Formuláře připojení přidružené k hlavnímu připojení

Naopak hlavní G -připojením ω v hlavní G -bundle P → M vede ke sbírce spojovacích forem na M . Předpokládejme, že e  : M → P je místní část P . Potom zpětný tah ω podél e definuje jednohodnotový g -hodnocený na M :

${\ displaystyle \ omega ({\ mathbf {e}}) = {\ mathbf {e}}^{*} \ omega.}$

Při změně rámců pomocí G -hodnocené funkce g vidíme, že ω ( e ) se transformuje požadovaným způsobem pomocí Leibnizova pravidla a přídavku:

${\ Displaystyle \ langle X, ({\ mathbf {e}} \ cdot g)^{*} \ omega \ rangle = \ langle [d (\ mathbf {e} \ cdot g)] (X), \ omega \ rangle}$

kde X je vektor na M a d označuje posun vpřed .

Viz také

• Připojení Ehresmann
• Kartanové připojení
• Afinní spojení
• Zakřivená forma

Poznámky

Reference

• Chern, S.-S., Topics in Differential Geometry , Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951.
• Chern SS; Moser, JK (1974), „Skutečné hyperplochy ve složitých potrubích“, Acta Math. , 133 : 219–271, doi : 10,1007/BF02392146
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1978), Principy algebraické geometrie , John Wiley a synové, ISBN 0-471-05059-8
• Jost, Jürgen (2011), Riemannian geometry and geometric analysis (PDF) , Universitext (Sixth ed.), Springer, Heidelberg, doi : 10.1007/978-3-642-21298-7 , ISBN 978-3-642-21297-0, MR  2829653
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15732-5
• Spivak, Michael (1999), Komplexní úvod do diferenciální geometrie (svazek 2) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
• Spivak, Michael (1999), Komplexní úvod do diferenciální geometrie (svazek 3) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-72-1
• Wells, RO (1973), Diferenciální analýza komplexních variet , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0
• Wells, RO (1980), Diferenciální analýza komplexních potrubí , Prentice – Hall