Trapezohedron - Trapezohedron
| Sada dvou uniformních n -gonálních lichoběžníků | |
|---|---|
 Příklad duálně uniformního pětiúhelníkového lichoběžníku |
|
| Typ | duální- uniformní ve smyslu dvoj semiregulárního mnohostěnu |
| Conwayova notace | dA n |
| Symbol Schläfli | {} ⨁ { n } |
| Coxeterovy diagramy |
   
|
| Tváře | 2 n shodní draci |
| Hrany | 4 n |
| Vrcholy | 2 n + 2 |
| Konfigurace obličeje | V3.3.3. n |
| Skupina symetrie | D n d , [2 + , 2 n ], (2* n ), pořadí 4 n |
| Rotační skupina | D n , [2, n ] + , (22 n ), řád 2 n |
| Duální mnohostěn | (konvexní) uniformní n -gonální antiprism |
| Vlastnosti | konvexní , obličejově tranzitivní , pravidelné vrcholy |
N -gonal trapezohedron , antidipyramid , antibipyramid nebo deltohedron je dvojí polyhedron z n -gonal antiprism . 2 n tváře n -trapézohedronu jsou shodné a symetricky rozloženy; říká se jim zkroucení draci . S vyšší symetrií jsou jeho 2 n plochy draky (nazývané také lichoběžníky nebo delt o ids ).
N Gon část názvu neodkazuje na tvářích tady, ale na dvě uspořádání každé n vrcholů kolem osy n -násobnou symetrie. Duální n -gonální antiprism má dvě skutečné n -gonální tváře.
N -gonal trapezohedron mohou být vyříznuty na dvě stejné n -gonal pyramidy a n -gonal antiprism .
název
Tyto postavy, někdy nazývané delt o hedra, nesmí být zaměňovány s delt a hedra , jejichž tváře jsou rovnostranné trojúhelníky.
Zkroucený trigonální trapezohedron (se šesti kroucenými lichoběžníkovými plochami) a zkroucené tetragonální trapezohedron (s osmi kroucenými lichoběžníkovými plochami), existují ve formě krystalů; V krystalografie (popisující křišťálové návyky z minerálů ), oni jsou jen volal trigonální trapezohedron a tetragonální trapezohedron . Nemají rovinu symetrie ani střed symetrie. Trigonální lichoběžník má jednu 3násobnou osu symetrie, kolmou na tři 2násobné osy symetrie. Tetragonální lichoběžník má jednu 4násobnou osu symetrie, kolmou na čtyři 2násobné osy symetrie.
Také v krystalografii je slovo lichoběžník často používáno pro mnohostěn s 24 lichoběžníkovými plochami správně známými jako (deltoidální) icositetrahedron . Další mnohostěn s 12 lichoběžníkovými plochami je známý jako deltoidní dvanáctistěn .
Symetrie
Symetrie skupina AN n -gonal trapezohedron je D n d , řádu 4 n , s výjimkou v případě, že n = 3: krychle má větší symetrie skupina O d řádu 48 = 4 x (4 x 3), který má čtyři verze D 3d jako podskupiny.
Skupina rotace z n -trapezohedron je D n , řádově 2 n , s výjimkou v případě, že n = 3: krychle má větší rotace skupina O řádu 24 = 4 x (2 x 3), který má čtyři verze z D 3 jako podskupiny.
Jeden stupeň volnosti v rámci symetrie od D n d (řád 4 n ) do D n (řád 2 n ) mění kongruentní draky na shodné čtyřúhelníky se třemi délkami hran, nazývané zkroucené draky , a n -trapézohedron se nazývá zkroucený lichoběžník . (V limitu jde jeden okraj každého čtyřúhelníku do nulové délky a n -trapézový hranol se stane n -bipyramidem .)
Pokud draci obklopující dva vrcholy nejsou zkroucení, ale mají dva různé tvary, n -trapezohedron může mít pouze symetrii C n v (cyklická se svislými zrcadly), řád 2 n , a nazývá se nerovný nebo asymetrický lichoběžník . Jeho duál je nerovný n-antiprism , s horním a dolním polygonem různých poloměrů.
Pokud jsou draci stočení a mají dva různé tvary, n -trapezohedron může mít pouze C n (cyklickou) symetrii, pořadí n , a nazývá se nerovný zkroucený lichoběžník .
| Trapézový typ | Zkroucený lichoběžník | Nerovný lichoběžník | Nerovný pokroucený lichoběžník | |
|---|---|---|---|---|
| Skupina symetrie | D 6 , (662), [6,2] + | C 6v , (*66), [6] | C 6 , (66), [6] + | |
| Mnohostěnný obrázek |
|
|
|
|
| Síť |
|
|
|
|
formuláře
N -trapezohedron má 2 n čtyřstranné plochy, s 2 n +2 vrcholy. Dva vrcholy jsou na polární ose a ostatní vrcholy jsou ve dvou pravidelných n -gonálních prstencích vrcholů.
| Trapezohedron name | Digonální lichoběžník ( čtyřstěn ) |
Trigonální lichoběžník | Tetragonální lichoběžník | Pětiúhelníkový lichoběžník | Šestihranný lichoběžník | Sedmiúhelníkový lichoběžník | Osmiboký lichoběžník | Decagonální lichoběžník | Dodecagonální lichoběžník | ... | Apeirogonální lichoběžník |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Mnohostěnný obrázek |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... | |
| Sférický obkladový obrázek |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Obraz obkládající rovinu |
|
| Konfigurace obličeje | V2.3.3.3 | V3.3.3.3 | V4.3.3.3 | V5.3.3.3 | V6.3.3.3 | V7.3.3.3 | V8.3.3.3 | V10.3.3.3 | V12.3.3.3 | ... | V∞.3.3.3 |
Speciální případy:
- n = 2. Degenerovaná forma lichoběžníku: geometrický čtyřstěn se 6 vrcholy, 8 hranami a 4 degenerovanými plochami draků, které jsou zdegenerované d do trojúhelníků. Jeho duál je degenerovaná forma antiprismu : také čtyřstěn.
-
n = 3. Dvojník trojúhelníkového antiprismu : draci jsou kosočtverci (nebo čtverce); proto jsou tyto lichoběžníky také zonohedry . Říká se jim rhombohedra . Jsou to kostky zmenšené ve směru tělesné úhlopříčky. Jsou také rovnoběžnostěny se shodnými kosočtverečnými tvářemi.
60 ° kosočtverec, členitý do centrálního pravidelného osmistěnu a dvou pravidelných čtyřstěnů- Zvláštním případem kosočtverce je případ, kdy kosočtverci tvořící tváře mají úhly 60 ° a 120 °. Lze jej rozložit na dva stejné pravidelné čtyřstěny a pravidelné osmistěny . Vzhledem k tomu, že rovnoběžnostěni mohou zaplnit prostor , může to být také kombinace pravidelných čtyřstěnů a pravidelných osmistěnů .
Příklady
- Krystalová uspořádání atomů se mohou v prostoru opakovat s trigonálními a hexagonálními lichoběžníkovými buňkami.
- Pětiúhelníkové trapezohedron je jediným mnohostěn jiné než platonické pevné látky běžně používané jako matrici v roleplaying hry , jako je Dungeons & Dragons . S 10 stranami může být použito v opakování ke generování libovolné požadované desetinné jednotné pravděpodobnosti . Dvě kostky různých barev se obvykle používají pro dvě číslice představovat čísla od 00 do 99.
Hvězdný lichoběžník
Tváří tranzitivnı hvězda p / q -trapezohedron je definován jako pravidelný cik-cak zešikmení hvězda 2 p / q gon základny, dvě symetrické vrcholy s žádným stupněm volnosti vpravo nad a přímo pod dnem a drak tváře spojovací každý pár sousedních hran základny k jednomu vrcholu.
Taková hvězda p / q -trapezohedron je samo-protínající , zkřížené , nebo non-konvexní tvar. Existuje pro jakoukoli pravidelnou cik -cak šikmou hvězdu 2 p / q -gonovou základnu; ale pokud p / q <3/2, pak p - q < q /2, takže dvojhvězdný antiprism (hvězdicového lichoběžníku) nemůže být jednotný (tj .: nemůže mít stejné délky hran); a pokud p / q = 3/2, pak p - q = q /2, takže antihranol se dvěma hvězdami musí být plochý, tedy degenerovaný, aby byl jednotný.
Dvojhvězdná hvězda p / q- trapézohedron má Coxeterův -Dynkinův diagram 
.
| 5/2 | 5/3 | 7/2 | 7/3 | 7/4 | 8/3 | 8/5 | 9/2 | 9/4 | 9/5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 10/3 | 11/2 | 11/3 | 11/4 | 11/5 | 11/6 | 11/7 | 12/5 | 12/7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dodecagonální lichoběžník
Dodecagonal trapezohedron je trapezohedron s 24 kitů. Má 12násobnou antiprismmatickou symetrii, pořadí 48.
Viz také
- Snížený lichoběžník
- Kosočtverečný dvanáctistěn
- Kosočtverečný triacontahedron
- Bipyramid
- Zkrácený lichoběžník
- Conwayův polyhedronový zápis
- The Haunter of the Dark , povídka od HP Lovecrafta, ve které hraje zásadní roli fiktivní starověký artefakt známý jako The Shining Trapezohedron.
Reference
- Anthony Pugh (1976). Polyhedra: Vizuální přístup . California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Kapitola 4: Duály archimédského mnohostěnu, prisma a antiprismy
- Spencer, Leonard James (1911). . V Chisholmu, Hugh (ed.). Encyklopedie Britannica . 07 (11. vydání). Cambridge University Press. s. 569–591.