Viskózní tenzor napětí

Viskózní tenzor napětí je tenzor používá v mechanice kontinua modelovat část namáhání na místo v nějakém materiálu, který může být připsán na deformační rychlosti je rychlost , při které se deformuje kolem tohoto bodu.

Tenzor viskózního napětí je formálně podobný tenzoru elastického napětí (Cauchy tenzor), který popisuje vnitřní síly v elastickém materiálu v důsledku jeho deformace. Pro oba tenzory na normálový vektor o plošného elementu k hustotě a směru zatížení působícího na tomto plošném prvku. Elastické napětí je však dáno velikostí deformace ( přetvoření ), zatímco viskózní napětí je dáno rychlostí změny deformace v čase (rychlost deformace). U viskoelastických materiálů, jejichž chování je mezi chováním kapalin a pevných látek, zahrnuje tenzor celkového napětí jak viskózní, tak elastické („statické“) složky. U zcela tekutého materiálu se elastický termín snižuje na hydrostatický tlak .

V libovolném souřadnicovém systému mohou být viskózní napětí $ε$ a rychlost deformace $E$ v určitém bodě a čase reprezentovány 3 × 3 maticemi reálných čísel. V mnoha situacích existuje přibližně lineární vztah mezi těmito maticemi; to znamená tenzor viskozity $μ$ čtvrtého řádu tak, že $ε = μE$ . Tenzor $μ$ má čtyři indexy a skládá se ze 3 × 3 × 3 × 3 reálných čísel (z nichž pouze 21 je nezávislých). V newtonovské tekutině je podle definice vztah mezi $e$ a $E$ dokonale lineární a tenzor viskozity $μ$ je nezávislý na pohybu nebo napětí v tekutině. Pokud je tekutina izotropní i newtonovská, bude mít tenzor viskozity $μ$ pouze tři nezávislé skutečné parametry: součinitel viskozity , který definuje odpor média vůči postupnému rovnoměrnému stlačování; dynamická viskozita koeficient, který vyjadřuje jeho odolnost proti postupnému stříhání, a rotační viskozitu koeficient, který vyplývá z spojení mezi proudění a otáčení jednotlivých částic. Při absenci takové vazby bude mít tenzor tenzoru napětí pouze dva nezávislé parametry a bude symetrický. V nenewtonských tekutin , na druhé straně, je vztah mezi $e$ a $E$ mohou být velmi nelineární, a $ε$ dokonce může záviset na dalších vlastností toku kromě $E$ .

Definice

Viskózní versus elastické napětí

Vnitřní mechanická napětí v spojitém médiu obecně souvisí s deformací materiálu z nějakého „uvolněného“ (nepřízvučného) stavu. Tato napětí obecně zahrnují elastickou („statickou“) složku napětí , která souvisí s aktuálním množstvím deformace a působí tak, že vrací materiál do klidového stavu; a viskózní složka napětí , která závisí na rychlosti, s jakou se deformace mění v čase, a je proti této změně.

Stejně jako celkové a elastické napětí může být viskózní napětí kolem určitého bodu v materiálu kdykoli modelováno tenzorem napětí, lineárním vztahem mezi vektorem normálního směru ideální roviny procházejícím bodem a místní hustotou napětí v té rovině v tom bodě.

V libovolném zvoleném souřadném systému s osami očíslovanými 1, 2, 3 může být tento viskózní tenzor napětí reprezentován jako matice 3 × 3 skutečných čísel:

{\ Displaystyle \ varepsilon (p, t) = {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11} & \ varepsilon _ {12} & \ varepsilon _ {13} \\\ varepsilon _ {21} & \ varepsilon _ { 22} & \ varepsilon _ {23} \\\ varepsilon _ {31} & \ varepsilon _ {32} & \ varepsilon _ {33} \ end {bmatrix}} \ ,.}

Všimněte si, že tato čísla se obvykle mění s bodem $p$ a časem $t$ .

Uvažujme nekonečně malý plochý prvek se středem v bodě $p$ , reprezentovaný vektorem $dA,$ jehož délka je plocha prvku a jehož směr je na něj kolmý. Nechť $dF$ je nekonečně malá síla v důsledku viskózního napětí, které je aplikováno přes tento povrchový prvek na materiál na straně opačné k $dA$ . Složky $dF$ podél každé osy souřadnic jsou pak dány vztahem

{\ Displaystyle dF_ {i} = \ sum _ {j} \ varepsilon _ {ij} \, dA_ {j} \ ,.}

V každém materiálu je celkový tenzor napětí $σ$ součtem tohoto tenzoru tenzoru napětí $ε$ , tenzoru napětí $τ$ a hydrostatického tlaku $p$ . V dokonale tekutém materiálu, který podle definice nemůže mít statické smykové napětí, je tenzor tenzoru napětí nulový:

{\ Displaystyle \ sigma _ {ij} =-p \ delta _ {ij}+\ varepsilon _ {ij} \ ,,}

kde $δ ij$ je tenzor jednotky , takže $δ ij$ je 1, pokud $i = j$ a 0, pokud $i \neq j$ .

Zatímco viskózní napětí jsou generována fyzikálními jevy, které silně závisí na povaze média, tenzor tenzoru viskózního napětí $ε$ je pouze popisem místních momentálních sil mezi sousedními balíky materiálu, a nikoli vlastností materiálu.

Symetrie

Ignorování točivého momentu na prvku v důsledku toku („vnější“ točivý moment), viskózní „vnitřní“ točivý moment na jednotku objemu na tekutém prvku je zapsán (jako antisymetrický tenzor) jako

{\ Displaystyle \ tau _ {ij} = \ varepsilon _ {ij}-\ varepsilon _ {ji}}

a představuje rychlost změny vnitřní hybnosti hybnosti s časem. Pokud mají částice rotační stupně volnosti, bude to znamenat vnitřní moment hybnosti a pokud lze tento moment hybnosti změnit kolizemi, je možné, že se tento vnitřní moment hybnosti může v čase změnit, což má za následek vnitřní točivý moment, který není nulový, což bude znamenat, že tenzor tenzoru napětí bude mít antisymetrickou složku s odpovídajícím koeficientem viskozity otáčení . Pokud mají částice tekutiny zanedbatelný moment hybnosti nebo pokud jejich moment hybnosti není znatelně spojen s vnějším momentem hybnosti, nebo je -li rovnovážný čas mezi vnějším a vnitřním stupněm volnosti prakticky nulový, bude točivý moment nulový a tenzor tenzoru napětí bude symetrický. Vnější síly mohou mít za následek asymetrickou složku tenzoru napětí (např. Feromagnetické kapaliny, které mohou působit točivý moment působením vnějších magnetických polí ).

Fyzické příčiny viskózního stresu

V pevném materiálu lze elastickou složku napětí připsat deformaci vazeb mezi atomy a molekulami materiálu a může zahrnovat smyková napětí . V tekutině lze elastické napětí přičíst zvýšení nebo snížení středního rozestupu částic, což ovlivňuje jejich kolizi nebo rychlost interakce, a tedy přenos hybnosti napříč tekutinou; souvisí tedy s mikroskopickou tepelnou náhodnou složkou pohybu částic a projevuje se jako izotropní hydrostatické tlakové napětí.

Viskózní složka napětí naopak vzniká z průměrné makroskopické rychlosti částic. Lze to přičíst tření nebo difuzi částic mezi sousedními parcelami média, které mají různé střední rychlosti.

Rovnice viskozity

Tenzor rychlosti deformace

V plynulém toku lze rychlost, kterou se lokální deformace média v průběhu času mění (rychlost deformace), aproximovat tenzorem rychlosti deformace $E (p, t)$ , což je obvykle funkce bodu $p$ a času $t$ . S ohledem na jakýkoli souřadný systém může být vyjádřen maticí 3 × 3.

Kmen rychlost tenzor $E (p, t)$ může být definována jako derivát z tenzoru deformace $e (p, t)$ v závislosti na čase, nebo ekvivalentně, jako symetrické části gradientu (derivace prostoru) z vektor rychlosti proudění $v (p, t)$ :

{\ Displaystyle E = {\ frac {\ částečné e} {\ částečné t}} = {\ frac {1} {2}} \ left ((\ nabla v)+(\ nabla v)^{\ textyf {T }}\že jo)\,,}

kde $\nabla v$ označuje gradient rychlosti. V kartézských souřadnicích $\nabla v$ je jakobijská matice ,

{\ Displaystyle (\ nabla v) _ {ij} = {\ frac {\ částečná v_ {i}} {\ částečná x_ {j}}}}

a proto

{\ Displaystyle E_ {ij} = {\ frac {\ partial e_ {ij}} {\ partial t}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial v_ {j}} {\ částečné x_ {i}}}+{\ frac {\ částečné v_ {i}} {\ částečné x_ {j}}} \ vpravo) \ ,.}

Ať tak či onak, tenzor rychlosti deformace $E (p, t)$ vyjadřuje rychlost, s jakou se střední rychlost mění v médiu, když se člověk vzdaluje od bodu $p$ - kromě změn v důsledku rotace média kolem $p$ jako tuhého tělesa , které nemění vzájemné vzdálenosti částic a pouze přispívají k rotační části viskózního napětí prostřednictvím otáčení samotných jednotlivých částic. (Tyto změny zahrnují vířivost toku, což je zvlnění (rotační) $\nabla \times v$ rychlosti; což je také antisymetrická část gradientu rychlosti $\nabla v$ .)

Obecné toky

Viskózní tenzor napětí je pouze lineární aproximací napětí kolem bodu $p$ a neodpovídá výrazům vyššího řádu jeho Taylorovy řady . Téměř ve všech praktických situacích je však možné tyto termíny ignorovat, protože se stávají zanedbatelnými ve velikostních stupnicích, kde je generováno viskózní napětí a ovlivňuje pohyb média. Totéž lze říci o tenzoru rychlosti deformace $E$ jako o zobrazení průběhu rychlosti kolem $p$ .

Lineární modely reprezentované tenzory $E$ a $ε$ jsou tedy téměř vždy dostatečné k popisu viskózního napětí a rychlosti deformace kolem bodu za účelem modelování jeho dynamiky . Zejména lokální rychlost deformace $E (p, t)$ je jedinou vlastností rychlostního toku, který v daném bodě přímo ovlivňuje viskózní napětí $ε (p, t)$ .

Na druhé straně může být vztah mezi $E$ a $e$ poměrně komplikovaný a silně závisí na složení, fyzickém stavu a mikroskopické struktuře materiálu. Je také často vysoce nelineární a může záviset na kmenech a napětí, které materiál dříve zažil a který se nyní nachází v daném bodě.

Obecná newtonovská média

Médium se říká, že je newtonovské, pokud je viskózní napětí $ε (p, t)$ lineární funkcí rychlosti deformace $E (p, t)$ , a tato funkce jinak nezávisí na napětí a pohybu tekutiny kolem $p$ . Žádná skutečná tekutina není dokonale newtonovská, ale lze předpokládat, že mnoho důležitých tekutin, včetně plynů a vody, je, pokud napětí v proudění a rychlosti deformace nejsou příliš vysoké.

Lineární vztah mezi dvěma tenzory druhého řádu je obecně tenzorem čtvrtého řádu. V newtonovském prostředí jsou viskózní napětí a rychlost deformace vztaženy k tenzoru viskozity $μ$ :

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} = \ sum _ {kl} {\ boldsymbol {\ mu}} _ {ijkl} E_ {kl} \ ,.}

Koeficient viskozity $μ$ je vlastnost newtonovského materiálu, která podle definice nezávisí jinak na $v$ nebo $σ$ .

Tenzor rychlosti deformace $E (p, t)$ je podle definice symetrický, takže má pouze šest lineárně nezávislých prvků. Proto má tenzor viskozity $μ$ pouze 6 × 9 = 54 stupňů volnosti, nikoli 81. Ve většině tekutin je tenzor tenzoru také symetrický, což dále snižuje počet parametrů viskozity na 6 × 6 = 36.

Smykové a objemové viskózní napětí

Bez rotačních účinků bude tenzor tenzoru napětí symetrický. Stejně jako u jiných symetrický tenzor, viskózní tenzor napětí $ε$ může být vyjádřen jako součet traceless symetrické tensor $ε s$ , a skalární násobek $ε v$ identifikačního tenzoru. V souřadnicové formě,

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ varepsilon _ {ij} & = \ varepsilon _ {ij}^{\ text {v}}+\ varepsilon _ {ij}^{\ text {s}} \\ [3pt ] \ varepsilon _ {ij}^{\ text {v}} & = {\ frac {1} {3}} \ delta _ {ij} \ sum _ {k} \ varepsilon _ {kk} \\\ varepsilon _ {ij}^{\ text {s}} & = \ varepsilon _ {ij}-{\ frac {1} {3}} \ delta _ {ij} \ sum _ {k} \ varepsilon _ {kk} \, . \ end {aligned}}}

Tento rozklad je nezávislý na souřadnicovém systému, a je tedy fyzicky významný. Konstantní část $ε v$ tenzoru tenzoru napětí se projevuje jako druh tlaku neboli objemového napětí, které působí stejně a kolmo na jakýkoli povrch nezávisle na jeho orientaci. Na rozdíl od běžného hydrostatického tlaku se může objevit pouze tehdy, když se napětí mění, přičemž působí proti změně; a může být negativní.

Izotropní newtonovský případ

V newtonovském médiu, které je izotropní (tj. Jehož vlastnosti jsou stejné ve všech směrech), je každá část tenzoru napětí vztažena k odpovídající části tenzoru rychlosti deformace.

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ varepsilon ^{\ text {v}} (p, t) & = \ mu ^{\ text {v}} E ^{\ text {v}} (p, t) \ ,, \\\ varepsilon ^{\ text {s}} (p, t) & = \ mu ^{\ text {s}} E ^{\ text {s}} (p, t) \ ,, \ end {aligned}}}

kde $E v$ a $E s$ jsou skalární izotropní a nulové stopové části tenzoru rychlosti deformace $E$ a $μ v$ a $μ s$ jsou dvě reálná čísla. V tomto případě má tenzor viskozity $μ$ pouze dva nezávislé parametry.

Část nulové stopy $E y$ z $E$ je symetrický 3 x 3 tensor to popisuje rychlost, při které se médium deformování střihem, ignoruje veškeré změny v jeho objemu. Tak nulové stopy část $ε y$ z $e$ je známý viskózní smykového napětí , který je spojen k postupnému stříhání deformaci. Je to viskózní napětí, které se vyskytuje v tekutině pohybující se trubkou s rovnoměrným průřezem ( tok Poiseuille ) nebo mezi dvěma rovnoběžnými pohyblivými deskami ( tok Couette ) a odolává těmto pohybům.

Část $E v$ z $E$ působí jako skalární multiplikátor (jako $epsilon V$ ), průměrnou rychlost expanze média kolem daného bodu. (V libovolném souřadném systému je reprezentována diagonální maticí 3 × 3 se stejnými hodnotami podél diagonály.) Je číselně rovno1/3na odlišnosti v rychlosti

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot v = \ sum _ {k} {\ frac {\ částečný v_ {k}} {\ částečný x_ {k}}} \ ,,}

což je relativní rychlost změny objemu tekutiny v důsledku toku.

Skalární část $ε v$ z $ε$ je tedy napětím, které lze pozorovat při stlačování nebo roztahování materiálu stejnou rychlostí ve všech směrech. Projevuje se jako mimořádný tlak, který se objevuje pouze při stlačování materiálu, ale (na rozdíl od skutečného hydrostatického tlaku) je úměrný rychlosti změny komprese, spíše velikosti komprese, a zmizí, jakmile se objem přestane měnit.

Tato část viskózní stresu, obvykle nazývané viskozita hromadné nebo viskozita objem, je často důležité v viskoelastických materiálů, a je odpovědný za tlumení z tlakových vln v médiu. Sypnou viskozitu lze opomenout, pokud lze materiál považovat za nestlačitelný (například při modelování toku vody v kanálu).

Koeficient $μ v$ , často označovaný $η$ , se nazývá koeficient objemové viskozity (nebo „druhá viskozita“); zatímco $μ s$ je součinitel běžné (smykové) viskozity.

Languages

In other projects

Viskózní tenzor napětí - Viscous stress tensor

Obsah

Definice

Viskózní versus elastické napětí